小學(xué)生都能看懂的FFT！！！

---

前言

在創(chuàng)新實(shí)踐中心偷偷看了一天FFT資料后，我終于看懂了一點(diǎn)。為了給大家提供一份簡(jiǎn)單易懂的學(xué)習(xí)資料，同時(shí)也方便自己以后復(fù)習(xí)，我決定動(dòng)手寫(xiě)這份學(xué)習(xí)筆記。

食用指南：
本篇受眾：如標(biāo)題所示，另外也面向同我一樣高中起步且非常菜的OIer。真正的dalao請(qǐng)無(wú)視。
本篇目標(biāo)：讓大家（和不知道什么時(shí)候把FFT忘了的我）在沒(méi)有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的情況下，以最快的速度了解并 會(huì)寫(xiě) FFT。因此本篇將采用盡可能通俗易懂的語(yǔ)言，且略過(guò)大部分?jǐn)?shù)學(xué)證明，在嚴(yán)謹(jǐn)性上可能有欠缺。但如果您發(fā)現(xiàn)了較大的邏輯漏洞，歡迎在評(píng)論里指正！

最后……來(lái)個(gè)版權(quán)聲明吧。本文作者胡小兔，博客地址http://rabbithu.cnblogs.com。暫未許可在任何其他平臺(tái)轉(zhuǎn)載。

你一定聽(tīng)說(shuō)過(guò)FFT，它的高逼格名字讓人望而卻步——“快速傅里葉變換”。
你可能知道它可以\(O(n \log n)\)求高精度乘法，你想學(xué)，可是面對(duì)一堆公式，你無(wú)從下手。
那么歡迎閱讀這篇教程！

[Warning] 本文涉及復(fù)數(shù)（虛數(shù)）的一小部分內(nèi)容，這可能是最難的部分，但只要看下去也不是非常難，請(qǐng)不要看到它就中途退出啊QAQ。

什么是FFT？

快速傅里葉變換（FFT）是一種能在\(O(n \log n)\)的時(shí)間內(nèi)將一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成它的點(diǎn)值表示的算法。

補(bǔ)充資料：什么是點(diǎn)值表示

設(shè)\(A(x)\)是一個(gè)\(n - 1\)次多項(xiàng)式，那么把\(n\)個(gè)不同的\(x\)代入，會(huì)得到\(n\)個(gè)\(y\)。這\(n\)對(duì)\((x, y)\)唯一確定了該多項(xiàng)式，即只有一個(gè)多項(xiàng)式能同時(shí)滿(mǎn)足“代入這些\(x\)，得到的分別是這些\(y\)”。
由多項(xiàng)式可以求出其點(diǎn)值表示，而由點(diǎn)值表示也可以求出多項(xiàng)式。

（并不想證明，十分想看證明的同學(xué)請(qǐng)前往“參考資料”部分）。

注：下文如果不加特殊說(shuō)明，默認(rèn)所有\(n\)為2的整數(shù)次冪。如果一個(gè)多項(xiàng)式次數(shù)不是2的整數(shù)次冪，可以在后面補(bǔ)0。

為什么要使用FFT？

FFT可以用來(lái)加速多項(xiàng)式乘法（平時(shí)非常常用的高精度大整數(shù)乘法就是最終把\(x = 10\)代入的多項(xiàng)式乘法）。

假設(shè)有兩個(gè)\(n-1\)次多項(xiàng)式\(A(x)\)和\(B(x)\)，我們的目標(biāo)是——把它們乘起來(lái)。

普通的多項(xiàng)式乘法是\(O(n^2)\)的——我們要枚舉\(A(x)\)中的每一項(xiàng)，分別與\(B(x)\)中的每一項(xiàng)相乘，來(lái)得到一個(gè)新的多項(xiàng)式\(C(x)\)。

但有趣的是，兩個(gè)用點(diǎn)值表示的多項(xiàng)式相乘，復(fù)雜度是\(O(n)\)的！具體方法：\(C(x_i) = A(x_i) \times B(x_i)\)，所以\(O(n)\)枚舉\(x_i\)即可。

