1.傅里葉級數

什么是傅里葉級數？

它是一種特殊形式的函數展開，將一個函數展開，用1,cosx?, sinx?等基底函數表示。任意兩個基底函數在[0,2π]?上是正交的，正交的意思就是積分為0.

傅里葉級數一般表示

f(x)為周期函數：

f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)
可以求出3個系數：
a0=12π∫2π0f(x)dx

an=1π∫2π0f(x)cosnxdx

bn=1π∫2π0f(x)sinnxdx

狄利克雷(Dirichlet)定理說了什么？

它描述函數的收斂性，函數連續的地方收斂于f(x)，不連續的地方收斂于(f(x?0)+f(x+0))/2.

半幅傅里葉級數

如果函數不是周期性的，那么上面的一般表示形式不能用，但是可以展開為半幅傅里葉級數，半幅傅里葉級數有2種表現形式，分別為正弦和余弦。我的理解是因為它是半幅的，所以只需要sin或者cos就可以表示了。

正弦形式：

?(x)=∑n=1∞CnsinnπxL
展開系數：
Cn=2L∫L0?(x)sinnπxLdx(n=1,2,3...)
余弦的就不寫了。

傅里葉積分

傅里葉積分與傅里葉級數的區別是什么？

前面2個級數分別對應周期和有限區間。傅里葉積分對應無限區間、非周期函數。

推導傅里葉積分的過程會用到絕對可積，它的的2個性質：

1.積分有限

2.當x為無窮大時，f(x)=0

原來傅里葉級數是這樣的：

f(x)=a0+∑n=1∞(ancosnπLx+bnsinnπLx)
寫成傅里葉積分是這樣的：
f(x)=∫∞0[A(ω)cosωx+B(ω)sinωx]dω
其中：
A(ω)=1π∫+∞?∞f(t)cosωtdt

B(ω)=1π∫+∞?∞f(t)sinωtdt

f(x)代表一個“信號”，系數A(ω)和B(ω)則是信號f(x)的頻譜分布函數，分別對應于正交分量cosωt和sinωt，由信號得到頻譜的過程稱為傅里葉分析。

2.傅里葉變換

公式

可以從傅里葉積分推導出傅里葉變換，這中間引入了虛數了i 。
f(x)=12π∫+∞?∞∫+∞?∞f(t)e?iωtdteiωtdω
得到：

F(ω)=∫+∞?∞f(x)e?iωxdx

f(x)=12π∫+∞?∞F(ω)eiωxdω

F(ω)為f(x)的傅里葉變換，f(x)為F(x)的傅里葉反變換。傅里葉變換與積分的區別在于ω的變化范圍由[0,∞)擴展到(?∞,∞)。

一些特性

1.當ω=0時，得到：

F(0)=∫+∞?∞f(x)dx
這說明頻譜在 ω=0時值等于信號 f(x)的面積。

2.當x=0時，得到：

f(0)=12π∫+∞?∞F(ω)dω
這說明頻譜積分給出函數在原點取值的 2π倍。

卷積定理

這是一個非常有用的定理：

f1(x)?f2(x)?F1(ω)F2(ω)

狄拉克(δ)函數

它的兩個特征：

1.x=x0時為0，其余為無窮

2.積分為1

它具有“篩選”性質。

它的一些性質：

1.它是偶函數

2.δ函數與f(x)函數的卷積是f(x)本身

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參考：

顧樵. 數學物理方法[M]. 科學出版社, 2012.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶级数与傅里叶变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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