http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2014/06/08/207226.html

高斯消元

算法目的：
????????????高斯消元，一般用于求解線性方程組AX?=?B（或?模線性方程組AX?mod?P?=?B），以四個未知數(shù)，四個方程為例，AX=B表示成4x4的矩? ??????陣和4x1的矩陣相乘的形式： ?

其中A和B(b0?b1?b2?b3)已知，要求列向量X(x0?x1?x2?x3)的值。

算法核心思想：
? ??????????對于n個方程，m個未知數(shù)的方程組，消元的具體步驟如下：

1、枚舉第i?(0?<=?i?<?n)?行，初始化列為col?=?0，每次從[i,?n)行中找到第col列中元素絕對值最大的行和第i行進(jìn)行交換(找到最大的行是為了在消元的時候把浮點(diǎn)數(shù)的誤差降到最小)；

a)?如果第col列的元素全為0，放棄這一列的處理，col+1，i不變，轉(zhuǎn)1)；

b)?否則，對于所有的行j?(i?<?j?<?n)，如果a[j][col]不為0，則需要進(jìn)行消元，以期第i行以下的第col列的所有元素都消為0（這一步就是線性代數(shù)中所說的初等行變換，具體的步驟就是將第j行的所有元素減去第i行的所有元素乘上一個系數(shù)，這個系數(shù)即a[j][col]?/?a[i][col]）。

2、重復(fù)步驟1)?直到n個方程枚舉完畢或者列col?==?m。

3、判斷解的情況：

a)?如果出現(xiàn)某一行，系數(shù)矩陣全為0，增廣矩陣不全為0，則無解（即出現(xiàn)[0?0?0?0?0?b]，其中b不等于0的情況）；

b)?如果是嚴(yán)格上三角，則表明有唯一解；

c)?如果增廣矩陣有k?(k?>?0)行全為0，那么表明有k個變量可以任意取值，這幾個變量即自由變量；對于這種情況，一般解的范圍是給定的，令解的取值有T個，自由變量有V個，那么解的個數(shù)就是?TV。

算法復(fù)雜度：
??????O(n³)

ACM中的高斯消元題型一般涉及到的有：

1、浮點(diǎn)數(shù)消元

系數(shù)矩陣為整數(shù)或浮點(diǎn)數(shù)，消元的時候乘上的系數(shù)為浮點(diǎn)數(shù)，一般用于求解浮點(diǎn)數(shù)解，例如HDU?3359；

2、整數(shù)消元

系數(shù)矩陣全為整數(shù)，消元的時候乘上的系數(shù)均為整數(shù)，整個消元過程不出現(xiàn)浮點(diǎn)數(shù)。由于乘法很容易溢出，一般很少用。

3、模線性方程組

系數(shù)矩陣全為整數(shù)，消元的時候乘上的系數(shù)均為整數(shù)，每次運(yùn)算都模上一個數(shù)P，整個消元過程不出現(xiàn)除法，最后求解的時候用線性同余迭代求解，一般題型較多，有的是給定解的范圍，求解的數(shù)量，例如：PKU?1830、HDU?3364；有的是求一個解，例如PKU?2065、HDU?3571；有的是求解的存在性，例如PKU1288、PKU?3185。

