线性代数知识点整理
目錄
前言
一.行列式
1.行列式求值
2.七大性質
3.特殊行列式的值
二.矩陣及其運算
??1.行列向量：
??2.可逆矩陣：
??3.常用性質：
4.伴隨矩陣：
三.矩陣的初等變換和線性方程組
1.初等變換：
2.矩陣的秩：定義，特性，求秩
3.齊次與非齊次線性方程組
①兩者區別
②表達式不同：
③增廣矩陣
④兩種方程組的解
⑤最簡行/列階梯矩陣：
4.等價矩陣：
四.向量組的線性相關性
1.線性表示：
2.線性相關性判斷：
3.解的情況
五.相似矩陣以及二次型
1.特征值和特征向量的定義
2.特征值和特征向量的求解
3.特征值和特征向量的性質
4.矩陣的相似對角化
5.特征分解和對角矩陣
6.二次化標準型
前言
? ? ? ? 為了更好的學習深度學習的相關內容，筆者重新整理了線性代數的主要內容，并以知識點摘要的形式對各部分進行了總結，留待之后進行相關概念的快速復習。
一.行列式
1.行列式求值
參考行列式求值
2.七大性質
?
3.特殊行列式的值
?
二.矩陣及其運算
??1.行列向量：
在線性代數中，列向量是一個 n×1 的矩陣，即矩陣由一個含有n個元素的列所組成：列向量的轉置是一個行向量，反之亦然。
??2.可逆矩陣：
矩陣A為n階方陣，若存在n階矩陣B，使得矩陣A、B的乘積為單位陣，則稱A為可逆陣，B為A的逆矩陣。 若方陣的逆陣存在，則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，且其逆矩陣唯一。 A是可逆矩陣的充分必要條件是︱A︱≠0（方陣A的行列式不等于0）。A 的秩等于n（A 滿秩）。
??3.常用性質：
?
4.伴隨矩陣：
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三.矩陣的初等變換和線性方程組
1.初等變換：
單位矩陣通過三種變換形式得到的矩陣叫做初等矩陣
①行間或列間互換②行或列乘k倍③某行加上另一行的k倍（列也如此）
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2.矩陣的秩：定義，特性，求秩
細致內容參考矩陣的秩，重點強調：可逆矩陣是滿秩矩陣
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3.齊次與非齊次線性方程組
①兩者區別
齊次線性方程組的常數項全部為零，非齊次方程組的常數項不全為零。
②表達式不同：
齊次線性方程組表達式 ：Ax=0；非齊次方程組程度常數項不全為零： Ax=b。A稱為系數矩陣，等號右邊是常數項。
③增廣矩陣
又稱 廣置矩陣 ，是在 線性代數中系數矩陣A的右邊添上線性方程組等號右邊的常數列得到的矩陣，用矩陣（A|B）表示
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④兩種方程組的解
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⑤最簡行/列階梯矩陣：
1.只能行變換 2.化簡時，從左上角第一個非零元素開始，其下元素需全部化為零，再找階梯下一個元素，其下元素化為零 3.行階梯接著可化為行最簡，階梯每行左起第一個元素為1 4.行變換只能化為行最簡，列一樣
因此，不能交叉使用兩種變換得到一種最簡矩陣
4.等價矩陣：
在線性代數和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關系。 也就是說，存在可逆矩陣（P、Q)，使得A經過有限次的初等變換得到B。
四.向量組的線性相關性
1.線性表示：
對于兩個向量組：兩個向量組A、B，若A組中每一個向量都可以由向量組B線性表示，則稱向量組A可由向量組B線性表示。（向量b能由向量組X線性表示的充要條件是：R(A)=R(A,B)）
系數矩陣在左邊時可以認為是對行進行線性變換，在右邊時可以認為對列進行線性變換
2.線性相關性判斷：
定義由第一種方法給出，A向量組的構成元素ai都是向量
初等行變換不改變列向量的線性相關性，也不改變行向量的線性相關性。
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3.解的情況
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五.相似矩陣以及二次型
只有方陣具有特征值與特征向量，不同特征值所對應的特征向量之間線性無關
形象的例子：如果把矩陣看作運動的話，那么
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特征值就是運動的速度
-
特征向量是運動的方向
1.特征值和特征向量的定義
實數λ為特征值，向量p為特征向量
?
2.特征值和特征向量的求解
?
?
3.特征值和特征向量的性質
?
4.矩陣的相似對角化
存在可逆矩陣P使得矩陣A滿足P-1 A P =A的對角矩陣（尖符號），則A稱為可以相似對角化
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5.特征分解和對角矩陣
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6.二次化標準型
考慮到對于深度學習來說，此部分不太重要，暫時進行了略過，留待后日補充。
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總結
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