E. Congruence Equation time limit per test 3 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output

Given an integer?x. Your task is to find out how many positive integers?n?(1?≤?n?≤?x) satisfy

where?a,?b,?p?are all known constants. Input

The only line contains four integers?a,?b,?p,?x?(2?≤?p?≤?106?+?3,?1?≤?a,?b?<?p,?1?≤?x?≤?1012). It is guaranteed that?p?is a prime.

Output

Print a single integer: the number of possible answers?n.

Examples input 2 3 5 8 output 2 input 4 6 7 13 output 1 input 233 233 10007 1 output 1 Note

In the first sample, we can see that?n?=?2?and?n?=?8?are possible answers.

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大意：求使上式成立的n的數量(1<=n<=x)

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題解：看了tag才有了靈感：

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n*a^n≡b(mod p)

可以變形為

n%p*a^(n%(p-1))≡b(mod p)? ? ? ? ?——費馬小定理和同余原理

令n%p= i , n%(p-1)=j.

可以倒過來考慮，對于一組使同余方程成立的 i 和 j ，求有多少個n。

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枚舉 j，解方程求出 i ，然后求最小的 n ，易得n+k*(p-1)*p也是合法的解(k為任意自然數)。

解方程求出 i 應該不用講了，求出最小的n以后算出這組 i , j 貢獻的答案數也不難。（細節可以見代碼）

最大的問題是如何解出n

中國剩余定理！

想要求n，可以做如下變形：

n≡ i (mod p)

n≡ j (mod p-1)

可以用中國剩余定理來求解。

推薦中國剩余定理講解：

https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html

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最后一個小細節：p等于2的時候用費馬小定理求逆元會出現問題，特判，如果是exgcd求逆元應該不會碰到這個問題。

1 /* 2 Welcome Hacking 3 Wish You High Rating 4 */ 5 #include<iostream> 6 #include<cstdio> 7 #include<cstring> 8 #include<ctime> 9 #include<cstdlib> 10 #include<algorithm> 11 #include<cmath> 12 #include<string> 13 using namespace std; 14 int read(){ 15 int xx=0,ff=1;char ch=getchar(); 16 while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')ff=-1;ch=getchar();} 17 while(ch>='0'&&ch<='9'){xx=(xx<<3)+(xx<<1)+ch-'0';ch=getchar();} 18 return xx*ff; 19 } 20 long long READ(){ 21 long long xx=0,ff=1;char ch=getchar(); 22 while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')ff=-1;ch=getchar();} 23 while(ch>='0'&&ch<='9'){xx=(xx<<3)+(xx<<1)+ch-'0';ch=getchar();} 24 return xx*ff; 25 } 26 int mypow(int x,int p,int MOD){ 27 int re=1; 28 while(p){ 29 if(p&1) 30 re=1LL*re*x%MOD; 31 p>>=1; 32 x=1LL*x*x%MOD; 33 } 34 return re; 35 } 36 int a,b,p; 37 long long x,ans; 38 int main(){ 39 //freopen("in","r",stdin); 40 a=read(),b=read(),p=read(); 41 x=READ(); 42 if(p==2){ 43 cout<<x/2+(x%2==1)<<endl; 44 return 0; 45 } 46 long long mul=1LL*p*(p-1); 47 for(int i=0;i<=p-2;i++){ 48 int y=1LL*b*mypow(mypow(a,i,p),p-2,p)%p; 49 long long temp=(1LL*i*p*mypow(p,p-3,p-1)%mul+1LL*y*(p-1)*mypow(p-1,p-2,p)%mul)%mul; 50 ans+=x/mul+(x%mul>=temp); 51 } 52 cout<<ans<<endl; 53 return 0; 54 } View Code

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轉載于:https://www.cnblogs.com/lzhAFO/p/8401078.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的codeforces 919E Congruence Equation的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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