Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion

文章目錄

• Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion
• • Physical background of diffusion processes
  • Linear diffusion filtering
  • Nonlinear Diffusion Filtering

Physical background of diffusion processes

當物質濃度、熱量等物理量$u$存在較大差異時，傾向于通過擴散過程來達到平衡，即Fick’s law：
$$j=?D.?u\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$j$為擴散通量(Diffusion Flux)，表示單位時間內通過垂直于擴散方向的單位截面積的擴散物理流量，與該界面處的擴散物理量的梯度成正比，梯度越大，擴散通量越大，如果是單方向擴散過程$D$表示擴散方向(Diffusion Factor)，為正，如果是多方向擴散過程$D$表示擴散張量(Diffusion Tensor)，為正定對稱陣，$?$號表示擴散方向為梯度的反方向。
參見顧樵.《數學物理方法》中對散度的定義即是單位面積的通量，因此可以將上式表示為：
$${?}_{t}u=?divj=div(D.?u)=\Delta u\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$\nabla $為梯度算法，$\Delta$為拉普拉斯算子，$div$為散度算子，$t$表示時間，當$u$表示熱量時，即為熱方程，當$u$表示圖像灰度值時，如果擴散張量$D$保持全圖一致，則稱此時的圖像濾波器為線性濾波器，如果擴散張量$D$隨圖像某維度信息的變化而變化的話，則稱此時的圖像濾波器為非線性濾波器。

注：拉普拉斯算子即是梯度的散度

Linear diffusion filtering

偏微分方程在圖像濾波過程中最簡單、研究最為深入的就是線性擴散濾波，最值得關注的一點是線性擴散濾波與高斯卷積之間的聯系。首先一個基本的結論是線性擴散濾波，也即是線性各向同性擴散，等價于高斯卷積。
定義$f\in R^2$為灰度圖像，絕對可積，最常用來對$f$進行平滑的方式即是用高斯濾波核$K_{\sigma }(x,y)$與圖像$f$進行卷積：
$$\begin{array}{rl}\left(K_{\sigma }?f\right)(x)& :={\int }_{{\mathbb{R}}^2}{K}_{\sigma }(x?y)f(y)dy\\ K_{\sigma }(x)& :=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}?\exp \left(?\frac{|x{|}^2}{2{\sigma }^2}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
由于$f$是絕對可積的，那么我們轉到頻域中來觀測上面的高斯卷積到底對圖像帶來了什么樣的影響：
$$(\mathcal{F}f)(\omega ):={\int }_{{\mathbb{R}}^2}f(x)\exp (?i?\omega ,x?)dx\text{\hspace{1em}(4)}$$
由卷積定理：
$$\begin{array}{rl}& \left(\mathcal{F}\left(K_{\sigma }?f\right)\right)(\omega )=\left(\mathcal{F}{K}_{\sigma }\right)(\omega )?(\mathcal{F}f)(\omega )\\ & \left(\mathcal{F}{K}_{\sigma }\right)(\omega )=\exp \left(?\frac{|\omega {|}^2}{2/{\sigma }^2}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
即在空域內用高斯濾波核對圖像進行卷積相當于頻域內用高斯函數作為傳遞函數對高頻信號進行衰減。
對于任意有界圖像，定義線性擴散過程：
$$\begin{array}{rl}{?}_{t}u& =\Delta u\\ u(x,0)& =f(x)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
式的解即為：
$$u(x,t)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (t=0)\\ \left(K_{\sqrt{2t}}?f\right)(x)& (t>0)\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
注：此方程的求解過程借助傅里葉變換，將線性偏微分方程轉化為常微分方程，具體推導可以參考《Anisotropic Diffusion in Image Processing》

Nonlinear Diffusion Filtering

高斯卷積的計算簡單，但存在模糊圖像邊緣、紋理等細節信息的缺點，為了更好的保留圖像的結構信息，Perona-Malik提出了一種各向異性擴散，降低跨邊緣位置的擴散率，將擴散過程定義為：
$${?}_{t}u=\mathrm{div}\left(g\left(|?u|\right)?u\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中$g(|?u|)$為擴散系數，也稱邊緣停止函數(Edge-Stopping Function)，是梯度的單調遞減函數，常用的擴散系數有：
$$\begin{gathered} g(|?u|)=e^{?{\frac{?u}{k}}^2} \\ g(|?u|)=\frac{1}{1+{\frac{?u}{k}}^2} \end{gathered}$$
離散圖像中拉普拉斯算子可以近似表示為：
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}\approx \frac{U_{l?1,m}^n?2U_{l,m}^n+U_{l+1,m}^n}{(\Delta x{)}^2}+\frac{U_{l,m?1}^n?2U_{l,m}^n+U_{l,m+1}^n}{(\Delta y{)}^2}\text{\hspace{1em}(9)}$$
圖像當中$\Delta x=\Delta y=1$，因此上式化簡為：
$$\Delta u\approx \left(U_{l?1,m}^n?U_{l,m}^n\right)+\left(U_{l+1,m}^n?U_{l,m}^n\right)+\left(U_{l,m?1}^n?U_{l,m}^n\right)+\left(U_{l,m+1}^n?U_{l,m}^n\right)\text{\hspace{1em}(10)}$$
對于連續信號$u(x,y,t)$表示圖像點$(x,y)$處的像素值隨時間$t$的變化，對于離散信號$u(x,y,t)$表示圖像點$(x,y)$處的像素值隨迭代次數$t$的變化，用麥克勞林展開對$u(x,y,t)$進行線性近似：
$$u(x,y,t)=u(x,y,t?1)+(\frac{?u}{?t})+R_n(t)\text{\hspace{1em}(11)}$$
將式(10)代入式(11)即有：
$$\begin{array}{rl}{U}_{l,m}^{n+1}=U_{l,m}^n+\lambda & (g\left(\left|U_{l?1,m}^n?U_{l,m}^n\right|\right)\left(U_{l?1,m}^n?U_{l,m}^n\right)\\ & +g\left(\left|U_{l+1,m}^n?U_{l,m}^n\right|\right)\left(U_{l+1,m}^n?U_{l,m}^n\right)\\ & +g\left(\left|U_{l,m?1}^n?U_{l,m}^n\right|\right)\left(U_{l,m?1}^n?U_{l,m}^n\right)\\ & +g\left(\left|U_{l,m+1}^n?U_{l,m}^n\right|\right)\left(U_{l,m+1}^n?U_{l,m}^n\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
其中$\lambda$為平滑速率，取值越大圖像越平滑，一般取$0<\lambda <1/4$，與最終濾波結果相關的參數有，$\sigma$越大、$iteration$越大圖像越平滑

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像降噪：Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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