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文章目錄

• 一、前驅知識準備
• • 1、Lingo簡介
  • 2、01規劃、整數規劃、(非)線性規劃等規劃的區別
  • 3、優化(/規劃)模型的組成
  • • (1)目標函數
    • (2)決策變量
    • (3)約束條件
  • 4、Lingo模型的基本組成
  • • (1)集合定義部分
    • (2)數據段
    • (3)初始化段
    • (4)計算段
    • (5)目標函數和約束條件
• 二、樣例：國賽數模11年B題《交巡警服務平臺的設置與調度》的第一問(前2小問)
• • 1、問題描述：
  • 2、解題思路
  • 3、數據預處理
  • 4、第①小問 模型的建立和求解
  • 5、第②小問 模型的建立和求解
• 三、總結：
• 四、參考附錄：

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敲到碼窮處，坐看云起時。?? ?? ??

數學建模系列文章——總結篇：《數模美一國一退役選手的經驗分享[2021紀念版]》.

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一、前驅知識準備

1、Lingo簡介

??LINGO是 Linear Interactive and General Optimizer 的縮寫，即“交互式的線性和通用優化求解器”。

??Lingo超強的優化計算能力在很多方面（線性規劃、非線性規劃、線性整數規劃、非線性整數規劃、非線性混合規劃、二次規劃等）比matlab、maple等強得多。

??Lingo編程簡潔明了，數學模型不用做太大的改動，便可以直接用Lingo語言編程呈現，十分直觀。

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2、01規劃、整數規劃、(非)線性規劃等規劃的區別

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??①0-1規劃 是決策變量僅取值0或1的一類 特殊的整數規劃。

?? 補充：0-1 變量可以數量化地描述諸如開與關、取與棄、有與無等現象所反映的邏輯關系。因此 0-1 規劃非常適合解決如工廠選址 、生產計劃安排、背包問題、人員安排等多種問題。

??②整數規劃 是指規劃中的變量（全部或部分）限制為整數。

??補充：若在線性模型中，變量限制為整數，則稱為整數線性規劃。所流行的求解整數規劃的方法往往只適用于整數線性規劃。從約束條件的構成又可細分為線性，二次和非線性的整數規劃。

??③線性規劃（Linear programming,簡稱 LP ），是運籌學中的一個重要分支，它是一種數學方法。研究 線性約束條件 下 線性目標函數 的 極值問題 的數學理論和方法。

??④非線性規劃 是一種求解目標函數或約束條件中有一個或幾個 非線性函數 的最優化問題的方法。

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3、優化(/規劃)模型的組成

(1)目標函數

??(1)目標函數：一般表示成求 某個數學表達式 的 最小值 或 最大值 。

(2)決策變量

??(2)決策變量：目標函數值 取決于 哪些變量。

(3)約束條件

??(3)約束條件：對變量附加一些條件限制(通常用等式或不等式來表示)。

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4、Lingo模型的基本組成

(1)集合定義部分

(2)數據段

(3)初始化段

(4)計算段

(5)目標函數和約束條件

??注：詳細說明可參考本文最后的 參考附錄【2】 📚。

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二、樣例：國賽數模11年B題《交巡警服務平臺的設置與調度》的第一問(前2小問)

1、問題描述：

??該市中心城區A的交通網絡和現有的20個交巡警服務平臺的設置情況如下圖所示。(相關數據可在本文最后 參考附錄【1】下載)

??①現在請為各交巡警服務平臺分配管轄區域，使其在所管轄的范圍出現突發事件時，盡量能在3分鐘內有交巡警（警車時速為60km/h）到達事發地。

??②對于重大突發事件，需要調度全區20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該去的13條交通要道實現快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個結點，請給出該區交巡警服務平臺合理的調度方案。【注：13條交通要道即圖中13個紅點。】

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2、解題思路

??①根據實際情況，我們首先要對數據進行處理，利用Folyd算法，借助 matlab 軟件對其進行求解，求出20個交巡警服務平臺到各個結點之間的實際距離。
??然后建立優化模型，找出目標函數，并找出相應的約束條件，借助 lingo 對其進行求解，得出結論。


??②由上面那張圖，我們明顯地可以看出，有些結點到所有的交巡警平臺的距離都不會小于3km，所以顯然不能滿足 “3分鐘” 那個條件(因為車速60km/h→1km/min)。故我們考慮到交巡警平臺的重新鋪設，將20個交巡警平臺重新在交通網絡中鋪設，得到最優結果。


