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文章目錄

• • • 隨機變量與分布函數
    • • 1.隨機變量
      • 2.分布函數
      • 3.由分布函數求概率
    • 隨離散型隨機變量及其分布
    • • 1.一維離散型隨機變量
      • 2.分布律
      • 3.離散型隨機變量
      • 4.重要分布
    • 連續型隨機變量
    • • 1.連續型隨機變量的概率密度
      • 2.連續型隨機變量的概率密度函數$f(x)$的性質
      • 3.連續型隨機變量的概率密度與分布函數以及事件概率的關系
      • 4.重要分布
    • 隨機變量函數的分布
    • • 1.離散型隨機變量函數的分布
      • 2.連續型隨機變量函數的分布

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隨機變量與分布函數

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1.隨機變量

設E是一個隨機試驗，其樣本空間為Ω={ω}，如果對于每一個樣本點ω∈Ω，都有唯一一個實數X(ω)與之對應，則稱X(ω)為一維隨機變量，通常用X,Y,Z,···表示隨機變量。
通俗來講，隨機變量就是在每次試驗結束后我們所關注的與結果有關的變量。（例如：我們在擲骰子時，我們往往可能關注的是每次擲完骰子后兩骰子的點數之和，而不會在意具體兩枚骰子的點數，像這種“兩骰子的點數之和”變量就可以是這個試驗的隨機變量）

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2.分布函數

設X是一個隨機變量，x是任意實數，則函數F(x)=P{X≤x}稱為X的分布函數

基本性質
（1）單調性：F(x)是一個單調不減的函數，即當x1<x2時，F(x1)<F(x2)
（2）有界性：0≤F(x)≤1，且

???$F(+\infty )={\lim }_{x?>+\infty }F(x)=1$???$F(?\infty )={\lim }_{x?>?\infty }F(x)=0$

（3）連續性：F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續函數（x+0這里為x處的右極限）

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3.由分布函數求概率

?????????$P\{a<X\le b\}=P\{X\le b\}?P\{X\le a\}=F(b)?F(a)$

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隨離散型隨機變量及其分布

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1.一維離散型隨機變量

若隨機變量X的全部可能取值是有限個或可列個（或者該隨機變量X的概率1以一定規律分布在各個可能的值上），則稱X為離散型隨機變量

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2.分布律

離散型隨機變量X所有可能取值為$x_k$（$k$=1,2,···），事件{$x_k$}的概率為P{$x_k$}=$p_k$（$k$=1,2,···），則稱P{X=$x_k$}=$p_k$（$k$=1,2,···）為X的分布律或分布列。
分布律也可以寫成表格形式：

X$x_1$?????$x_2$?????$???$?????$x_k$?????$???$

P	$p_1$?????$p_2$?????$???$?????$p_k$?????$???$

離散型隨機變量的分布律的性質：

（1）P{X=$x_k$}=$p_k$≥0,??$k$=1,2,···

（2）${\sum }_k$P{X=$x_k$}=${\sum }_k{p}_k$=1

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3.離散型隨機變量

（1）如果已知X的分布律為P{X=$x_k$}=$p_k$（$k$=1,2,···），則X的分布函數

????????????$F(x)=P\{X\le x_k\}={\sum }_{x_k\le x}{p}_k$

而事件{a<X≤b}的概率為

????????????$P\{a<X\le b\}={\sum }_{a<x_k\le b}{p}_k$

（2）如果已知X的分布函數F(x)，則X的分布律為

????????P{X=$x_k$}=F($x_k$)-F($x_k?0$)
（ps：xk-0這里為xk處的左極限，可以理解為xk減去了一個無窮小）

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4.重要分布

（1）(0-1)分布

其分布律為

X1????????????0

P	p????????????1-p

其中事件A 發生的概率為p，0<p<1.

（2）二項分布
設在n重伯努利試驗中事件A發生的次數為X，則

????????????$P\{X=k\}{C}_n^k{p}^k{q}^{n?k},k=0,1,???,n$

其中p為事件A在每次試驗中出現的概率，q=1-p，稱隨機變量X服從二項分布記作

????????????$X$~$B(n,p)$

適用于：eg：在n重伯努利試驗中事件A發生k次的概率

（3）泊松分布
設隨機變量X的分布律為：

????????????$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{?\lambda }}{k!}（k=1,2,???）$

其中λ>0是常數，則稱X服從λ的泊松分布，記為

????????????$X$~$\pi (\lambda )或P(\lambda )$

參數λ是單位時間或單位面積內隨機事件的平均發生次數，k為實際發生次數
適用于：eg：單位時間內事件的平均發生次數λ，事件實際發生k次的概率

泊松定理： 設隨機變量Xn~B(n,p)，若${\lim }_{n\to \infty }n{p}_n$=λ>0，則有

????????????${\lim }_{n\to \infty }{C}_n^i{p}_n^i(1?p_n{)}^{n?i}=\frac{{\lambda }^i}{i!}{e}^{?\lambda }$

