算法圖解第八章筆記與習(xí)題（貪婪算法）

文章目錄

• 算法圖解第八章筆記與習(xí)題（貪婪算法）
• • 8.1 貪婪算法
  • 8.2 集合覆蓋問題
  • 8.3 NP完全問題
  • • 8.3.1 旅行商問題：
    • 8.3.2 如何識(shí)別NP完全問題
    • 8.4 小結(jié)
  • 練習(xí)
  • • 習(xí)題8.1：
    • • 習(xí)題8.2：
      • 習(xí)題8.3-5題干：
      • 習(xí)題8.3：
      • 習(xí)題8.4：
      • 習(xí)題8.5：
      • 習(xí)題8.6：
      • 習(xí)題8.7：
      • 習(xí)題8.8：

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8.1 貪婪算法

貪婪算法：對(duì)于一個(gè)問題，根據(jù)問題要求的目標(biāo)，每步都選擇局部最優(yōu)解。在某些特定的情況下，貪婪算法能夠得到最優(yōu)解，但通常只能能夠得到一個(gè)接近最優(yōu)解的解。

舉例：從十個(gè)數(shù)中選擇五個(gè)使其和最大1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。

根據(jù)問題要求的目標(biāo)（和最大），每步都選擇局部最優(yōu)解（從未被選擇的數(shù)中選擇最大的那個(gè)數(shù)）。對(duì)于這個(gè)簡(jiǎn)單的情況來(lái)說(shuō)，貪婪算法將得到最優(yōu)解10+9+8+7+6=40。但對(duì)于更復(fù)雜的情況來(lái)說(shuō)，通常會(huì)得到一個(gè)接近最優(yōu)解的解。

8.2 集合覆蓋問題

假設(shè)現(xiàn)在有個(gè)廣播節(jié)目，要讓全美國(guó)50個(gè)州的聽眾都收聽得到，為此，需要決定在哪些廣播臺(tái)播出。在每個(gè)廣播臺(tái)播出都需要支付費(fèi)用，因此必須在盡可能少的廣播臺(tái)播出。現(xiàn)有廣播臺(tái)名單如下：

每個(gè)廣播臺(tái)都覆蓋特定的區(qū)域，不同廣播臺(tái)的覆蓋區(qū)域可能重疊。

那么找出覆蓋全美50個(gè)州的最小廣播臺(tái)合集呢？下面是解決步驟：

列出每個(gè)可能的廣播臺(tái)集合，這被稱為冪集（power set）。可能的子集有$2^n$個(gè)。

在這些集合中，選出覆蓋全美50個(gè)州的最小集合。

這樣做固然能找到最優(yōu)解，但其時(shí)間復(fù)雜度為$O(2^n)$，其中n為廣播臺(tái)數(shù)量。在這種情況下，我們可以使用貪婪算法來(lái)解決這個(gè)問題。步驟如下：

選出這樣一個(gè)廣播臺(tái)，即它覆蓋了最多未覆蓋的州。即便這個(gè)廣播臺(tái)覆蓋了一些已覆蓋的州（就是重復(fù)覆蓋），也沒有關(guān)系。

重復(fù)第一步，直到覆蓋了所有的州。

這是一種近似算法（approximation algorithm）。在獲得精確解需要的時(shí)間太長(zhǎng)時(shí)，可以考慮使用近似算法。判斷近似算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)如下：

• 速度有多快；
• 得到的近似解與最優(yōu)解的接近程度。

因此貪婪算法是一個(gè)不錯(cuò)的選擇，它們不僅簡(jiǎn)單，而且通常運(yùn)行速度很快。在本例中，貪婪算法的運(yùn)行時(shí)間為$O(n^2)$，其中n為廣播臺(tái)數(shù)量。

代碼如下：

# 創(chuàng)建一個(gè)列表，其中包含要覆蓋的州 states_needed = set(["mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut", "ca", "az"]) # 傳入一個(gè)數(shù)組，被轉(zhuǎn)換為集合stations = {} stations["kone"] = set(["id", "nv", "ut"]) stations["ktwo"] = set(["wa", "id", "mt"]) stations["kthree"] = set(["or", "nv", "ca"]) stations["kfour"] = set(["nv", "ut"]) stations["kfive"] = set(["ca", "az"])final_stations = set() # 使用一個(gè)集合來(lái)存儲(chǔ)最終選擇的廣播臺(tái)while states_needed:best_station = None # 將覆蓋了最多的未覆蓋州的廣播臺(tái)存儲(chǔ)進(jìn)去states_covered = set() # 一個(gè)集合，包含該廣播臺(tái)覆蓋的所有未覆蓋的州for station, states in stations.items(): # 循環(huán)迭代每個(gè)廣播臺(tái)并確定它是否是最佳的廣播臺(tái)covered = states_needed & states # 計(jì)算交集if len(covered) > len(states_covered): # 檢查該廣播臺(tái)的州是否比best_station多best_station = station # 如果多，就將best_station設(shè)置為當(dāng)前廣播臺(tái)states_covered = coveredstates_needed -= states_covered # 更新states_neededfinal_stations.add(best_station) # 在for循環(huán)結(jié)束后將best_station添加到最終的廣播臺(tái)列表中print(final_stations) # 打印final_stations set(['ktwo', 'kthree', 'kone', 'kfive']) #（算法也可以用未被覆蓋的州來(lái)做比較，未被覆蓋的州越少，則該廣播臺(tái)是局部更優(yōu)的廣播臺(tái)。）

