卡爾瑪濾波的原理說明

• 卡爾曼濾波的原理說明
• • 卡爾曼濾波的介紹
  • 卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波的原理說明

簡單來說，卡爾曼濾波器是一個“optimal recursive data processing algorithm（最優化自回歸數據處理算法）”。對于解決很大部分的問題，它是最優、效率最高甚至是最有用的。

卡爾曼濾波的介紹

這里先根據下面的例子對卡爾曼濾波的5條公式進行一步一步地探索。
假設我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據你的經驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現在這一分鐘的溫度（假設我們用一分鐘來做時間單位）。假設你對你的經驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲，也就是這些偏差跟前后時間是沒有關系的而且符合高斯分配。另外，我們在房間里放一個溫度計，但這個溫度計也是不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。
好了，現在對于謀一分鐘我們有兩個關于該房間的溫度值：你根據經驗的預測值（系統的預測值）和溫度計的值（測量值）。下面要用這兩個值結合它們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。
假如我們要估算$k$時刻的實際溫度值。首先你要根據$k$-1時刻的溫度值，來預測$k$時刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到$k$時刻的溫度預測值是跟$k$-1時刻一樣的，假設是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果$k$-1時刻估算出的最優溫度值的偏差是3，你對自己預測的不確定度是4，它們的平方相加再開方，就是5）。然后，你從溫度計那里得到了$k$時刻的溫度值，假設是25度，同時該值的偏差是4度。
由于我們用于估算$k$時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計？究竟相信誰多一點，我們可以用它們的covariance來判斷。因為$K{g}^2=5^2/(5^2+4^2)$，所以$Kg$=0.78，我們可以估算出$k$時刻的實際溫度值是：$23+0.78?(25?23)=24.56$度。可以看出，因為溫度計的covariance比較小（比較相信溫度計），所以估算出的最優溫度值偏向溫度計的值。
現在我們可以得到$k$時刻的最優溫度值了，下一步就是要進入$k$+1時刻，進行新的最優估算。到現在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現。對了，在進入$k$+1時刻之前，我們還要算出$k$時刻那個最優值（24.56度）的偏差。算法如下：$((1?Kg)?5^2{)}^{0.5}=2.35$。這里的5 就是上面的$k$時刻你預測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入$k$+1時刻以后$k$時刻估算出的最優值的偏差（對應于上面的3）。
就是這樣，卡爾曼濾波就不斷地把covariance地柜，從而估算出最優的溫度值。它運行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的$Kg$，就是卡爾曼增益。它可以隨不同的時刻改變它自己的值。

卡爾曼濾波算法

首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統。該系統可用一個線性隨機微分方程來描述：
$$X(k)=AX(k?1)+BU(k)+W(k)$$
再加上系統的測量值：
$$Z(k)=HX(k)+V(k)$$
上兩式中，$X(k)$是$k$時刻的系統狀態，$U(k)$是$k$時刻對系統的控制量。$A$和$B$是系統參數，對于多模型系統，它們為矩陣。$Z(k)$是$k$時刻的測量值，$H$是測量系統的參數，對于多測量系統，$H$為矩陣。$W(k)$和$V(k)$分別表示過程和測量的噪聲。它們被假設成高斯白噪聲，它們的covariance分別是$Q$，$R$（這里我們假設它們不隨系統狀態變化而變化）。
對于滿足上面的條件（線性隨機微分系統，過程和測量都是高斯白噪聲），卡爾曼濾波是最優的信息處理器。下面我們來用它們的covariances來估算系統的最優化輸出。
首先我們要利用系統的過程模型，來預測下一狀態的系統。假設現在的系統狀態是$k$，根據系統的模型，可以基于系統的上一狀態而預測出現在狀態：
$$X(k|k?1)=AX(k?1|k?1)+BU(k)\text{\hspace{1em}(1)}$$
上式中，$X(k|k?1)$是利用上一狀態預測的結果，$X(k?1|k?1)$是上一狀態最優的結果，$U(k)$為現在狀態的控制量，如果沒有控制量，它可以為０．
到現在為止我們的系統結果已經更新了，可是，對應于$X(k|k?1)$的covariance還沒更新。我們用$P$表示covariance：
$$P(k|k?1)=AP(k?1|k?1)A^{\prime }+Q\text{\hspace{1em}(2)}$$
上式中，$P(k|k?1)$是$X(k|k?1)$對應的covariance，$P(k?1|k?1)$是$X(k?1|k?1)$對應covariance，$A^{\prime }$表示$A$的轉置矩陣，$Q$是系統過程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波５個公式中的前兩個，也就是對系統的預測。
現在我們有了現在狀態的預測結果，然后我們再收集現在狀態的測量值。結合預測值和測量值，我們可以得到現在狀態$(k)$和最優化估算值$X(k|k)$：
$$X(k|k)=X(k|k?1)+Kg(k)(Z(k)?HX(k|k?1))\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中$Kg$為卡爾曼增益：
$$Kg(k)=P(k|k?1)H^{\prime }/(HP(k|k?1)H^{\prime }+R)\text{\hspace{1em}(4)}$$
到現在為止，我們已經得到了$k$狀態下最優的估算值$X(k|k)$。但是為了要卡爾曼濾波器不斷地運行下去知道系統過程結束，我們還要更新$k$狀態下$X(k|k)$的covariance：
$$P(k|k)=(I?Kg(k)H)P(k|k?1)\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中$I$為單位矩陣，對于單模型單測量，$I=1$。當系統進入$k$+1狀態時，$P(k|k)$就是式２的$P(k?1|k?1)$。這樣，算法就可以自回歸的運算下去.
卡爾曼濾波器的原理基本描述了，式子１，２，３，４和５就是它的５個基本公式。根據這５個公式，可以很容易地實現計算機的程序。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的卡尔玛滤波的原理说明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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