要是我們把兩個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成點(diǎn)值表示，再相乘，再把新的點(diǎn)值表示轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式豈不就可以\(O(n)\)解決多項(xiàng)式乘法了！

……很遺憾，顯然，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成點(diǎn)值表示的樸素算法是\(O(n^2)\)的。另外，即使你可能不會(huì)——把點(diǎn)值表示轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式的樸素“插值算法”也是\(O(n^2)\)的。

難道大整數(shù)乘法就只能是\(O(n^2)\)嗎？！不甘心的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，大整數(shù)乘法復(fù)雜度的瓶頸可能在“多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成點(diǎn)值表示”這一步（以及其反向操作），只要完成這一步就可以\(O(n)\)求答案了。如果能優(yōu)化這一步，豈不美哉？

傅里葉：這個(gè)我會(huì)！

離散傅里葉變換（快速傅里葉變換的樸素版）

傅里葉發(fā)明了一種辦法：規(guī)定點(diǎn)值表示中的\(n\)個(gè)\(x\)為\(n\)個(gè)模長(zhǎng)為\(1\)的復(fù)數(shù)。

——等等，先別看到復(fù)數(shù)就走！

補(bǔ)充資料：什么是復(fù)數(shù)

如果你學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)，這段不用看了；
如果你學(xué)過(guò)向量，請(qǐng)把復(fù)數(shù)理解成一個(gè)向量；
如果你啥都沒(méi)學(xué)過(guò)，請(qǐng)把復(fù)數(shù)理解成一個(gè)平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)。

復(fù)數(shù)具有一個(gè)實(shí)部和一個(gè)虛部，正如一個(gè)向量（或點(diǎn)）有一個(gè)橫坐標(biāo)和一個(gè)縱坐標(biāo)。例如復(fù)數(shù)\(3 + 2i\)，實(shí)部是\(3\)，虛部是\(2\)，\(i = \sqrt{-1}\)。可以把它想象成向量\((3, 2)\)或點(diǎn)\((3, 2)\)。

但復(fù)數(shù)比一個(gè)向量或點(diǎn)更妙的地方在于——復(fù)數(shù)也是一種數(shù)，它可以像我們熟悉的實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加減乘除等運(yùn)算，還可以代入多項(xiàng)式\(A(x)\)——顯然你不能把一個(gè)向量或點(diǎn)作為\(x\)代入進(jìn)去。

復(fù)數(shù)相乘的規(guī)則：模長(zhǎng)相乘，幅角相加。模長(zhǎng)就是這個(gè)向量的模長(zhǎng)（或是這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離）；幅角就是x軸正方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與這個(gè)向量共線(xiàn)所途徑的角（或是原點(diǎn)出發(fā)、指向x軸正方向的射線(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至過(guò)這個(gè)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的角）。想學(xué)會(huì)FFT，“模長(zhǎng)相乘”暫時(shí)不需要了解過(guò)多，但“幅角相加”需要記住。

C++的STL提供了復(fù)數(shù)模板！
頭文件：#include <complex>
定義： complex<double> x;
運(yùn)算：直接使用加減乘除。

傅里葉要用到的\(n\)個(gè)復(fù)數(shù)，不是隨機(jī)找的，而是——把單位圓（圓心為原點(diǎn)、1為半徑的圓）\(n\)等分，取這\(n\)個(gè)點(diǎn)（或點(diǎn)表示的向量）所表示的虛數(shù)，即分別以這\(n\)個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為實(shí)部、縱坐標(biāo)為虛部，所構(gòu)成的虛數(shù)。

從點(diǎn)\((1, 0)\)開(kāi)始（顯然這個(gè)點(diǎn)是我們要取的點(diǎn)之一），逆時(shí)針將這\(n\)個(gè)點(diǎn)從\(0\)開(kāi)始編號(hào)，第\(k\)個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的虛數(shù)記作\(\omega_n^k\)（根據(jù)復(fù)數(shù)相乘時(shí)模長(zhǎng)相乘幅角相加可以看出，\(\omega_n^k\)是\(\omega_n^1\)的\(k\)次方，所以\(\omega_n^1\)被稱(chēng)為\(n\)次單位根）。