??③我們設定一個正向型指標，使增設平臺的目標就是：讓該 指標 分數最大。

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3、數據預處理

Folyd算法如下：

??Step1：構造 0-1 矩陣 A₀：

??來存放各節點之間的關系，其中，a_ij = 0 表示 i,j 兩節點之間 沒有 直接連接。 a _ij = 1 表示 i,j 兩節點之間直接連接。

??Step2：遞推產生一個矩陣序列 A₀、A₁、A₂、… 、A_k、A_k+1、… 、A_n-1、A_n。其中 A_k ( i , j ) 表示從節點 i 到結點 j 的路徑所經過的節點序號不大于 k 的最短路徑長度。
??計算時用的迭代公式為：

$$A_k(i,j)=min(A_{k?1}(i,j),A_{k?1}(i,k)+A_{k?1}(k,j))$$

??其中，k 為迭代次數， i, j, k = 1, 2, 3, … , n
??最后，當 k=n 時，A_n 即是各節點之間的最短距離。

??注： Table是個 n*m 的結構體表 ，封裝了題目里面的所有數據。
??其構造的內容詳見 這一篇文章《數學建模——matlab繪制 地圖 散點圖連線圖 (運用plot、scatter、struct、xlsread等函數)》
??鏈接: https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/119007126?spm=1001.2014.3001.5501.
??Folyd 的原理可以參考這篇《算法篇——詳解 弗洛伊德(Folyd)算法【用 C/C++ 和 matlab 實現】》
??鏈接:https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/119485893?spm=1001.2014.3001.5501.

??通過 matlab 編程求解如下：

A_0 = zeros(92,92); % 初始化 注：A區域有92個節點 for i=1:92next_point = Table(i).NextJieDian; % 注：Table(i).NextJieDian 是一個 1*n 的矩陣for j=1:length(next_point)if 1 <= next_point(j) && next_point(j) <= 92A_0(i,next_point(j)) = 1;endend endzuo_x_A = zeros(92,1); zuo_y_A = zeros(92,1); for i=1:92 % 篩選出 A 區域里面的數據點zuo_x_A(i) = Table(i).X;zuo_y_A(i) = Table(i).Y; endX_0 = zeros(92,92); for i=1:92 % 計算A區域中 兩兩結點之間的距離for j=1:92X_0(i,j) = sqrt( ( zuo_x_A(i) - zuo_x_A(j) ).^2 + ( zuo_y_A(i) - zuo_y_A(j) ).^2 ); end end Fal_X = X_0 .* A_0; % 只保留 兩個結點有連線的 "距離值"for i=1:92for j=1:92if A_0(i,j) == 0 % 距離等于0，表示網絡中兩節點之間不相連，則表示距離無窮大Fal_X(i,j) = 99999; endend endfor i=1:92Fal_X(i,i) = 0; % 自身到自身的節點距離為0 end% Folyd算法： path = zeros(92); for k=1:92for i=1:92for j=1:92if Fal_X(i,j) > Fal_X(i,k) + Fal_X(k,j)Fal_X(i,j) = Fal_X(i,k) + Fal_X(k,j); % 修改最短距離path(i,j) = path(k,j); % 記錄最短途徑endendend end

??運行結果如下：

??Fal_X 表示 節點 i 到節點 j 之間的最短距離。path 記錄著 節點 i 到節點 j 的最短途徑上， 結點 j 的上一結點 k。

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4、第①小問 模型的建立和求解

??根據上述分析和數據處理，明顯有些節點到所有交巡警服務平臺的距離都不會小于 3km 。所以不能滿足那個 “3分鐘”(因為車速60km/h→1km/min) 的要求。

??所以，我們建立以下模型。并且在滿足 “3分鐘之內盡量到達” 的條件上，再使得對于少數不能感趕到的，我們盡量使其趨于最短時間。

說明：

??<1> $x_{ij}$ 是 0/1 變量，當 $x_{ij}=1$ 表示第 j 個節點分配在第 i 個交巡警服務平臺的管轄內；當 $x_{ij}=0$ 表示第 j 個節點 沒有 分配在第 i 個交巡警服務平臺的管轄內。

