2021-1-3

文章目錄

• 2021-1-3
• 第一章 復數與復變函數
• • §1.1 復數
  • • 一、復數及其運算
    • • 定義：
      • 復數的基本概念
      • • 相等
      • 四則運算
    • 二、共軛復數
    • • 定義
      • 性質
  • §1.2 復數的幾種表示
  • • 復平面
    • 一、復數的模與輻角
    • • 主輻角
      • 相互轉換關系
      • • 三減二加，一四不變
    • 二、復數的三角表示和指數表示
    • • 三角表示式
      • 指數表示式
      • 利用指數表示進行復數的乘除法運算
      • 簡單復數的指數表示形式
    • 三、復數的乘冪與方根
    • • 復數的乘冪
      • • 棣莫弗(De Moivre)公式
      • 復數的方根
      • • 定義：
        • 利用復數的指數表示式可以很快得到**開方法則**：
        • 方根公式
      • 幾個關系
    • 知識拓展——歐拉公式
  • §1.3 平面點集的一般概念
  • §1.4 無窮大與復球面
  • §1.5 復變函數
• ? 持續更新 ?！！！！

第一章 復數與復變函數

代數基本定理：

任何多項式在復數域里必有根，而且 n 次多項式恰好有 n 個根

§1.1 復數

一、復數及其運算

定義：

(1) 設 x 和 y 是任意兩個實數，$z=x+iy$ ( 或者 $z=x+yi$ ) 的數稱為復數。其中 $i$ 稱為虛數單位，即 $i=\sqrt{?1}$

(2) x 和 y 分別稱為復數 z 的實部與虛部，并分別表示為：$x=Re(z)$ , $y=Im(z)$

(3) 當 x = 0 時，z = 0 + iy = iy 稱為純虛數
當 y = 0 時，z = x + i0 = x 就是實數。因此，實數可以看作是復數的特殊情形。

復數的基本概念

相等

設 $z_1=x_1+i{y}_1$ 與 $z_2=x_2+i{y}_2$ 是兩個復數

如果 $x_1=x_2$ 與 $y_1=y_2$ 相等， 則稱 $z_1$與 $z_2$ 相等
它們之間只有相等與不相等的關系。

特別地，$z=x+iy=0$ 當且僅當 $x=y=0$.

注：復數與實數不同，兩個復數(虛部不為零)不能比較大小，它們之間只有相等與不相等的關系。

四則運算

加法：$z_1+z_2=x_1+x_2+i(y_1+y_2)$;

減法：$z_1?z_2=x_1?x_2+i(y_1?y_2)$；

乘法：$z_1?z_2=(x_1{x}_2?y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$;

除法 ：如果存在復數 $z$，使得$z_1=z_2?z$，則 $z=\frac{z_1}{z_2}$。

加法、乘法滿足交換律與結合律，乘法對加法滿足分配律．由此可知，在實數域里由這些規律推得的恒等式在復數里仍然有效．另外，還可以驗證：復數集關于四則運算是封閉的，其代數結構是域。

交換律、結合律、分配率

二、共軛復數

定義

設 $z=x+iy$ 是一個復數，
稱 $z=x?iy$ 為 $z$ 的共軛復數，記作 $\overline{z}$。

稱 $\sqrt{x^2+y^2}$ (算術根)為復數 $z$ 的模，記作 $|z|$ = $\sqrt{x^2+y^2}$．

性質

§1.2 復數的幾種表示

復平面

用建立了笛卡兒直角坐標系的平面來表示復數的平面稱為復平面．復平面賦予了復數以直觀的幾何意義，復數的數對表示式也可以看作是直角坐標系中的坐標.它建立了“數”與“點”之間的一一對應關系．此時，x 軸稱為實軸，y 軸稱為虛軸

把復數$1+2i$ 稱為點$1+2i$ ，把點 $4+i$ 稱為復數 $4+i$ ．

在復平面上，從原點到點 $z=x+iy$ 所引的向量與該復數 z 也構成一一對應關系(復數零對應零向量)。

引進復平面后，復數 z 與點 z 以及向量 z 視為同一個概念。

一、復數的模與輻角

稱 $\sqrt{x^2+y^2}$ (算術根)為復數 $z$ 的模，記作 $|z|$ = $\sqrt{x^2+y^2}$．

(1) 輻角是多值的，相互之間可相差 2kπ ,其中 k 為整數。

(2) 輻角的符號約定為：逆時針取正號，順時針取負號。

復數 0 的模為 0，輻角無意義。

主輻角

Arg z = arg z + 2kπ , k = 0, ± 1, ± 2,……

相互轉換關系

三減二加，一四不變

二、復數的三角表示和指數表示

三角表示式

指數表示式

利用指數表示進行復數的乘除法運算

簡單復數的指數表示形式

三、復數的乘冪與方根

復數的乘冪

利用復數的指數表示式可以很快得到乘冪法則：

棣莫弗(De Moivre)公式

復數的方根

定義：

復數求方根是復數乘冪的逆運算

復數的 n 次方根一般是多值的

利用復數的指數表示式可以很快得到開方法則：

方根公式

在復平面上， 這 n 個根均勻地分布在一個以原點為中心、以 $\sqrt[n]{r}$ 為半徑的圓周上。其中一個根的輻角是 $(\theta /n)$.

幾個關系

知識拓展——歐拉公式

§1.3 平面點集的一般概念

【復變函數與積分變換】【平面點集的一般概念】

§1.4 無窮大與復球面

【復變函數與積分變換】【平面點集的一般概念】

§1.5 復變函數

? 持續更新 ?！！！！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【复变函数与积分变换】【第一章 复数与复变函数】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。