根據(jù)每個(gè)復(fù)數(shù)的幅角，可以計(jì)算出所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)/向量。\(\omega_n^k\)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)/向量是\((\cos \frac{k}{n}2\pi, \sin \frac{k}{n}2\pi)\)，也就是說(shuō)這個(gè)復(fù)數(shù)是\(\cos \frac{k}{n}2\pi + i\sin \frac{k}{n}2\pi\)。

傅里葉說(shuō)：把\(n\)個(gè)復(fù)數(shù)\(\omega_n^0, \omega_n^1, \omega_n^2, ..., \omega_n^{n-1}\)代入多項(xiàng)式，能得到一種特殊的點(diǎn)值表示，這種點(diǎn)值表示就叫離散傅里葉變換吧！

[Warning] 從現(xiàn)在開(kāi)始，本文個(gè)別部分會(huì)集中出現(xiàn)數(shù)學(xué)公式，但是都不是很難，公式恐懼癥患者請(qǐng)堅(jiān)持！Stay Determined！

補(bǔ)充資料：單位根的性質(zhì)

性質(zhì)一：\(\omega_{2n}^{2k} = \omega_{n}^{k}\)

證明：它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)/向量是相同的。

性質(zhì)二：\(\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}} = -\omega_{n}^{k}\)

證明：它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的（對(duì)應(yīng)的向量是等大反向的）。

為什么要使用單位根作為\(x\)代入

當(dāng)然是因?yàn)殡x散傅里葉變換有著特殊的性質(zhì)啦。

[Warning] 下面有一些證明，如果不想看，請(qǐng)?zhí)郊哟值摹耙粋€(gè)結(jié)論”部分。

設(shè)\((y_0, y_1, y_2, ..., y_{n - 1})\)為多項(xiàng)式\(A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +...+a_{n-1}x^{n-1}\)的離散傅里葉變換。

現(xiàn)在我們?cè)僭O(shè)一個(gè)多項(xiàng)式\(B(x) = y_0 + y_1x + y_2x^2 +...+y_{n-1}x^{n-1}\)，現(xiàn)在我們把上面的\(n\)個(gè)單位根的倒數(shù)，即\(\omega_{n}^{0}, \omega_{n}^{-1}, \omega_{n}^{-2}, ..., \omega_{n}^{-(n - 1)}\)作為\(x\)代入\(B(x)\), 得到一個(gè)新的離散傅里葉變換\((z_0, z_1, z_2, ..., z_{n - 1}\))。

\[ \begin{align*} z_k &= \sum_{i = 0}^{n - 1} y_i(\omega_n^{-k})^i \\ &= \sum_{i = 0}^{n - 1}(\sum_{j = 0}^{n - 1} a_j(\omega_n^i)^j)(\omega_n^{-k})^i \\ &= \sum_{j = 0}^{n - 1}a_j(\sum_{i = 0}^{n - 1}(\omega_n^{j - k})^i) \end{align*} \]

這個(gè)\(\sum_{i = 0}^{n - 1}(\omega_n^{j - k})^i\)是可求的：當(dāng)\(j - k = 0\)時(shí)，它等于\(n\); 其余時(shí)候，通過(guò)等比數(shù)列求和可知它等于\(\frac{(\omega_n^{j - k})^n - 1}{\omega_n^{j - k} - 1} = \frac{(\omega_n^n)^{j - k} - 1}{\omega_n^{j - k} - 1} = \frac{1^{j - k}- 1}{\omega_n^{j - k} - 1} = 0\)。

那么，\(z_k\)就等于\(na_k\), 即：
\[a_i = \frac{z_i}{n}\]

一個(gè)結(jié)論

把多項(xiàng)式\(A(x)\)的離散傅里葉變換結(jié)果作為另一個(gè)多項(xiàng)式\(B(x)\)的系數(shù)，取單位根的倒數(shù)即\(\omega_{n}^{0}, \omega_{n}^{-1}, \omega_{n}^{-2}, ..., \omega_{n}^{-(n - 1)}\)作為\(x\)代入\(B(x)\)，得到的每個(gè)數(shù)再除以n，得到的是\(A(x)\)的各項(xiàng)系數(shù)。這實(shí)現(xiàn)了傅里葉變換的逆變換——把點(diǎn)值表示轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式系數(shù)表示，這就是離散傅里葉變換神奇的特殊性質(zhì)。

