農民約翰準備購買一群新奶牛。 在這個新的奶牛群中, 每一個母親奶牛都生兩個小奶牛。這些奶牛間的關系可以用二叉樹來表示。這些二叉樹總共有N個節點(3 <= N < 200)。這些二叉樹有如下性質:

描述

每一個節點的度是0或2。度是這個節點的孩子的數目。

樹的高度等于K(1 < K < 100)。高度是從根到最遠的那個葉子所需要經過的結點數; 葉子是指沒有孩子的節點。

?

有多少不同的家譜結構? 如果一個家譜的樹結構不同于另一個的, 那么這兩個家譜就是不同的。輸出可能的家譜樹的個數除以9901的余數。

格式

PROGRAM NAME: nocows

INPUT FORMAT?(file nocows.in)

第1行: 兩個空格分開的整數, N和K。

?

OUTPUT FORMAT?(file nocows.out)

第 1 行: 一個整數，表示可能的家譜樹的個數除以9901的余數。

SAMPLE INPUT

5 3

SAMPLE OUTPUT

2

OUTPUT DETAILS

有5個節點，高為3的兩個不同的家譜：

@ @/ \ / \@ @ 和 @ @/ \ / \@ @ @ @ 分析： 這道題因為對樹不太熟悉，自己沒有想出來，，，看的官方的解題報告:

這是一個DP問題。我們所關心的樹的性質是深度和節點數，所以我們可以做這樣一張表：table[i][j]表示深度為i、節點數為j的樹的個數。根據給定的約束條件，j必須為奇數。你如何構造一棵樹呢？當然是由更小的樹來構造了。一棵深度為i、節點數為j的樹可以由兩個子樹以及一個根結點構造而成。當i、j已經選定時，我們選擇左子樹的節點數k。這樣我們也就知道了右子樹的節點數，即j-k-1。至于深度，至少要有一棵子樹的深度為i-1才能使構造出的新樹深度為i。有三種可能的情況：左子樹深度為i-1 ，右子樹深度小于i-1；右子樹深度為i-1，左子樹深度小于i-1；左右子樹深度都為i-1。事實上，當我們在構造一棵深度為i的樹時，我們只關心使用的子樹深度是否為i-1或更小。因此，我們使用另一個數組smalltrees[i-2][j]記錄所有深度小于i-1的樹，而不僅僅是深度為i-2的樹。知道了上面的這些，我們就可以用以下三種可能的方法來建樹了：

table[i][j]?:= smalltrees[i-2][k]*table[i-1][j-1-k];// 左子樹深度小于i-1，右子樹深度為i-1 table[i][j]?:= table[i-1][k]*smalltrees[i-2][j-1-k];// 左子樹深度為i-1，右子樹深度小于i-1 table[i][j]?:= table[i-1][k]*table[i-1][j-1-k];// 左右子樹深度都為i-1 另外，如果左子樹更小，我們可以對它進行兩次計數，因為可以通過交換左右子樹來得到不同的樹。總運行時間為O(K*N^2)，且有不錯的常數因子。 代碼：

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cassert> #define MOD 9901 using namespace std;int table[101][202],N,K,c; int smalltrees[101][202];FILE *fin=fopen("nocows.in","r"); FILE *fout=fopen("nocows.out","w");int main() {fscanf (fin,"%d %d",&N,&K);table[1][1]=1;for (int i=2;i<=K;i++) {for (int j=1;j<=N;j+=2)for (int k=1;k<=j-1-k;k+=2) {if (k!=j-1-k) c=2; else c=1; //判斷樹的結構是否對稱 table[i][j]+=c*(smalltrees[i-2][k]*table[i-1][j-1-k] // 左子樹深度小于i-1+table[i-1][k]*smalltrees[i-2][j-1-k] // 右子樹深度小于i-1+table[i-1][k]*table[i-1][j-1-k]);// 都為i-1table[i][j]%=MOD;}for (int k=0;k<=N;k++) { // 確保接下來第i次迭代中的smalltrees[i-2][j]包含了深度小于i-1且節點數為j的樹的個數smalltrees[i-1][k]+=table[i-1][k]+smalltrees[i-2][k]; smalltrees[i-1][k]%=MOD; }}fprintf (fout,"%d\n",table[K][N]);return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/AbandonZHANG/archive/2012/07/19/2598501.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的USACO / Cow Pedigrees（DP）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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