●? 確定總體：記 X 為該廠生產(chǎn)電阻的測值，則?：X ～ N(μ, 0.1²)；

　　●? 明確任務(wù)：通過樣本推斷 “X 的均值 μ 是否等于10歐姆”；

　　●? 假設(shè)：上面的任務(wù)是要通過樣本檢驗“X 的均值μ =10”這一假設(shè)是否成立。

　　在數(shù)理統(tǒng)計中，把 “ X 的均值 μ =10” 這樣一個待檢驗的假設(shè)記為 “原假設(shè)” 或 “零假設(shè)”,記成 “ H₀：μ =10”。

　　原假設(shè)的對立面是 “ X? 的均值?? μ ≠10”，稱為? “對立假設(shè)” 或 “備擇假設(shè)”，記成?? “ H₁:μ ≠10”。把原假設(shè)和對立假設(shè)合寫在一起，就是:H₀：μ =10； H₁：μ≠10.

?

　　II.? 解決問題的思路

　　這里的問題是：如何確定常數(shù) c 呢？細(xì)致地分析:根據(jù)中心極限定理，有

　　為確定常數(shù) c，我們考慮一個很小的正數(shù)a， 如a = 0.05。當(dāng)原假設(shè) H₀: μ =10 成立時，有

　　III.? 方法原理：小概率發(fā)生（落入拒絕域），則拒絕。

　　IV. 兩類錯誤與顯著性水平

　　當(dāng)我們檢驗一個假設(shè) H₀ 時，有可能犯以下兩類錯誤之一：H₀ 是正確的，但被我們拒絕了，這就犯了“棄真”的錯誤，即拋棄了正確假設(shè)；H₀ 是不正確的，但被我們接受了，這就犯了“取偽”的錯誤，即采用了偽假設(shè)。

? ? ? 因為檢驗統(tǒng)計量總是隨機(jī)的，所以，我們總是以一定的概率犯以上兩類錯誤。

　　通常用 α 和 β ?記犯第一、第二類錯誤的概率，即?

　　α = P{ 拒絕H₀ | H₀ 為真?}

　　β?= P{ 接受H₀ | H₀ 為假?}

　　在檢驗問題中，犯“棄真”和“取偽”兩類錯誤都總是不可避免的，并且減少犯第一類錯誤的概率，就會增大犯第二類錯誤的概率;反之亦然。?所以，犯兩類錯誤的概率不能同時得到控制。

　　在統(tǒng)計學(xué)中，通常控制犯第一類錯誤的概概率。一般事先選定一個數(shù) a(0<a<1)，要求犯第一類錯誤的概率不超過 a。稱 a 為假設(shè)檢驗的顯著性水平，簡稱水平。犯第二類錯誤的概率的計算超出了課程的學(xué)習(xí)范圍。因此，不作討論。 ??

　　【例1(續(xù))】分析該例的顯著性水平。

　　現(xiàn)在我們來分析一下：取上述? c? 后，如果? H₀ 是正確的，卻被我們拒絕了。這時，犯第一類錯誤的概率是多少呢？

二、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗

1、單正態(tài)總體 N(μ, σ²)均值 μ?的檢驗

（1） 雙邊檢驗 H₀: μ = μ₀；H₁: μ≠μ₀?

　　假設(shè) σ²已知，根據(jù)上節(jié)中的例1，當(dāng)原假設(shè) H₀:? μ = μ₀ 成立時，有?

　　以上檢驗法稱作 U 檢驗法。

　　在應(yīng)用上，σ²未知的情況是常見的。此時，和前面不同的是：常用樣本方差 S²代替未知的σ² 。

　　此檢驗法稱作? t? 檢驗法。

（2） 單邊檢驗 H₀: μ = μ₀；H₁: μ>μ₀?

