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复变函数 —— 4. 什么是调和函数

發布時間：2023/12/10 编程问答 34 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了复变函数 —— 4. 什么是调和函数小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

1. 調和函數的定義
- 例1.
- 例2.

1. 調和函數的定義

在《淺談矢量場 —— 1. 梯度、散度與拉普拉斯算子》這篇文章中提到過「拉普拉斯算子」，它的表達形式一般如下：

$Δ=?2=?2?x2+?2?y2+?2?z2\Delta = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

在物理上，它是 $n$ 維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度 $?f\nabla f$ 的散度 $???f\nabla \cdot \nabla f$ 。注意，通常表示梯度時，我們使用 $?f\nabla f$ ，而表示散度時，我們習慣使用 $??f\nabla \cdot f$ ，旋度則一般表示為 $?×f\nabla \times f$ 。所以，拉普拉斯算子的二階形式，經常被簡寫為 $?2f\nabla^2 f$ ，很少使用 $Δf\Delta f$ 形式，因為這容易與微量弄混淆，所以現在一些較新的出版論文或教材里，已經較多的使用 $?2\nabla^2$ 替換了原有的 $Δf\Delta f$ 形式。

而「調和函數」的形式可以從「拉普拉斯算子」出發，被認為是當「拉普拉斯算子」等于0的特殊情況的一類函數，即：

$?2φ=?2φ?x2+?2φ?y2+?2φ?z2=0\nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0$

而且一般對于復數域來說，我們只討論到實數域和虛數域兩個維度，所以：

$?2φ=?2φ?x2+?2φ?y2=0\nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$

我個人感覺，「調和函數」這種函數形式，對于研究物理「場」是一種特別重要的工具，但是說實話在數學范疇上，是比較少見到具體應用的。

那么對于一個復變函數 $f (z) = u + j v$ 來說，如果它自身滿足

${?2u=0?2v=0\left \{ \begin{matrix} \nabla^2 u = 0 \\ \nabla^2 v = 0 \end{matrix} \right .$

那么我們稱其為調和函數。

現在我們來看一些例題

例1.

函數 $f (z) = u + j v$ 在區域 $D$ 內解析，則下列命題中錯誤的是________
A. 函數 $f (z)$ 在區域 $D$ 內可導；
B. 函數 $u$ 、 $v$ 時區域 $D$ 的調和函數；
C. 函數 $u$ 、 $v$ 在區域 $D$ 內滿足柯西黎曼方程；
D. 函數 $u$ 、 $v$ 在區域 $D$ 內的共軛調和函數。

解：這題主要考察對復變函數相關概念的掌握，我們現在一一分析：

首先對于答案A，由于題干給出了在 $D$ 內解析，那它必然在 $D$ 內處處可導（對這問題不熟悉的朋友，可以看《復變函數 —— 3. 什么是解析函數》），并且可以直接得到 $u$ 、 $v$ 必然也滿足柯西黎曼方程，所以C也是正確的。

接下來對于B來說，由于A和C正確，所以對于復變函數的一階導必然是一個復常數 $a$

$?f=a\nabla f = a$

這是因為如果說復變函數在點 $(x, y)$ 存在導數，也就意味著當 $z$ 趨于 $z_o$ 時， $f (z)$ 有極限a存在，即 $limz→zof(z)?f(zo)z?zo=alim_{z \to z_o} \frac{f(z) - f(z_o)}{z - z_o} = a$ 。注意這里的 $a$ 必須是一個確定的「復常數」，即 $3 ? j$ 或者 $1 / 4 j$ 這樣，而不是 $x ? j$ 這種類型的。

所以如果我們再對「復常數」 $a$ 取導，它一定等于0，所以在滿足區域 $D$ 內解析的同時， $u$ 、 $v$ 也同時滿足調和函數的定義要求，B因此也是正確的；這樣錯誤的只有D了。

例2.

驗證 u(x, y) = x^2 - y^2 + xy 是調和函數，并求相應的解析函數， $f (z) = u + j v$ ，使 $f (0) = 0$ 。

解：驗證調和函數，首先要求上式的二階導，所以

$??x?(x2?y2+xy)?x=??x?(2x+y)=2\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \cdot (2x + y) = 2$

$??y?(x2?y2+xy)?y=??y?(?2y+x)=?2\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \cdot (-2y + x) = -2$

由于 $2 ? 2 = 0$ ，所以 $u$ 是調和函數。接下來在已知實數域函數 $u$ 的前提下，我們需要推導出虛數域的函數 $v$ ，先從CR方程，可以得到 $?u?x=?v?y\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ ，注意這兩個都是導數形式，所以要想得到原函數，可以把導數代入積分中，即：

$\int v' dy = \int u' dy$

$u^{'}$ 其實已經在驗證調和函數過程中得到，所以直接代入

$\int (2x + y) dx = 2xy + \frac{1}{2} y^2 + C(x)$

于是得到 $?v?x=2y+C′(x)\frac{\partial v}{\partial x} = 2y + C'(x)$ ，然后再代入CR方程， $?u?y=??v?x\frac{\partial u}{\partial y}= - \frac{\partial v}{\partial x}$ ，

$\to C'(x) = -x$

然后求 $C (x)$ 的原函數，通過 $\int -x dx = -\frac{1}{2} x^2 + C$ ，最終 $\frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C$ ，然后對于 $f (z) = u + j v$ ，可得到：

$x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C)$

然后帶入條件 $f (0) = 0$ ，且 $z = x + j y$ 可知 $x = y = 0$ ，于是

$x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C) \Rightarrow jC = 0 \Rightarrow C= 0$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的复变函数 —— 4. 什么是调和函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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