?提供一個自己寫的模線性方程的高斯消元模板：

? 1?#define?MAXN?105
??2?#define?LL?__int64
??3?
??4?/*
??5?????高斯消元?-?同余方程
??6?????????一般只要求求一個解/而且必然有解??
??7?*/
??8?
??9?LL?GCD(LL?a,?LL?b)?{
?10?????if(!b)?{
?11?????????return?a;
?12?????}
?13?????return?GCD(b,?a%b);
?14?}
?15?
?16?LL?ExpGcd(LL?a,?LL?b,?LL?&X,?LL?&Y)?{
?17??????LL?q,?temp;
?18??????if(?!b?)?{
?19??????????q?=?a;?X?=?1;?Y?=?0;
?20??????????return?q;
?21??????}else?{
?22?????????q?=?ExpGcd(b,?a?%?b,?X,?Y);
?23?????????temp?=?X;?
?24?????????X?=?Y;
?25?????????Y?=?temp?-?(a?/?b)?*?Y;
?26?????????return?q;
?27??????}
?28?}
?29?
?30?LL?Mod(LL?a,?LL?b,?LL?c)?{
?31?????if(!b)?{
?32?????????return?1?%?c;
?33?????}
?34?????return?Mod(a*a%c,?b/2,?c)?*?(?(b&1)?a:1?)?%?c;?
?35?}
?36?
?37?class?GaussMatrix?{
?38?public:
?39?????int?r,?c;
?40?????LL?d[MAXN][MAXN];
?41?????LL?x[MAXN];????????//?某個解集?
?42?????LL??xcnt;??????????//?解集個數(shù)?
?43?????
?44?????LL?abs(LL?v)?{
?45?????????return?v?<?0???-v?:?v;
?46?????}
?47?????
?48?????void?swap_row(int?ra,?int?rb)?{
?49?????????for(int?i?=?0;?i?<=?c;?i++)?{
?50?????????????LL?tmp?=?d[ra][i];
?51?????????????d[ra][i]?=?d[rb][i];
?52?????????????d[rb][i]?=?tmp;
?53?????????}
?54?????}
?55?????void?swap_col(int?ca,?int?cb)?{
?56?????????for(int?i?=?0;?i?<?r;?i++)?{
?57?????????????LL?tmp?=?d[i][ca];
?58?????????????d[i][ca]?=?d[i][cb];
?59?????????????d[i][cb]?=?tmp;
?60?????????}????????
?61?????}
?62?????
?63?????void?getAns(LL?mod)?{
?64?????????for(int?i?=?c-1;?i?>=?0;?i--)?{
?65?????????????LL?tmp?=?d[i][c];
?66?????????????//?d[i][i]?*?x[i]?+?(d[i][i+1]*x[i+1]?+??+?d[i][c]*x[c])?=?K*mod?+?tmp;
?67?????????????for(int?j?=?i+1;?j?<?c;?j++)?{
?68?????????????????tmp?=?((tmp?-?d[i][j]?*?x[j])?%?mod?+?mod)?%?mod;
?69?????????????}
?70?????????????//?d[i][i]?*?x[i]?=?K?*?mod?+?tmp;
?71?????????????//?d[i][i]?*?x[i]?+?(-K)?*?mod?=?tmp;
?72?????????????//?a?*?x[i]?+?b?*?(-K)?=?tmp;
?73?????????????LL?X,?Y;
?74?????????????ExpGcd(d[i][i],?mod,?X,?Y);
?75?????????????x[i]?=?(?(X?%?mod?+?mod)?%?mod?)?*?tmp?%?mod;
?76?????????}
?77?????}
?78?????
?79?????//?-1?表示無解?
?80?????LL?gauss(LL?mod)?{
?81?????????int?i,?j,?k;
?82?????????int?col,?maxrow;
?83?????????
?84?????????//?枚舉行，步進(jìn)列?
?85?????????for(i?=?0,?col?=?0;?i?<?r?&&?col?<?c;?i++)?{
?86?????????????//debug_print();
?87?????????????maxrow?=?i;
?88?????????????//?找到i到r-1行中col元素最大的那個值?
?89?????????????for(j?=?i+1;?j?<?r;?j++)?{
?90?????????????????if(?abs(d[j][col])?>?abs(d[maxrow][col])?){
?91?????????????????????maxrow?=?j;
?92?????????????????}
?93?????????????}
?94?????????????//?最大的行和第i行交換?
?95?????????????if(maxrow?!=?i)?{
?96?????????????????swap_row(i,?maxrow);
?97?????????????}
?98?????????????if(?d[i][col]?==?0?)?{
?99?????????????????//?最大的那一行的當(dāng)前col值?等于0，繼續(xù)找下一列
100?????????????????col?++;
101?????????????????i--;
102?????????????????continue;?
103?????????????}
104?????????????
105?????????????for(j?=?i+1;?j?<?r;?j++)?{
106?????????????????if(?d[j][col]?)?{
107?????????????????????//?當(dāng)前行的第col列如果不為0，則進(jìn)行消元
108?????????????????????//?以期第i行以下的第col列的所有元素都消為0?
109?????????????????????LL?lastcoff?=?d[i][col];
110?????????????????????LL?nowcoff?=?d[j][col];
111?????????????????????for(k?=?col;?k?<=?c;?k++)?{
112??????????????????????????d[j][k]?=?(d[j][k]?*?lastcoff?-?d[i][k]?*?nowcoff)?%?mod;
113??????????????????????????if?(d[j][k]?<?0)?d[j][k]?+=?mod;
114?????????????????????}
115?????????????????}
116?????????????}
117?????????????col?++;
118?????????}
119?????????//?i表示從i往后的行的矩陣元素都為0?
120?????????//?存在?(0?0?0?0?0?0?d[j][c])?(d[j][c]?!=?0)?的情況，方程無解?
121?????????for(j?=?i;?j?<?r;?j++)?{
122?????????????if(?d[j][c]?)?{
123?????????????????return?-1;
124?????????????}
125?????????}
126?????????//?自由變元數(shù)?為?(變量數(shù)?-?非零行的數(shù)目)
127?????????int?free_num?=?c?-?i;
128??????????
129?????????//?交換列，保證最后的矩陣為嚴(yán)格上三角，并且上三角以下的行都為0?
130?????????for(i?=?0;?i?<?r?&&?i?<?c;?i++)?{
131?????????????if(?!d[i][i]?)?{
132?????????????????//?對角線為0?
133?????????????????for(j?=?i+1;?j?<?c;?j++)?{
134?????????????????????//?在該行向后找第一個不為0的元素所在的列，交換i和這一列?
135?????????????????????if(d[i][j])?break;
136?????????????????}
137?????????????????if(j?<?c)?{
138?????????????????????swap_col(i,?j);
139?????????????????}
140?????????????}
141?????????}
142?????????xcnt?=?(?((LL)1)?<<?(LL)free_num?);
143?????????
144?????????getAns(mod);
145?????????return?xcnt;
146?????}????
147?????
148?????void?debug_print()?{
149?????????int?i,?j;
150?????????printf("-------------------------------\n");
151?????????for(i?=?0;?i?<?r;?i++)?{
152?????????????for(j?=?0;?j?<=?c;?j++)?{
153?????????????????printf("%d?",?d[i][j]);
154?????????????}
155?????????????puts("");
156?????????}
157?????????printf("-------------------------------\n");
158?????}??
159?};
160?

