從圖書館借來了這本書，由于需要還回去，所以說寫這篇博客記錄學習所得。

之前已經學過同濟大學（第六版）的線性代數了。

---

第一章

1.復數：先介紹了復數的各種基本操作，例如相加相減相乘相除，結合律，分配率。

單位元，從某種程度上可以理解為0，加法逆就是負數，乘法逆就是倒數。
　　
2.向量空間：是一個有長度（非負）的組，n也是其長度。

3.組與集合不同，組類似于離散數學上的有序對，考慮其元素順序，而集合不用考慮元素順序，和是否重復。

4.向量空間內的乘法為標量乘法，即一個數乘以一個向量。（這個數要屬于整個空間）

5.向量空間：帶有加法和乘法的集合V。（含有加法單位元，加法逆，乘法逆等性質）

6.向量空間是一個抽象對象，其中元素可能是組，函數或者稀奇古怪的對象。

7.向量空間有唯一的加法單位元，加法逆，乘法逆，0向量。（0v=0，a0=0）

8.向量空間的子集稱為子空間。

9.子空間也需要有：加法單位元，對加法封閉，對乘法封閉。

10.｛0｝是最小的子空間，V為最大的子空間。

11.和：就是V的一些子空間相加。（子空間的并不一定還是子空間。）

12.$U_1$+…+$U_n$是V中包含$U_1$,…,$U_n$的最小的子空間。

13.直和：V中的任意一個元素都可以唯一的用$u_1$+…+$u_n$表示，則此情況稱為直和。
（$u_1$，…，$u_n$為$U_1$,…,$U_n$中的元素）符號為：⊕
14.確定一組子空間能否作為直和時，僅需判斷0是否可以唯一表達。（即每個$u_i$都為0，再無其他情況）

15.對于判斷兩個子空間是否能直和時，僅需判斷V=U+W，并且U$\cap$W ={0}.

---

第二章

第二章需要先搞懂一些名詞意思，然后再記住定理即可（有興趣的可以自己推導）

1.①線性組合：$a_1{v}_1+...+a_m{v}_m$

②線性相關的話就是存在$a_1...a_m$不全為0，使得等式等于0.

③線性無關的話就是全為0，使得等式為0。

④張成：($v_1...v_m$)的所有線性組合構成的集合，稱為($v_1...v_m$)的張成，記為：span($v_1...v_m$)

2.V中任意一組向量的張成就是V的子空間。

3.V中一組向量的張成是包含這組向量的最小子空間。

4.如果從一個線性無關的向量組中取出一些向量，那么剩下的一些向量組還是線性無關。

5.有一個線性相關的向量組，其中第一個不為0向量，那么其中必有一個向量包含于前面諸向量的張成，進一步我們可以去掉這個向量，而不改變原來這組向量的張成。

6.線性無關先向量組的長度小于等于張成向量組的長度。

7.基：V中的一個向量組既是線性無關組，又可以張成V，則稱之為V的基。（基的長度記為維數，用dim表示）

8.V中的向量組是V的基當且僅當每個v$\in$V,都能唯一寫成如下形式v=$a_1{v}_1+...+a_n{v}_n$

9.在向量空間中，每個張成組都可以簡化成一個基。

10.在向量空間中，每個線性無關的向量組都可以擴充成一個基。

11.設V是有限維的，U是V的一個子空間，則存在V的一個子空間W，是的V=U⊕W

12.有限維空間的任意兩個基的長度都相等。

13.若V是有限維的，并且U是V的子空間，則dim(U)<=dim(V).

