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1級(jí)

2012-11-27 回答

以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。

復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。

如果當(dāng)函數(shù)的變量取某一定值的時(shí)候，函數(shù)就有一個(gè)唯一確定的值，那么這個(gè)函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項(xiàng)式就是這樣的函數(shù)。

復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說(shuō)明。對(duì)于某一個(gè)多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。

黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深?yuàn)W的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來(lái)。近來(lái)，關(guān)于黎曼曲面的研究還對(duì)另一門(mén)數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。

復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來(lái)說(shuō)明、解決問(wèn)題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過(guò)共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說(shuō)明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、彈性理論、靜電場(chǎng) 、電路理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。

留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算比起線積分計(jì)算方便。計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點(diǎn)上求留數(shù)的計(jì)算，當(dāng)奇點(diǎn)是極點(diǎn)的時(shí)候，計(jì)算更加簡(jiǎn)潔。

把單值解析函數(shù)的一些條件適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a(bǔ)充，以滿足實(shí)際研究工作的需要，這種經(jīng)過(guò)改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。

廣義解析函數(shù)的應(yīng)用范圍很廣泛，不但應(yīng)用在流體力學(xué)的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學(xué)部門(mén)也在應(yīng)用。因此，近年來(lái)這方面的理論發(fā)展十分迅速。

從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它曾經(jīng)推動(dòng)過(guò)一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。現(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。

總結(jié)

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