來看幾道經(jīng)典的高斯消元，熟悉各種類型的高斯消元。

HDU?3359?Kind?of?a?Blur

題意：H?*?W?(W,H?<=?10)?的矩陣A的某個元素A[i][j]，從它出發(fā)到其他點(diǎn)的曼哈頓距離小于等于D的所有值的和S[i][j]除上可達(dá)點(diǎn)的數(shù)目，構(gòu)成了矩陣B。給定矩陣B，求矩陣A。

題解：將所有矩陣A的元素看成自變量，一共有H*W個變量，每個矩陣B的元素是由這些變量組合而成的，對于固定的B[i][j]，曼哈頓距離在D以內(nèi)的A[x][y]的系數(shù)為1，其它為0，這樣就變成了求H*W個變量和H*W個方程的線性方程組，高斯消元求解。這題數(shù)據(jù)量比較小，所以直接采用浮點(diǎn)數(shù)的高斯消元即可，需要注意的是，浮點(diǎn)數(shù)消元的時候?yàn)榱吮苊饩日`差，每次找最大的行，乘上一個小于1的系數(shù)進(jìn)行消元，這樣可以把誤差降到最小。

?

PKU?1830?開關(guān)問題

? ? 題意：給定N(N?<?29)個開關(guān)，每個開關(guān)打開和關(guān)閉的時候會引起另外一個開關(guān)的變化，本來為打開的會變成關(guān)閉，本來關(guān)閉的會變成打開。給定N個開關(guān)的初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài)，以及關(guān)聯(lián)的開關(guān)關(guān)系，求共有多少種方案從初始狀態(tài)變成終止?fàn)顟B(tài)（不計(jì)順序，并且每個開關(guān)只能操作至多一次）。

? ? 題解：由于開關(guān)只有打開和關(guān)閉兩種狀態(tài)，所以對于每個開關(guān)的打開和關(guān)閉，組合一下總共有2^N種情況，枚舉所有情況判可行性，對于這個數(shù)據(jù)量來說是不現(xiàn)實(shí)的，需要想辦法優(yōu)化。

我們用X[i]來表示第i個開關(guān)的操作狀態(tài)（1表示操作，0表示不操作）。

第i個開關(guān)會被哪些開關(guān)影響是可以知道的（這個關(guān)系在輸入的時候會給出），假設(shè)影響第i個開關(guān)的開關(guān)列表為L[i][0],??L[i][1],?L[i][2]...?第i個開關(guān)的起始狀態(tài)為S[i]，終止?fàn)顟B(tài)為E[i]，則可以列出N個方程：

