一、曲線的參數方程

1.1 參數方程的概念

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標$x,y$都是某個變數$t$的函數
$$\{\begin{array}{rl}& x=f(t)\\ & y=g(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$并且對于每個$t$的允許值，由方程組（1）所確定的點$M(x,y)$都在這條曲線上，那么方程組（1）就稱為這條曲線的參數方程，聯系變數$x,y$的變數$t$叫做參變數，簡稱參數。相對參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。這里的參數$t$可以是一個有物理意義或幾何意義的變數，也可以是沒有明顯實際意義的變數。

一個曲線多個參數方程，一個參數方程卻只能對應一條曲線；此外，在建立參數方程時應該注明參數和參數的取值范圍。

1.2 圓的參數方程

圓心在原點，半徑為$r$,$\theta$為轉過的角度。
$$\{\begin{array}{rl}& x=r\cos \theta \\ & y=r\sin \theta \end{array}\theta \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(2)}$$化成普通方程便于觀察曲線的類型。另外，若圓心不在原點，若圓心為$(a,b)$，則對應參數方程應該為：
$$\{\begin{array}{rl}& x=a+r\cos \theta \\ & y=b+r\sin \theta \end{array}\theta \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(3)}$$

1.3 參數方程和普通方程的互化

一般地可以通過消去參數從而將參數方程轉化成普通方程；若已知普通方程，可以通過令$x=f(t)$，再將$x$帶入普通方程來轉化成參數方程。特別注意$x,y,\theta$的取值范圍。

二、圓錐曲線

2.1 橢圓的參數方程

長軸長為a，短軸長為b的橢圓的普通方程為：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）\text{\hspace{1em}(4)}$$
對應的參數方程為：
$$\{\begin{array}{rl}& x=a\cos ?\\ & y=b\sin ?\end{array}?\in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.2 雙曲線的參數方程

若雙曲線的普通方程為：
$$\frac{x^2}{a^2}?\frac{y^2}{b^2}=1（a>0b>0）\text{\hspace{1em}(5)}$$
則對應的參數方程為：
$$\{\begin{array}{rl}& x=a\sec ?\\ & y=b\sin ?\end{array}?\in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(6)}$$$?$為參數，滿足條件：

• $?\in [0,2\pi )$
• $?=\frac{\pi }{2}?=\frac{3\pi }{2}$

python中似乎沒有$\sec$函數，總之等于余弦的倒數就對了：
$$\sec ?=\frac{1}{cos?}$$

2.3 拋物線方程

設拋物線普通方程為
$$y^2=2px\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中，$p$表示焦點在頂點的距離。參數方程如下：
$$?\begin{array}{rl}& x=\frac{2p}{{\tan }^2\alpha }\\ & y=\frac{2p}{\tan \alpha }\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
令$t=\frac{1}{\tan \alpha }$，(8)變成：
$$\{\begin{array}{rl}& x=2p{t}^2\\ & y=2pt\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

$t\in (?\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，$\alpha$除頂點外任意一點與頂點連線與$Ox$夾角，顯然當$t=0$時恰好是拋物線原點，$t$表示除原點外任意一點與原點連線斜率的倒數。

三、直線

過點$P_0(x_0,y_0)$傾角為$\alpha$的直線$l$，其普通方程為：
$$y?y_0=\tan \alpha (x?x_0)\text{\hspace{1em}(10)}$$
對應的參數方程為：
$$\{\begin{array}{rl}& x=x_0+t\cos \alpha \\ & y=y_0+t\sin \alpha \end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
$t$為參數，其絕對值等于動點$P$到$P0$的距離，即：
$$|t|=|PP0|\text{\hspace{1em}(12)}$$

四、漸開線和擺線

4.1 漸開線參數方程，

漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表里的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點$S$。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在$P$的切線上的$Q$，使得曲線長$SP$和直線段長$PQ$ 相同。漸伸線就是$Q$的軌跡。圓的漸開線方程為：
$$\{\begin{array}{rl}& x=r(\cos ?+?\sin ?)\\ & y=r(\sin ???\cos ?)\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
$?$是參數。

在機械工業中，廣泛地使用齒輪傳遞動力。由于漸開線的齒形的齒輪磨損少、傳動平穩，制造安裝較為方便。因此大多數齒輪采用這種齒形，設計加工這種齒輪，需要借助圓的漸開線方程。

4.2 擺線

對應的參數方程為：
$$\{\begin{array}{rl}& x=r(??\sin ?)\\ & y=r(1?\cos ?)\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
$?$是參數。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的曲线的参数方程简介的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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