14.若v為有限維的，則V中的每個長度為dimV的張量，或者成都為dimV的線性無關組，都是V的基。

15.如果$U_1,U_2$是V的兩個子集，則dim（$U_1+U_2$）=dim($U_1$)+dim($U_2$)-dim($U_1?U_2$)…該式子與概率論述對于二維連續概率的公式有些像。

16.V是有限維的，并且(U_1,…,U_m)是V的子空間使得V=U_1+…+U_m，并且dim(V)=dim($U_1$)+…+dim($U_m$),則V=$U_1$⊕…⊕$U_m$）

---

第三章

在沒有明確說明下，T都是V到W的線性映射
1.這一章需要搞懂許多線性變換，從V到W的線性變換記為函數T：V→W

2.線性變換對加法和乘法存在映射：T(u+v)=T(u)+T(v) , T(av)=aT(u)

3.書上舉得線性映射的例子：零，恒等映射，微分，積分，$x^2$乘，后項移位，從$F^n$到$F^m$.

4.零空間：V中被T映射成0的那些向量組成的子集，稱為T的零空間。記為 ：nullT

5.若T是V到W的線性映射，則nullT是V的子空間。

6.單的：當u,v$\in$V，Tu=Tv時，必有u=v

7.若T是V到W的線性映射，則T是單的，當且僅當 null T=｛0｝

8.若T是V到W的線性映射，由W中形如Tv的向量所組成的子集，稱為T的值域。記為：rangeT。（它是W的子空間）

9.滿的：即 rangeT = W

10.如果V是有限維的空間，切存在T，那么:

dim V = dim null T + dim range T
(有限維空間上的線性映射的零空間的維數加上值域的維數等于定義域的維數)

11.推論：①如果V和W都是有限維的，并且dim V > dim W,那么T一定不是單的
②如果V和W都是有限維的，并且dim V < dim W,那么T一定不是滿的
推論中的推論：①當變量多于方程時，齊次線性方程組必有非零解(線性相關)。
②當方程多余變量時，必有一組常數使得非齊次線性方程組無解。

12.將T寫為矩陣：行寫W的基，列寫V的基(求坐標變換公式，以后再說)

13.矩陣相加，標量乘矩陣，矩陣相乘：（僅僅是舉例）
M(T+S)=M(T)+M(S) , M(cT)=cM(T) , M(TS)=M(T)M(S)

14.可逆性：即存在逆矩陣，ST=恒等變換，則稱S為T的逆矩陣。

15.一個線性映射是可逆的，當切僅當它既是單的，又是滿的。

16.如果存在一個向量空間到另一個向量空間的可逆線性映射，則成這兩個向量空間同構

17.兩個有限維向量空間同構，當且僅當他們的維數相等。

18.一個向量空間到其自身的線性映射稱為算子。

19.T屬于在算子的條件下，這三個等價：
T是可逆的，T是單的，T是滿的。

20.如果V和M是有限維的，那么V到W的所有線性映射組成的集合Z也是有限維的，且：dim Z = (dim V )(din W)

---

第四章

看本章的時候可以帶著之前已經學過的多項式知識來看。

多項式：P(z) = $a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+...+a_m{z}^m$(當$a_m$!=0時,此時程P為m次多項式)

1.存在$\lambda$使得P(λ) = 0 ,則稱λ為多項式的根。

2.若λ為多項式的根，那么存在P(z) = (z-λ) q(z)，P為m次多項式，q為m-1次多項式。

3.若P時m次多項式，則最多存在m個互不相同的根。當 P 和 P’ 沒有公共根時，P有m個根。

4.若果一個多項式恒等于0，那么它的系數都為0。即多項式的系數是線性無關的。

5.對于實數來說：q = sp +r，此時r<p.
推論：對于多項式來說：Q = sP + r，并且deg r < dep p.(deg代表多項式的次數)

6.每個不是常數的復系數多項式都有根

7.如果P是非常熟多項式，那么p可以分解為 P(z) = c($z?{\lambda }_1$)…($z?{\lambda }_m$)

8.共軛負數具有可加性，可乘性。

9.p是實系數多項式，如果λ是p的根，那么λ的共軛復數也是p的根（此時兩者可能相等）

---

未完待續。。。
感覺看著太難理解了，此書先放一段時間，先讀一下《程序員的數學》這一系列三本書。
程序員的數學(1)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数应该这样学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。