(?X[0]?*?A[i][0]??+??X[1]?*?A[i][1]??+?...?+??X[n-1]?*?A[i][n-1]??)?%?2??=??(E[i]?-?S[i]);

每個方程代表一個開關(guān)被它本身以及它的關(guān)聯(lián)開關(guān)操作后的最終狀態(tài)，系數(shù)矩陣A[i][j]代表了開關(guān)之間的連帶關(guān)系:

1)?如果第j個開關(guān)的操作能夠影響第i個開關(guān)的狀態(tài)，那么A[i][j]?=?1;

2)?如果第j個開關(guān)的操作不影響第i個開關(guān)的狀態(tài)，那么A[i][j]?=?0;

3)?特殊的A[i][i]?=?1(開關(guān)本身的操作必然會影響自己的當(dāng)前狀態(tài));

X[i]取值為0或1，這樣就是N個N元一次方程組，利用高斯消元求解即可。將增廣矩陣化簡為上三角的形式后，剩余全為0的行的個數(shù)為自由變元的個數(shù)F（自由變元就是它在取值范圍內(nèi)可以取任意值，這題是個方陣，所以自由變元的個數(shù)等于全為0的行的個數(shù)），所以，由于開關(guān)一共兩種狀態(tài)，取值為0和1，所以總的解的個數(shù)為2^F。特殊的，如果某一行系數(shù)全為零，而增廣矩陣最后一列對應(yīng)行的值不為0，則表示無解。

?

HDU?3364?Lanterns

? ? PKU?1830的簡單變種。那題是用開關(guān)來控制開關(guān)，這題是用開關(guān)來控制燈，而且開關(guān)和燈的數(shù)目是不一樣的，這樣就導(dǎo)致了高斯矩陣并不是一個方陣，而是一個N*M的矩陣，

同樣的構(gòu)造系數(shù)矩陣的方法，當(dāng)N和M不相等的情況下，自由變元的個數(shù)就不是剩余全為0的行的個數(shù)了。其實(shí)對于一般的方程，自由變元的個數(shù)為?Free?=（變量數(shù)var?-?非0系數(shù)向量的個數(shù)）。這題數(shù)據(jù)量比那題大，最大情況有可能是2^N，所以需要用__int64。

?

PKU?2065?SETI

題意：

(a1?*?10??+???a2?*?11??+?...??an?*?1n)?%?P?=?C1

(a1?*?20??+???a2?*?21??+?...??an?*?2n)?%?P?=?C2

(a1?*?30??+???a2?*?31??+?...??an?*?3n)?%?P?=?C3

....

(a1?*?n0??+???a2?*?n1??+?...??an?*?nn)?%?P?=?Cn

給定n個以上的方程組，求滿足條件的?ai?(1?<=?i?<=?n)。

題解：如果沒有模?P，那么這個就是N個N元一次方程組，利用高斯消元可以求解，加上模P剩余后，其實(shí)原理一樣，只不過在初等行變換后，每次進(jìn)行消元的時候?qū)⑺兄的，最后求解回帶的時候利用擴(kuò)展歐幾里得來對每一個ai求一個最小的可行解。

例如，最后化簡的行階梯陣如下圖：

那么從后往前進(jìn)行迭代求解的時候，必然會遇到兩個數(shù)相乘模P等于一個常數(shù)的情況，比如求a4的時候，有同余數(shù)方程?3*a4?%?P?=?t4，可以表示成3*a4?+?K*P?=?t4，其中P必然和3互素（題中有說明），所以這個方程必然有解，利用擴(kuò)展歐幾里得可以求得一個最小的非負(fù)整數(shù)a4，a4求出后同理求出a3、a2、a1即可。

?

