我們知道平面上二次曲線的一般方程是：
$$a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=0，（1）$$
其中$$a_{11},a_{12},a_{22}$$不全為零。
我們常用的一個(gè)方法是先利用轉(zhuǎn)軸變換，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)角則可用以下公式得到：
$$cot(2\theta )=\frac{a_{11}?a_{22}}{a_{12}}，（2）$$
但是之后的過(guò)程略顯復(fù)雜，故本文采用不變量的方法來(lái)對(duì)二次曲線方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，并將結(jié)合MATLAB進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。

1.數(shù)學(xué)原理

二次曲線的不變量和半不變量為：
$$I_1=a_{11}+a_{22}，（3）$$
$$I_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|，（4）$$
$$I_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right|，（5）$$
$$K_1=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_1\\ a_1& a_0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_2\\ a_2& a_0\end{array}\right|，（6）$$
可以由不變量和半不變量就能完全確定二次曲線的類(lèi)型和形狀，即為二次曲線的化簡(jiǎn)式，如下表【1】所示：

型別類(lèi)別識(shí)別標(biāo)記化簡(jiǎn)后方程

橢圓型 $$I_2>0$$	(1) 橢圓; (2) 虛橢圓; (3) 一個(gè)點(diǎn)	$$I_3與I_1異號(hào)$$$$I_3與I_1同號(hào)$$$$I_3=0$$	$${\lambda }_1{x}^{{?}^2}+{\lambda }_2{y}^{{?}^2}+\frac{I_3}{I_1}=0$$$$其中{\lambda }_1，{\lambda }_2是多項(xiàng)式$$$${\lambda }^2?I_1\lambda +I_2的兩個(gè)實(shí)根$$
雙曲型 $$I_2<0$$	(4) 雙曲線； (5) 一對(duì)相交直線	$$I_3?=0$$$$I_3=0$$	同上
拋物型 $$I_2=0$$	(6) 拋物線	$$I_3?=0$$	$$I_1{y}^{{?}^2}\pm 2\sqrt{\frac{?I_3}{I_1}}{x}^{?}=0$$
同上	(7) 一對(duì)平行直線; (8) 一對(duì)虛平行直線； (9) 一對(duì)重合直線	$$I_3=0,K_1<0$$$$I_3=0,K_1>0$$$$I_3=0,K_1=0$$	$$I_1{y}^{{?}^2}+\frac{K_1}{I_1}=0$$

【表1】 二次曲線的不變量與曲線的類(lèi)型和形狀的關(guān)系

2.代碼實(shí)現(xiàn)

MATLAB 中可以提取方程左端展開(kāi)后的多項(xiàng)式的系數(shù)，在由系數(shù)計(jì)算不變量和半不變量，對(duì)比【表1】得到二次曲線方程的化簡(jiǎn)后方程，代碼如下：

在運(yùn)行時(shí)輸入二次曲線方程 f(x,y) = 0 的左端，運(yùn)行結(jié)果示例如下圖所示：

代碼文件可以在下面鏈接中下載：
https://download.csdn.net/download/m0_43484109/10861992

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的利用MATLAB进行二次曲线方程的正交变换化简的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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