??<2> $L_{ij}$ 是 結點 i 到 結點 j 的最短距離。

??<3>目標函數為 $\sum _{i=1}^{20}{x}_{ij}{L}_{ij},(j=1,2,...,92)$ 表示第 j 個節點距離第 i 個交巡警服務平臺距離最近時，就將第 j 個節點分配在第 i 個交巡警服務平臺的管轄區域內。并 盡量 使交巡警平臺 能滿足 “3分鐘” 的那個條件。

??<4> $\sum _{i=1}^{20}{x}_{ij}=1,(j=1,2,...,92)$ 表示每個節點(總共92個) 只能歸屬于一個交巡警服務平臺的管轄。

??<5> $\sum _{j=1}^{92}{x}_{ij}\ge 1,(i=1,2,...,20)$ 表示每個交巡警服務平臺至少管轄一個節點。【也就是大家也都得干干活】

??用 lingo 軟件對其進行求解：

model: sets: ! 集合段; R/1..92/; S/1..20/; T/1..92/; JuZhen(S,T): x,L; BigJuZhen(R,T):Fal_X; endsetsdata: ! 數據段; Fal_X = @ole('C:\Users\ASUS\Desktop\CSDN\6交巡警\cumcm2011B附件2_全市六區交通網路和平臺設置的數據表.xls','data_1'); ! 向Excel讀數據 @ole('C:\Users\ASUS\Desktop\CSDN\6交巡警\cumcm2011B附件2_全市六區交通網路和平臺設置的數據表.xls','結果') = X; ! 向Excel寫數據 enddatacalc: ! 計算段; @for( R(i)| (i #LE# 20): @for( T(j): L(i,j) = Fal_X(i,j) ) ); endcalcmin = @sum( JuZhen: x*L ); ! 目標函數;! 以下3個函數是約束條件; @for( T(j): @sum( S(i):x(i,j) ) = 1 ); @for( S(i): @sum( T(j):x(i,j) ) >= 1 ); @for( JuZhen: @bin(x) ); ! 01變量 end

??運行結果如下：(已轉到 Excel )

??后續的可視化處理，即用 matlab 軟件對其進行畫圖：

x = xlsread('cumcm2011B附件2_全市六區交通網路和平臺設置的數據表.xls',7,'A1:CN20') table_2 = struct([]); % 結構體初始化 for i=1:20table_2(i).PingTai = []; endfor i=1:20for j=1:92if x(i,j) == 1table_2(i).PingTai = [ table_2(i).PingTai,j ]; % 將 x 的數據讀到結構體endend end Save = zeros(20,2); % 初始化 for i=1:20Z = cell2mat( struct2cell( table_2(i) ) ); % 轉換操作：結構體 → 元胞數組 → 矩陣biggest_dis = 0 ;x0 = Table(i).X;y0 = Table(i).Y;for j=1:length(Z)x1 = Table(Z(j)).X;y1 = Table(Z(j)).Y;dis = sqrt( ( x0 - x1 ).^2 + ( y0 - y1 ).^2 );if dis > biggest_disSave(i,1) = dis; % 記錄最長時間(也就是最短距離，因為車速是1km/h)Save(i,2) = j; % 記錄交通路口編號endend end xlswrite('cumcm2011B附件2_全市六區交通網路和平臺設置的數據表.xls',Save,9,'M2:N22'); hold on; new_line = cell2mat( struct2cell( table_2(1) ) ); % 結構體 → 元胞數組 → 矩陣 for j=1:length(new_line) % 給第一個交巡警服務平臺畫管轄區域xx = [ Table(1).X,Table(new_line(j)).X ] ;yy = [ Table(1).Y,Table(new_line(j)).Y ] ;scatter(xx(:,2),yy(:,2),10,'filled','m');plot(xx,yy,'m-.','LineWidth',1) endnew_line = cell2mat( struct2cell( table_2(2) ) ); for j=1:length(new_line) % 給第二個交巡警服務平臺畫管轄區域xx = [ Table(2).X,Table(new_line(j)).X ] ;yy = [ Table(2).Y,Table(new_line(j)).Y ] ;scatter(xx(:,2),yy(:,2),10,'filled','r');plot(xx,yy,'r-.','LineWidth',1) end

??運行結果如下：(注：只畫出兩個交巡警服務平臺的管轄區域,即 粉色 和 紅色)