PKU?3185?The?Water?Bowls

題意：20個開關(guān)排成一排，兩邊的開關(guān)的開啟和關(guān)閉狀態(tài)會帶動相鄰的一個開關(guān)，中間的開關(guān)的開啟和關(guān)閉會帶動相鄰的兩個開關(guān)，問給定一個狀態(tài)能否將這些開關(guān)的狀態(tài)都變?yōu)榇蜷_狀態(tài)，如果能輸出最小的操作次數(shù)。

題解：PKU?1830的變種，求最小的操作次數(shù)就是求所有解集中解的總和最小的解集，所以在進(jìn)行初等行變換之后，利用dfs來枚舉所有的解，當(dāng)然如果不是自由變元的，解是確定的，由于開關(guān)開兩次和不操作是一樣的，所以每個開關(guān)的解集為{0,?1}，枚舉過程中記錄當(dāng)前操作的次數(shù)，如果比之前記錄的最小操作次數(shù)大，那么無須往下枚舉，直接返回，作為剪枝。由于狀態(tài)最多220種，加上適當(dāng)?shù)募糁?#xff0c;可以很快把解搜出來。

HDU?3571?N-dimensional?Sphere

題意：在一個N維空間中，給定一個N+1個點(diǎn)，求一個點(diǎn)使得它到所有點(diǎn)的距離都為R（R不給出），保證解為整數(shù)，并且解的范圍為?[-1017,?1017]。

題解：對于N個未知數(shù)，N+1個方程，相鄰兩個方程相減可以把二次項(xiàng)全部約去，剩下一次項(xiàng)系數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為N個未知數(shù)，N個方程的一次方程組，可以利用高斯消元求解，但是這題的數(shù)據(jù)量比較大，最大的可能解為1017，如果利用大數(shù)，乘法的復(fù)雜度很高，可以采用同余的方法，所以所有加法、減法、乘法需要模一個大的素?cái)?shù)（需要大于1017的素?cái)?shù)，可以利用拉賓米勒算法隨機(jī)生成一個大素?cái)?shù)P），然后利用同余方程求一個最小的非負(fù)數(shù)解，在進(jìn)行相乘運(yùn)算的時候最大情況會超過int64，所以處理乘法運(yùn)算的時候需要用到二分加法，所有的乘模運(yùn)算需要化簡成加法和減法運(yùn)算。利用PKU?2065?的求法可以求得所有可行解，由于這題的數(shù)據(jù)量可能為負(fù)數(shù)，同余的情況下求出來的是非負(fù)數(shù)，為了消除這種情況，對所有輸入的值加上一個偏移量1017，最后的解再減去這個偏移量，注意最后的答案減去偏移量的時候不需要取模（否則就沒有意義了）。

?

PKU?1288?Sly?Number

題意：定義Sly?Number為只有{0,?1,?2}三種數(shù)字的一維數(shù)組，對于兩個Sly?Number：A?和B的乘法操作如下：

圖1

相乘后的取余操作如下：

圖2

定義ONE為A[0]?=?1,?A[i]?=?0?(i?=?1,?2,?...N-1)，給定A和Q，求A對于Q的逆元，即(A?*?B)?mod?Q?=?ONE中的B。

題解：首先B也是Sly?Number，結(jié)合圖中的等式，可以列出N個方程：

C[0] ? =??(A[0]*B[0]) ? ? ? ? ? ? ?+??(?A[1]*B[N-1]?+?A[2]*B[N-2]?+?...?+?A[N-1]*B[1])?;

C[1] ? =??(A[0]*B[1]?+?A[1]*B[0])??+??( A[2]*B[N-1]?+?...?+ A[N-1]*B[2]?);

...

C[N-1]?=?(A[0]*B[N-1]?+?A[1]*B[N-2]?+...?A[N-1]*B[0]);

?

由模的定義，可知C[0]?mod?Q?=?1,?C[i]?mod?Q?=?0?(i?=?1,?2,?...?N-1)

于是可以列出N個方程N(yùn)個未知數(shù)的模線性方程組，利用圖1的下標(biāo)關(guān)系，將A[i]填入對應(yīng)的系數(shù)矩陣中，用高斯消元化解增廣矩陣為上三角梯陣，然后從N-1到0枚舉B[i]?的取值(取值為0、1、2)，當(dāng)B[i](0?<?i?<?N)滿足條件則遞歸枚舉B[i-1]，知道所有的B[i]枚舉完畢，則表明至少有一個解，否則無解。

SGU?173 Coins

題意：N(2?<=?N?<=?50)個硬幣排成一排，有的人頭朝上(用0表示)，有的則是字朝上(用1表示)，對這一排硬幣進(jìn)行M(1?<=?M?<=?10)次X變換之后的狀態(tài)已知，求初始的硬幣狀態(tài)。

定義一次X變換如下：

1、從這一排硬幣的Si(1?<=?Si?<=?N,?1<=?i?<=?M)位置取連續(xù)的K(2?<=?K?<=?N)個硬幣；

2、對這取出來的K個硬幣進(jìn)行一次循環(huán)左移操作；

3、掃描前K-1個硬幣，如果第i個硬幣字朝上(即為1)，并且Ai等于1，那么將第K個硬幣進(jìn)行一次翻轉(zhuǎn)；

4、重復(fù)2)?-?3)?操作Di(Di?<=?106)次；

?