上述代碼中，set()是一種集合，類似于列表，但相同的元素在其中出現(xiàn)一次，也沒有索引供查找。

另外，還涉及到了數(shù)學(xué)中交集的計(jì)算&，以及集合間相見-=。具體不做詳細(xì)介紹。

使用上述貪婪算法的運(yùn)行時(shí)間僅為$O(n^2)$，比起遍歷所有子集來(lái)獲得精確解的精確算法$O(2^n)$來(lái)說(shuō)非常快。

8.3 NP完全問題

8.3.1 旅行商問題：

旅行商問題是指，旅行商需要在一次旅行中途徑多個(gè)不同的城市，如何求解其最短路徑。

對(duì)于 1 個(gè)城市而言，僅有 1 條可能的路徑。

對(duì)于 2 個(gè)城市而言，有 2 個(gè)可能的起點(diǎn)X每個(gè)出發(fā)的城市1條可能的路徑 = 2條可能的路徑。

對(duì)于 3 個(gè)城市而言，有 3 個(gè)可能的起點(diǎn)X每個(gè)出發(fā)的城市2條可能的路徑 = 6條可能的路徑。

對(duì)于 4 個(gè)城市而言，有 4 個(gè)可能的起點(diǎn)X每個(gè)出發(fā)的城市6條可能的路徑 = 24條可能的路徑。

對(duì)于 5 個(gè)城市而言，有 5 個(gè)可能的起點(diǎn)X每個(gè)出發(fā)的城市24條可能的路徑 = 120條可能的路徑。

……

這是一個(gè)階乘函數(shù)（factorical function），當(dāng)涉及的城市越多時(shí)，可能的路徑條數(shù)增加的非常快。因此當(dāng)涉及的城市足夠多時(shí)，根本就難以計(jì)算出旅行商問題的正確解。

NP完全問題的簡(jiǎn)單定義是，以難著稱的問題，如旅行商問題和集合覆蓋問題。（？）

8.3.2 如何識(shí)別NP完全問題

NP完全問題無(wú)處不在！如果能夠判斷出要解決的問題屬于NP完全問題就好了，這樣就不用去尋找完美的解決方案，而是使用近似算法即可。但要判斷問題是不是NP完全問題很難，易于解決的問題和NP完全問題的差別通常很小。

但事實(shí)是沒辦法判斷問題是不是NP完全問題，但還是有跡可循的：

• 元素較少時(shí)算法的運(yùn)行速度非常快，但隨著元素?cái)?shù)量的增加，速度會(huì)變得非常慢。
• 涉及“所有組合”的問題通常是NP完全問題。
• 不能將問題分成小問題，必須考慮各種可能的情況。這可能是NP完全問題。
• 如果問題涉及序列（如旅行商問題中的城市序列）且難以解決，它可能就是NP完全問題。
• 如果問題涉及集合（如廣播臺(tái)集合）且難以解決，它可能就是NP完全問題。
• 如果問題可轉(zhuǎn)換為集合覆蓋問題或旅行商問題，那它肯定是NP完全問題。

8.4 小結(jié)

• 貪婪算法尋找局部最優(yōu)解，企圖以這種方式獲得全局最優(yōu)解。
• 對(duì)于NP完全問題，還沒有找到快速解決方案。
• 面臨NP完全問題時(shí)，最佳的做法是使用近似算法。
• 貪婪算法易于實(shí)現(xiàn)、運(yùn)行速度快，是不錯(cuò)的近似算法。

練習(xí)

習(xí)題8.1：

• 你在一家家具公司工作，需要將家具發(fā)往全國(guó)各地，為此你需要將箱子裝上卡車。每個(gè)箱子的尺寸各不相同，你需要盡可能利用每輛卡車的空間，為此你將如何選擇要裝上卡車的箱子呢？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種貪婪算法。使用這種算法能得到最優(yōu)解嗎？

將剩余箱子中最大的一個(gè)裝入箱子，直到將所有的箱子裝入卡車為止。使用這種算法不能找到最優(yōu)解。

習(xí)題8.2：

• 你要去歐洲旅行，總行程為7天。對(duì)于每個(gè)旅游勝地，你都給它分配一個(gè)價(jià)值——表示你有多想去那里看看，并估算出需要多長(zhǎng)時(shí)間。你如何將這次旅行的價(jià)值最大化？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種貪婪算法。使用這種算法能得到最優(yōu)解嗎？

從剩余未去過的旅游勝地中選擇價(jià)值最高的，直至?xí)r間用完為止。使用這種算法不能找到最優(yōu)解。

習(xí)題8.3-5題干：

• 下面各種算法是否是貪婪算法。

習(xí)題8.3：

• 快速排序。

不是。

習(xí)題8.4：

• 廣度優(yōu)先搜索。

是。

習(xí)題8.5：

• 狄克斯特拉算法。

是。

習(xí)題8.6：

• 有個(gè)郵遞員負(fù)責(zé)給20個(gè)家庭送信，需要找出經(jīng)過這20個(gè)家庭的最短路徑。請(qǐng)問這是一 個(gè)NP完全問題嗎？

是。可轉(zhuǎn)化為旅行商問題。

習(xí)題8.7：

• 在一堆人中找出最大的朋友圈（即其中任何兩個(gè)人都相識(shí)）是NP完全問題嗎？

是。可轉(zhuǎn)化為集合覆蓋問題。

習(xí)題8.8：

• 你要制作美國(guó)地圖，需要用不同的顏色標(biāo)出相鄰的州。為此，你需要確定最少需要使用多少種顏色，才能確保任何兩個(gè)相鄰州的顏色都不同。請(qǐng)問這是NP完全問題嗎？

不是。（圖著色問題，是NP完全問題。）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法图解第八章笔记与习题（贪婪算法）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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