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5、第②小問 模型的建立和求解

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??首先，我們用 matlab ，統計出13個節點(A區的13個出入口)和20個交巡警服務平臺的距離表。

Model_2 = zeros(20,13); t = 1; ans = []; for i=1:92if Table(i).A_Qu_ChuRuKou == 1for j = 1:20Model_2(j,t) = Fal_X(j,i); % 獲取對應的最短距離endt = t + 1;ans = [ans , i]; % 獲取編號end end Model_2 ans xlswrite('cumcm2011B附件2_全市六區交通網路和平臺設置的數據表.xls',Model_2,9);

??運行結果如下：(已用 Excel 作處理)

??注：①表中的單位是mm。(比例尺1:100000)

????②最上面一排項目中，括號外是打表的序號，括號內是A區13個出入口的編號。

??接著，考慮到題目中所說的 “快速全面封鎖” 這點，而時間的長短是由 所有距離中的最長距離 決定的，故不能建立 所有路程之和最短的模型，而要建立一個 時間最短模型。因為制約時間的并非是所有路程之和而是其中的最長路徑。

??所以建立的模型如下：

說明：
??<1> L₀ 為 13個A區出入口分別到20個服務平臺的 13 個最短距離中的 最大值。

??<2> $\sum _{j=1}^{13}{x}_{ij}\le 1,(i=1,2,...,20)$ 表每個交巡警平臺只能封鎖一個節點。

??<3> $\sum _{i=1}^{20}{x}_{ij}=1,(j=1,2,...,13)$ 表示每個A區出入口(總共13個) 都必須有交巡警進行封鎖。

??然后，我們用 lingo 編程求解。

model:sets: S/1..20/; T/1..13/; link(S,T): x,L; endsetsdata: L = @ole('C:\Users\ASUS\Desktop\CSDN\6交巡警\cumcm2011B附件2_全市六區交通網路和平臺設置的數據表.xls','dis'); !讀數據; @ole('C:\Users\ASUS\Desktop\CSDN\6交巡警\cumcm2011B附件2_全市六區交通網路和平臺設置的數據表.xls','TRY') = x; !寫數據; L0 = 57.01; !從Excel直接獲取的數據; enddata min = L1;L1 >= L0;@for( S(i): @SUM( T(j): x(i,j) ) <= 1 );@for( T(j): @SUM( S(i): x(i,j) ) = 1 );@for( link: x*L <= L1 );@for( link: @bin(x) );end

??運行結果如下：(已用 Excel 作處理)

??注：lingo解得的 L₁ = 80.15，故最長的路程為第29個節點，但只有 8015m ，并且滿足將各個節點全部封鎖的條件。所以從 時間的角度 來看，該模型是值得肯定的。【其實這里有一個 對比方案 ，但我沒寫，那個對比方案是 以13個A區出入口到20個服務平臺的距離和最小 為規劃目標。但這個對比方案的模型計算結果沒 80.15 好。】

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三、總結：

??在做 優化(/規劃)模型 的題目時，一般用 lingo 要方便一點。但在此之前，我們一般要進行一下 數據預處理。

??之后，我們要 找到并建立 以下三個東西：

????(1)目標函數
????(2)決策變量
????(3)約束條件

??最后，我沒有詳細地闡述其原理，只闡述了有什么用、怎么用。詳細原理可以參考本文最后的 參考附錄 📚 📚 📚。

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四、參考附錄：

[1] 《2011高教社杯全國大學生數學建模競賽賽題 B題 數據》
鏈接: http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/a1ffc4c5587c8a6f96eacefb8dbcc34e.html.

[2] 《數學建模之Lingo基礎知識與應用》
鏈接: https://blog.csdn.net/sunyueqinghit/article/details/81708836.

[3] 《LINGO學習筆記01》
鏈接: https://blog.csdn.net/Temmie1024/article/details/108863568.

[4] 《算法篇——詳解 弗洛伊德(Folyd)算法【用 C/C++ 和 matlab 實現】》
鏈接: https://blog.csdn.net/Wang_Dou_Dou_/article/details/119485893?spm=1001.2014.3001.5501.

數學建模系列文章——總結篇：《數模美一國一退役選手的經驗分享[2021紀念版]》.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模——01规划 / 线性规划 (工具：matlab + lingo，算法：Folyd)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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