　　上一段中， H₀:μ=μ₀ ;? H₁: μ≠μ₀ 的對立假設(shè)為 H₁: μ ≠μ₀ , 該假設(shè)稱為雙邊對立假設(shè)。而現(xiàn)在要處理的對立假設(shè)為 H₁: μ >μ₀,? 稱為右邊對立假設(shè)。

?　　類似地，H₀: μ =μ₀; H₁: μ <μ₀ 中的對立假設(shè)H₁: μ <μ₀，假設(shè)稱為左邊對立假設(shè)。右邊對立假設(shè)和左邊對立假設(shè)統(tǒng)稱為單邊對立假設(shè)，其檢驗為單邊檢驗。

　　例如：工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的數(shù)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，均值為 μ₀ ；采用新技術(shù)或新配方后，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)還服從正態(tài)分布，但均值為 μ。我們想了解 “μ是否顯著地大于μ₀”,即產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)是否顯著地增加了。

　　【例 2】某廠生產(chǎn)一種工業(yè)用繩,其質(zhì)量指標(biāo)是繩子所承受的最大拉力，假定該指標(biāo)服從正態(tài)分布，且該廠原來生產(chǎn)的繩子指標(biāo)均值 μ₀ =15公斤，采用一種新原材料后,廠方稱這種原材料提高了繩子的質(zhì)量，也就是說繩子所承受的最大拉力 μ 比15公斤增大了。

??? 為檢驗該廠的結(jié)論是否真實，從其新產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測得它們所承受的最大拉力的平均值為15.8公斤，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=0.5公斤。取顯著性水平a =0.01。問從這些樣本看：能否接受廠方的結(jié)論。

2、兩個正態(tài)總體 N(μ₁, σ₁²) 和? N(μ₂, σ₂²)均值的比較

　　在應(yīng)用上，經(jīng)常會遇到兩個正態(tài)總體均值的比較問題。

　　例如：比較甲、乙兩廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量。將兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N(μ₁, σ₁²) 和 N(μ₂, σ₂²)。比較它們的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的問題，就變?yōu)楸容^這兩個正態(tài)總體的均值 μ₁和 μ₂的的問題。

　　又如：考察一項新技術(shù)對提高產(chǎn)品質(zhì)量是否有效。將新技術(shù)實施前后生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)分別看成正態(tài)總體 N(μ₁,?σ₁²) 和 N(μ₂,?σ₂²)。這時，所考察的問題就歸結(jié)為檢驗這兩個正態(tài)總體的均值 μ₁和?μ₂是否相等的問題。? ?

?　　　　

　　上面，我們假定 σ₁²=σ₂²。當(dāng)然，這是個不得已而強(qiáng)加上去的條件，因為如果不加此條件，就無法使用簡單易行的 t 檢驗。

? ? ? 在實用中，只要我們有理由認(rèn)為σ₁²和σ₂²相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果方差比檢驗未被拒絕(見下節(jié)), 就認(rèn)為σ₁²和σ₂²相差不是太大。

　　【例3】假設(shè)有A和B兩種藥，欲比較它們在服用2小時后在血液中的含量是否一樣。對藥品A，隨機(jī)抽取8個病人服藥，服藥2小時后，測得8個病人血液中藥物濃度(用適當(dāng)?shù)膯挝?分別為:

???? 1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76.

　　對藥品B，隨機(jī)抽取6個病人服藥，服藥2小時后，測得血液中藥的濃度分別為:?1.76, 1.41,? 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.

　　假定這兩組觀測值抽自具有共同方差的兩個正態(tài)總體，在顯著性水a(chǎn)=0.10下，檢驗病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同?

?

