定義$\overline{abc}$是一個(gè)三位數(shù)，其中各數(shù)位上的數(shù)字$a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$且不全相同．定義如下運(yùn)算$f$：把$\overline{abc}$的三個(gè)數(shù)字$a,b,c$自左到右分別由大到小排列和由小到大排列(若非零數(shù)字不足三位則在前面補(bǔ)$0$)，然后用“較大數(shù)”減去“較小數(shù)”．例如：$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$．如下定義一個(gè)三位數(shù)序列：第一次實(shí)施運(yùn)算$f$的結(jié)果記為$\overline{a_1b_1c_1}$，對(duì)于$n>1$且$n\in \mathcal{N}$，$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$．將$\overline{a_nb_nc_n}$的三個(gè)數(shù)字中的最大數(shù)字與最小數(shù)字的差記為$d_n$．

(1)當(dāng)$\overline{abc}=636$時(shí)，求$\overline{a_1b_1c_1}$，$\overline{a_2b_2c_2}$及$d_2$的值；

(2)若$d_1=6$，求證：當(dāng)$n>1$時(shí)，$d_n=5$；

(3)求證：對(duì)任意三位數(shù)$\overline{abc}$，$n\geqslant 6$時(shí)，$\overline{a_nb_nc_n}=495$．

分析與解 ? ?(1)$\overline{a_1b_1c_1}=297$，$\overline{a_2b_2c_2}=693$，$d_2=6$．

(2)易知，$f\left (\overline{a_{n}b_{n}c_{n}} \right )=99d_n$．

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明“當(dāng)$n>1$時(shí)，$d_n=5$”．

當(dāng)$n=2$時(shí)，因?yàn)?d_1=6$，所以$$\overline{a_2b_2c_2}=f\left (\overline{a_{1}b_{1}c_{1}} \right )=594,$$故$d_2=5$．

所以$n=2$時(shí)，要證的命題成立．

假設(shè)$n=k>1$時(shí)要證的命題成立，即$d_k=5$．則$n=k+1$時(shí)，$$\overline{a_{k+1}b_{k+1}c_{k+1}}=f\left (\overline{a_{k}b_{k}c_{k}} \right )=99d_k=495,$$所以$d_{k+1}=5$．

故$n=k+1$時(shí)，要證的命題也成立．

綜上所述，命題“當(dāng)$n>1$時(shí)，$d_n=5$”成立．

(3)易知，$d\in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$．

因?yàn)?$\overline{a_{1}b_{1}c_{1}}=f\left (\overline{abc} \right )=99d=\overline{d00}-\overline{00d},$$所以$a_1=d-1,b_1=9,c_1=10-d$，故$$d_1=\begin{cases}10-d,&d \leqslant 5,\\d-1,&d>5,\end{cases} $$因此$d_1 \in \{ 5,6,7,8,9 \}$．

若$d_1=5$，則$\overline{a_2b_2c_2}=\overline{a_3b_3c_3}=\cdots=495$；

若$d_1=6$，則$d_2=5$，故$\overline{a_3b_3c_3}=\overline{a_4b_4c_4}=\cdots=495$；

若$d_1=7$，則$d_2=6,d_3=5$，故$\overline{a_4b_4c_4}=\overline{a_5b_5c_5}=\cdots=495$；

若$d_1=8$，則$d_2=7,d_3=6,d_4=5$，故$\overline{a_5b_5c_5}=\overline{a_6b_6c_6}=\cdots=495$；

若$d_1=9$，則$d_2=8,d_3=7,d_4=6,d_5=5$，故$\overline{a_6b_6c_6}=\overline{a_7b_7c_7}=\cdots=495$．

綜上所述，對(duì)任意三位數(shù)$\overline{abc}$，當(dāng)$n\geqslant 6$時(shí)，均有$\overline{a_nb_nc_n}=495$．

注 ? ?這個(gè)問(wèn)題叫做“Kaprekar問(wèn)題”，由印度數(shù)學(xué)家Kaprekar在1949年提出．我們還可以證明，對(duì)于各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不全相同的四位數(shù)來(lái)說(shuō)，最多進(jìn)行$7$次題中所描述的操作，即可得到常數(shù)$6174$．

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的5位数的数字黑洞是多少_每日一题[491]数字黑洞--Kaprekar常数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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