由泊松定理，二項分布可以用泊松分布作為近似。

超幾何分布
設隨機變量X的分布列是

????????????$P\{X=i\}=\frac{C_M^i{C}_{N?M}^{n?i}}{i!}$，$（i=0,1,2,???，l；l=min\{n,m\}）$

其中M，N，n都是自然數，且n<N，M<N,則稱X服從參數為N、M、n的超幾何分布，記作X~H(N,M,n)。

適用于：eg：共有N件物品，其中M件是特異，從中取出n件物品，其中有i件是特異的概率

幾何分布
設隨機變量X的分布列為

????????????$P\{X=i\}=(1?p{)}^{i?1}p，i=1，2，???$

其中0<p<1，則稱X服從參數p的幾何分布，記為X~G(p)
適用于：eg：某事件在試驗中發生概率為p，一直重復這個試驗直到該事件發生了才停止，試驗總數為i的概率

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連續型隨機變量

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1.連續型隨機變量的概率密度

如果對于隨機變量X的分布函數F(x)，存在非負可積函數f(x)，使得對任意實數x，有$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)dt$成立，則稱X為連續型隨機變量，函數f(x)稱為X的概率密度（或分布密度）。

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2.連續型隨機變量的概率密度函數$f(x)$的性質

（1）$f(x)\ge 0$；

（2）${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$；

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3.連續型隨機變量的概率密度與分布函數以及事件概率的關系

（1）若X的概率密度為$f(x)$，則X的分布函數為$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)dt$，當$f(x)$為分段函數時其分布函數$F(x)$要做分段討論；

（2）若$f(x)$在點x出連續，則有$F‘(x)=f(x)$；

（3）$P\{a<X\le b\}=P\{a<X<b\}=P\{a\le X<b\}=P\{a\le X\le b\}$

（4）$P\{X=a\}=0(?\infty <a<+\infty )$

4.重要分布

（1）均勻分布：若連續型隨機變量X的概率密度函數為

????????????$f(x)=\{\begin{array}{ccc}& \frac{1}{b?a}& ,a\le x\le b\\ & 0& ,else\end{array}$

則稱X服從[a,b]上的均勻分布（如下圖）

（2）指數分布：若連續型隨機變量X的概率密度函數為

????????????$f(x)=\{\begin{array}{ccc}& \lambda e^{?\lambda x}& ,x>0\\ & 0& ,else\end{array}$

其中λ>0,則稱X服從參數為λ的指數分布（如下圖）

（3）正態分布：若連續型隨機變量X的概率密度函數為

????????????$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi \sigma }{e}^{?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$?????$(?\infty <x<+\infty )$

其中μ和σ>0都是常數，則稱X服從參數為μ和σ的正態分布，簡記為X~N(μ,σ${}^2$).（如下圖）

（4）標準正態分布
對于正態分布，當μ=0、σ=1時稱X服從標準正態分布，簡記為X~N(0,1)，其概率密度函數和分布函數分別用φ(x)，Φ(x)表示，即有

????????????$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi }{e}^{?\frac{x^2}{2}}$

????????????$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi }{\int }_{?\infty }^x{e}^{?\frac{t^2}{2}}dt$

（如下圖）

性質一： Φ(-x)=1-Φ(x)

性質二： 當X~N(μ,σ${}^2$)時，U=$\frac{X?\mu }{\sigma }$ ~N(0,1).即$F(x)=\Phi (\frac{X?\mu }{\sigma })$.

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隨機變量函數的分布

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1.離散型隨機變量函數的分布

設隨機變量X的分布律為$P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,3,???$，則當Y=g(X)的所有取值為$y_j（j=1,2,???）$時，隨機變量Y有分布律

????????????$P\{Y=y_k\}={\sum }_{g(x_k)=y_j}P\{X=x_k\}$

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2.連續型隨機變量函數的分布

（1）設隨機變量X的概率密度函數為$f_X(x)(?\infty <x<+\infty )$，那么Y=g(X)的分布函數為

????????????$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(x)\le y\}={\int }_{g(x)<y}{f}_X(x)dx$，

其概率密度為$f_Y(y)=F_Y‘(y)$

（2）設隨機變量X具有概率密度函數$f_X(x)(?\infty <x<+\infty )$，g(x)為(-∞,+∞)內嚴格單調的可導函數，則隨機變量Y=g(X)的概率密度為

????????????$f_Y(y)=\{\begin{array}{cc}{f}_X[h(y)]|h‘(y)|& ,\alpha <y<\beta \\ 0& ,else\end{array}$

其中h(y)是g(x)的反函數，α=min{g(-∞),g(+∞)}，β=max{g(-∞),g(+∞)}

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计——随机变量及其分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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