e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的證明：

因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……

cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……

在e^x的展開式中把x換成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 ……

e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!?x^4/4!……

=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

所以e^±ix=cosx±isinx

將公式里的x換成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：

e^iπ+1=0.

這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學里常見的0。數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的复变函数论里的欧拉公式的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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