快速傅里葉變換

雖然傅里葉發(fā)明了神奇的變換，能把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成點(diǎn)值表示又轉(zhuǎn)換回來(lái)，但是……它仍然是暴力代入的做法，復(fù)雜度仍然是\(O(n^2)\)啊！（傅里葉：我都沒(méi)見(jiàn)過(guò)計(jì)算機(jī)，我干啥要優(yōu)化復(fù)雜度……）

于是，快速傅里葉變換應(yīng)運(yùn)而生。它是一種分治的傅里葉變換。

[Warning] 下面有較多公式。看起來(lái)很?chē)樔?#xff0c;但是并不復(fù)雜。請(qǐng)堅(jiān)持看完。

快速傅里葉變換的數(shù)學(xué)證明

仍然，我們?cè)O(shè)\(A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +...+a_{n-1}x^{n-1}\)，現(xiàn)在為了求離散傅里葉變換，要把一個(gè)\(x = \omega_n^k\)代入。

考慮將\(A(x)\)的每一項(xiàng)按照下標(biāo)的奇偶分成兩部分：

\[A(x) = (a_0 + a_2x^2 + ... + a_{n - 2}x^{n - 2}) + (a_1x + a_3x^3 + ... + a_{n-1}x^{n-1})\]

設(shè)兩個(gè)多項(xiàng)式：

\[A_1(x) = a_0 + a_2x + ... + a_{n - 2}x^{\frac{n}{2} - 1}\]
\[A_2(x) = a_1 + a_3x + ... + a_{n - 1}x^{\frac{n}{2} - 1}\]

則：

\[A(x) = A_1(x^2) + xA_2(x^2)\]

假設(shè)\(k < \frac{n}{2}\)，現(xiàn)在要把\(x = \omega_n^k\)代入：

\[\begin{align*} A(\omega_n^k) &= A_1(\omega_n^{2k}) + \omega_n^kA_2(\omega_n^{2k}) \\ &= A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) + \omega_n^kA_2(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) \end{align*}\]

那么對(duì)于\(A(\omega_n^{k + \frac{n}{2}})\)：

\[\begin{align*} A(\omega_n^{k + \frac{n}{2}}) &= A_1(\omega_n^{2k + n}) + \omega_n^{k + \frac{n}{2}}A_2(\omega_n^{2k + n}) \\ &= A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k} \times \omega_n^n) + \omega_n^{k + \frac{n}{2}} A_2(\omega_{\frac{n}{2}}^{k} \times \omega_n^n) \\ &= A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) - \omega_n^kA_2(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}) \end{align*}\]

所以，如果我們知道兩個(gè)多項(xiàng)式\(A_1(x)\)和\(A_2(x)\)分別在\((\omega_{\frac{n}{2}}^{0}, \omega_{\frac{n}{2}}^{1}, \omega_{\frac{n}{2}}^{2}, ... , \omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{n}{2} - 1}\))的點(diǎn)值表示，就可以\(O(n)\)求出\(A(x)\)在\(\omega_n^0, \omega_n^1, \omega_n^2, ..., \omega_n^{n-1}\)處的點(diǎn)值表示了。而\(A_1(x)\)和\(A_2(x)\)都是規(guī)模縮小了一半的子問(wèn)題。分治邊界是\(n = 1\)，此時(shí)直接return。

快速傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)