上述X變換的3)中出現(xiàn)了Ai，但是題目并未給出Ai?(?1?<=?i?<=?K-1)，而是給出了L(L?<=?200)個X變換之前的狀態(tài)和之后的狀態(tài)(每個狀態(tài)為K個硬幣)，需要利用這L條關(guān)系來求出Ai，并且題目保證Ai有且僅有一個解。

?

題解：題目兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞了一大圈，實(shí)在很難讀懂，只能通過樣例來琢磨意思。這個題目分為兩部分，首先是要把Ai求出來，然后再根據(jù)Ai的值和結(jié)束狀態(tài)反推初始狀態(tài)。

首先來看樣例，L?=?2,?K?=?3??兩組X變換的前后狀態(tài)為010?->?101、101?->?011。

對于第一對狀態(tài)，010循環(huán)左移后為100，第K個硬幣和結(jié)束狀態(tài)不相符，說明前2(即K?-?1)個硬幣中字朝上的硬幣對應(yīng)的Ai必定有奇數(shù)個為1（這樣才能使第K個硬幣從0翻轉(zhuǎn)到1），而前二個硬幣只有第一個為1，所以A1?=?1;同理對于第二個狀態(tài)，可以求出A2?=?0;

模擬一下樣例可以大致了解題目的用意，但是對于一般的情況還是需要用系統(tǒng)的方法去分析，讓我們來看下一般的情況，對于某一對狀態(tài)如下：

初始狀態(tài)S?=?S1S2S3...SK-1SK??????????????????結(jié)束狀態(tài)T?=?T1T2T3...TK-1TK

將初始狀態(tài)循環(huán)左移一次后為S’?=?S2S3...SK-1SKS1，由于循環(huán)左移之后前K-1個硬幣的狀態(tài)不會再發(fā)生改變，所以有?S2S3...SK-1SK??==??T1T2T3...TK-1，當(dāng)然這一點(diǎn)，題目數(shù)據(jù)是會保證的，我們不需要關(guān)心，我們需要關(guān)心的就是S1和TK?是否相等，如果S1和TK?相等，那么前T1T2T3...TK-1?中為1的對應(yīng)的Ai=1的個數(shù)為偶數(shù)個，否則為奇數(shù)個。利用更加通俗的解釋，即(T1?A1?+?T2?A2?+?T3A3?+?...+?TK-1AK-1)?mod?2?=?S1??^?TK，這個方程中，只有Ai是未知數(shù)，那么對于L個條件，我們可以列出L條方程，這樣就轉(zhuǎn)變成了L個方程K-1個未知數(shù)的模線性方程組，可以利用高斯消元求解Ai。

Ai求出來后，給定一個結(jié)束狀態(tài)，模擬M*Di次逆向操作，每次操作需要進(jìn)行字符串的右移(因?yàn)槭悄嫦?#xff0c;所以要和題目的左移相反)操作，每次右移最多牽涉N次原子操作，所以總的復(fù)雜度為O(N*M*Di)，復(fù)雜度過大，但是注意到這里的N?<=?50，所以我們可以將每個狀態(tài)壓縮到一個int64的整數(shù)中，A1A2A3..AK-1也可以壓縮成一個int64的整數(shù)，右移操作可以通過位運(yùn)算在O(1)的時間內(nèi)解決。其中有一步會涉及到判斷一個數(shù)的二進(jìn)制表示中有多少個1的問題，網(wǎng)上各種面試題很多，不再累述，比較方便、效率也還可以的是采用樹狀數(shù)組中lowbit的思想，即利用?x?減去?(x&(-x))?(其中?x&(-x)?=?2^k，?k為x二進(jìn)制末尾0的個數(shù)），逐個將1消去，直到x?=?0為止，迭代消去的次數(shù)就是1的個數(shù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高斯消元的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。