三、正態(tài)總體方差的檢驗

　　1、單個正態(tài)總體方差的 χ2 檢驗

　　設(shè) X₁, X₂, …, X_n 為來自總體 N(μ , σ²) 的樣本，μ ?和 σ²未知，求下列假設(shè)的顯著性水平為 a? 的檢驗。

　　（1） H₀: σ² =σ₀²；H₁: σ² ≠σ₀²

　　【思路分析】利用樣本方差 S²是?σ²的一個無偏估計，且 (n-1)S²/ ?σ²?~ χ²_n-1 的結(jié)論。

　　當(dāng)原假設(shè) H₀: σ²?= σ₀²成立時，S²和σ₀²應(yīng)該比較接近，即比值 S²/σ₀²應(yīng)接近于1。所以,這個比值過大或過小 時，應(yīng)拒絕原假設(shè)。

? ? ?合理的做法是:? 找兩個合適的界限 c₁ 和 c₂ ,

　　● 當(dāng) c₁<(n-1)S²/σ₀² < c₂ 時，接受H₀；

　　● 當(dāng) (n-1)S²/σ₀²≤c₁ 或 (n-1)S²/σ₀²≥c₂ 時,?? 拒絕 H₀ 。 ? ?

　　（2） H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?>σ₀²

　　（3)? H₀: σ²?≤σ₀²；H₁: σ²?> σ₀²?(同2.)

?

　　【例1】某公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑 (單位: cm) 服從正態(tài)分布，并稱其標(biāo)準(zhǔn)差 σ₀=0.048 。現(xiàn)隨機(jī)抽取5個部件，測得它們的直徑為?1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.

取a=0.05，問:

　　(1). 能否認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑的標(biāo)準(zhǔn)差確實為σ= σ₀?

　　(2). 能否認(rèn)為σ ≤ σ₀?

　　解:? (1). 的問題就是檢驗H₀: σ²?=σ₀²；H₁: σ²?≠σ₀².?其中，n=5，a =0.05，σ₀=0.048.

　　(2).? 的問題是檢驗H₀:?σ²?≤σ₀²；H₁:?σ²?>?σ₀².

　　2、兩正態(tài)總體方差比的 F 檢驗

　　設(shè)X₁, X₂, …, X_m和Y₁, Y₂, …, Y_n 分別為抽自正態(tài)總體 N(μ₁ , σ₁²)和 N(μ₂?, σ₂²)的樣本,? 欲檢驗

　　(1).? H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁: σ₁²?≠ ?σ₂².

　　該檢驗主要用于上節(jié)中實施兩樣本 t 檢驗之前，討論 ?σ₁²?=?σ₂²?的假設(shè)是否合理。

【思路分析】

　　因兩總體 N(μ₁?, σ₁²)和 N(μ₂?, σ₂²)的樣本方差S₁²和S₂²分別為σ₁²和σ₂²的無偏估計。所以,直觀上講，S₁²/S₂² 是σ₁²/σ₂² 的一個好的估計。

　　當(dāng)? H0: ?σ₁²?=?σ₂² 成立時, ?σ₁²/σ₂²=1,? 作為其估計，S₁²/S₂²也應(yīng)與 1 相差不大。當(dāng)該值過分地大或過分地小時，都應(yīng)拒絕原假設(shè)成立。

??? 合理的思路是：找兩個界限c₁和c₂,

　　　　● 當(dāng) c₁< S₁²/S₂²?< c₂ 時，接受H₀；

　　　　● 當(dāng) S₁²/S₂²?≤ c₁, 或 S₁²/S₂²?≥ c₂ 時,? 拒絕H₀。

　　（2） H₀: σ₁²?=?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

　　（3） H₀: σ₁²?≤?σ₂²；H₁:?? ?σ₁²>?σ₂²

　　　　結(jié)論同 2。

　　【例2】甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩廠的產(chǎn)品中分別隨機(jī)地抽取12個和10個樣品,測得它們的電阻值后，計算出樣本方差分別為S₁²=1.40，S₂²=4.38。假設(shè)兩廠生產(chǎn)的電阻的電阻的阻值分別服從正態(tài)分布 ? N(μ₁?, σ₁²)和 N(μ₂?, σ₂²)。在顯著性水平 a = 0.10下, 是否可接受： ??(l).σ₁² =σ2²；(2).σ₁²≤σ2². ?

?

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總結(jié)

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