寫(xiě)個(gè)遞歸就可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)FFT了！

cp omega(int n, int k){return cp(cos(2 * PI * k / n), sin(2 * PI * k / n)); } void fft(cp *a, int n, bool inv){if(n == 1) return;static cp buf[N];int m = n / 2;for(int i = 0; i < m; i++){ //將每一項(xiàng)按照奇偶分為兩組buf[i] = a[2 * i];buf[i + m] = a[2 * i + 1];}for(int i = 0; i < n; i++)a[i] = buf[i];fft(a, m, inv); //遞歸處理兩個(gè)子問(wèn)題fft(a + m, m, inv);for(int i = 0; i < m; i++){ //枚舉x，計(jì)算A(x)cp x = omega(n, i); if(inv) x = conj(x); //conj是一個(gè)自帶的求共軛復(fù)數(shù)的函數(shù)，精度較高。當(dāng)復(fù)數(shù)模為1時(shí)，共軛復(fù)數(shù)等于倒數(shù)buf[i] = a[i] + x * a[i + m]; //根據(jù)之前推出的結(jié)論計(jì)算buf[i + m] = a[i] - x * a[i + m];}for(int i = 0; i < n; i++)a[i] = buf[i]; }

inv表示這次用的單位根是否要取倒數(shù)。

至此你已經(jīng)會(huì)寫(xiě)fft了！但是這個(gè)fft還是1.0版本，比較慢（可能同時(shí)還比較長(zhǎng)？），親測(cè)可能會(huì)比加了一些優(yōu)化的fft慢了4倍左右……

那么我們來(lái)學(xué)習(xí)一些優(yōu)化吧！

優(yōu)化fft

非遞歸fft

在進(jìn)行fft時(shí)，我們要把各個(gè)系數(shù)不斷分組并放到兩側(cè)，那么一個(gè)系數(shù)原來(lái)的位置和最終的位置有什么規(guī)律呢？

初始位置：0 1 2 3 4 5 6 7
第一輪后：0 2 4 6|1 3 5 7
第二輪后：0 4|2 6|1 5|3 7
第三輪后：0|4|2|6|1|5|3|7

“|”代表分組界限。

可以發(fā)現(xiàn)（這你都能發(fā)現(xiàn)？），一個(gè)位置a上的數(shù)，最后所在的位置是“a二進(jìn)制翻轉(zhuǎn)得到的數(shù)”，例如6(011)最后到了3(110)，1(001)最后到了4(100)。

那么我們可以據(jù)此寫(xiě)出非遞歸版本fft：先把每個(gè)數(shù)放到最后的位置上，然后不斷向上還原，同時(shí)求出點(diǎn)值表示。

代碼：

cp a[N], b[N], omg[N], inv[N];void init(){for(int i = 0; i < n; i++){omg[i] = cp(cos(2 * PI * i / n), sin(2 * PI * i / n));inv[i] = conj(omg[i]);} } void fft(cp *a, cp *omg){int lim = 0;while((1 << lim) < n) lim++;for(int i = 0; i < n; i++){int t = 0;for(int j = 0; j < lim; j++)if((i >> j) & 1) t |= (1 << (lim - j - 1));if(i < t) swap(a[i], a[t]); // i < t 的限制使得每對(duì)點(diǎn)只被交換一次（否則交換兩次相當(dāng)于沒(méi)交換）}static cp buf[N];for(int l = 2; l <= n; l *= 2){int m = l / 2;for(int j = 0; j < n; j += l)for(int i = 0; i < m; i++){buf[j + i] = a[j + i] + omg[n / l * i] * a[j + i + m];buf[j + i + m] = a[j + i] - omg[n / l * i] * a[j + i + m];}for(int j = 0; j < n; j++)a[j] = buf[j];} }

可以預(yù)處理\(\omega_n^k\)和\(\omega_n^{-k}\)，分別存在omg和inv數(shù)組中。調(diào)用fft時(shí)，如果無(wú)需取倒數(shù)，則傳入omg；如果需要取倒數(shù)，則傳入inv。

蝴蝶操作

這個(gè)優(yōu)化有著一個(gè)高大上的名字——“蝴蝶操作”。我第一次看到這個(gè)名字時(shí)就嚇跑了——尤其是看到那種帶示意圖的蝴蝶操作解說(shuō)時(shí)。

但是你完全無(wú)需跑！這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的優(yōu)化，它可以丟掉上面代碼里的那個(gè)buf數(shù)組。

