三、常見曲線的參數方程

第二章 軌跡與方程

§1 平面曲線的方程

§3　母線平行于坐標軸的柱面方程

§4 空間曲線的方程

§2　曲面的方程

§1 平面曲線的方程

一、曲線的方程

二、曲線的參數方程

三、常見曲線的參數方程

一、曲線的方程

定義1

當平面上取定了坐標系之后，如果一個方程與一條曲線之

間有著關系：

①滿足方程的 必是曲線上某一點的坐標；

②曲線上任何一點的坐標 滿足這個方程，

那么這個方程就叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做這個

方程的圖形。

概括而言，曲線上的點與方程之間有著一一對應的關系

例1 求圓心在原點，半徑為R 的圓的方程

例2 已知兩點 和 ，求滿足條件

的動點M 的軌跡方程

二、曲線參數的方程

定義2

若取 的一切可能取值

①由 表示的向徑 的終點總在一條曲線上

②在這條曲線上的任意點，總對應著以它為終點的向徑，而這向徑可由

的某一值 通過 完全決定

那么就把 叫做曲線的向量式參數方程，

其中 為參數。

其坐標式參數方程為

例3 一個圓在一直線上無滑動地滾動，求圓周上一定點的軌跡

該定點的軌跡為旋輪線或擺線(cycloid)

三、常見曲線的參數方程

(1) 一個半徑為r 的小圓在半徑為R 的大圓內無滑動地滾動，小圓周上一

定點P 的運動軌跡稱為內擺線(hypocycloid)

例4 已知大圓半徑為a ，小圓半徑為b，設大圓不動，而小圓在大圓內無滑動地滾動，求動圓周上某一定點P 的軌跡方程

(a＝4b)四尖點星形線(astroid)

圓的內擺線

(2)一個半徑為r的小圓在半徑為R的大圓外無滑動地滾動，小圓周上一個定點P的運動軌跡稱為外擺線(epicycloid)

其參數方程為

特別當R＝r時可以得到心臟線(cardioid)

其參數方程為

(3)把線繞在一個固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，則線頭的軌跡所形成的曲線叫做圓的漸伸線或切展線(involute)

其坐標式參數方程為

(4)橢圓的參數方程

設橢圓的方程為

第一種參數方程以角度 為參數：

第二種參數方程以斜率 為參數：

作業

P77 2 , 3

§2 曲面的方程

一、曲面的方程

二、曲面的參數方程

三、球坐標系與柱坐標系

一、曲面的方程

例1 求聯結兩點A(1,2,3)和B(2,-1,4)的線段的垂直平分面的方程.

例2 求兩坐標面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.

例3 求坐標平面yOz 的方程.

例4 一平面平行于坐標平面xOz，且在y 軸的正向一側與平面xOz 相隔距離為k ，求它的方程.

例5 設球面的中心是點C(a,b,c)，而且半徑等于r ，求它的方程.

求曲線方程一般需要下面的5個步驟：

1)選取適當的坐標系(如題中已給定，這一步可省)；

2)在曲線上任取一點，也就是軌跡上的流動點；

3)根據曲線上的點所滿足的幾何條件寫出等式；

4)用點的坐標x,y,z的關系來表示這個等式，并化簡得方程；

5)證明所得的方程就是曲線的方程，也就是證明它符合定義.

二、曲面的參數方程

例6 求球心在原點，半徑為r 的球面的參數方程.

例7 求以z 軸為對稱軸，半徑為R 的圓柱面的參數方程.

結論 求空間曲面或曲線的參數方程時，經常是作向徑 的坐標折線，將分解 為平行于坐標軸的三個向量之和，這樣便于找出 x,y,z 與參數之間的函數關系.

注意 空間曲面的參數方程的表達式不是惟一的.

一般按下列三個步驟進行：

三、球坐標系與柱坐標系

1.球坐標系

2.柱坐標系

作業

P87～88

2(4) ， 3(3)，4(3)

§3 母線平行于坐標軸

的柱面方程

拋物柱面

平面

拋物柱面方程：

平面方程：

從柱面方程看柱面的特征：

(其他類推)

實 例

橢圓柱面，

雙曲柱面 ，

拋物柱面，

母線//

總結

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