我們?yōu)槭裁葱枰猙uf數(shù)組？因?yàn)槲覀円鲞@兩件事：

a[j + i] = a[j + i] + omg[n / l * i] * a[j + i + m] a[j + i + m] = a[j + i] - omg[n / l * i] * a[j + i + m]

但是我們又要求這兩行不能互相影響，所以我們需要buf數(shù)組。

但是如果我們這樣寫(xiě)：

cp t = omg[n / l * i] * a[j + i + m] a[j + i + m] = a[j + i] - t a[j + i] = a[j + i] + t

就可以原地進(jìn)行了，不需要buf數(shù)組。

cp a[N], b[N], omg[N], inv[N];void init(){for(int i = 0; i < n; i++){omg[i] = cp(cos(2 * PI * i / n), sin(2 * PI * i / n));inv[i] = conj(omg[i]);} } void fft(cp *a, cp *omg){int lim = 0;while((1 << lim) < n) lim++;for(int i = 0; i < n; i++){int t = 0;for(int j = 0; j < lim; j++)if((i >> j) & 1) t |= (1 << (lim - j - 1));if(i < t) swap(a[i], a[t]); // i < t 的限制使得每對(duì)點(diǎn)只被交換一次（否則交換兩次相當(dāng)于沒(méi)交換）}for(int l = 2; l <= n; l *= 2){int m = l / 2;for(cp *p = a; p != a + n; p += l)for(int i = 0; i < m; i++){cp t = omg[n / l * i] * p[i + m];p[i + m] = p[i] - t;p[i] += t;}} }

現(xiàn)在，這個(gè)fft就比之前的遞歸版快很多了！

---

到此為止我的FFT筆記就整理完啦。

下面貼一個(gè)FFT加速高精度乘法的代碼：

#include <cstdio> #include <cmath> #include <cstring> #include <algorithm> #include <complex> #define space putchar(' ') #define enter putchar('\n') using namespace std; typedef long long ll; template <class T> void read(T &x){char c;bool op = 0;while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')if(c == '-') op = 1;x = c - '0';while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')x = x * 10 + c - '0';if(op) x = -x; } template <class T> void write(T x){if(x < 0) putchar('-'), x = -x;if(x >= 10) write(x / 10);putchar('0' + x % 10); } const int N = 1000005; const double PI = acos(-1); typedef complex <double> cp; char sa[N], sb[N]; int n = 1, lena, lenb, res[N]; cp a[N], b[N], omg[N], inv[N]; void init(){for(int i = 0; i < n; i++){omg[i] = cp(cos(2 * PI * i / n), sin(2 * PI * i / n));inv[i] = conj(omg[i]);} } void fft(cp *a, cp *omg){int lim = 0;while((1 << lim) < n) lim++;for(int i = 0; i < n; i++){int t = 0;for(int j = 0; j < lim; j++)if((i >> j) & 1) t |= (1 << (lim - j - 1));if(i < t) swap(a[i], a[t]); // i < t 的限制使得每對(duì)點(diǎn)只被交換一次（否則交換兩次相當(dāng)于沒(méi)交換）}for(int l = 2; l <= n; l *= 2){int m = l / 2;for(cp *p = a; p != a + n; p += l)for(int i = 0; i < m; i++){cp t = omg[n / l * i] * p[i + m];p[i + m] = p[i] - t;p[i] += t;}} } int main(){scanf("%s%s", sa, sb);lena = strlen(sa), lenb = strlen(sb);while(n < lena + lenb) n *= 2;for(int i = 0; i < lena; i++)a[i].real(sa[lena - 1 - i] - '0');for(int i = 0; i < lenb; i++)b[i].real(sb[lenb - 1 - i] - '0');init();fft(a, omg);fft(b, omg);for(int i = 0; i < n; i++)a[i] *= b[i];fft(a, inv);for(int i = 0; i < n; i++){res[i] += floor(a[i].real() / n + 0.5);res[i + 1] += res[i] / 10;res[i] %= 10;}for(int i = res[lena + lenb - 1] ? lena + lenb - 1: lena + lenb - 2; i >= 0; i--)putchar('0' + res[i]);enter;return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的小学生都能看懂的FFT！！！的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。