2015高教杯全国大学生数学建模竞赛论文
賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會填寫）：
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2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽
承??諾??書
我們仔細閱讀了《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程》和《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則》（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。
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我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。
我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。
我們參賽選擇的題號（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：????????A????????????
我們的報名參賽隊號（12位數(shù)字全國統(tǒng)一編號）：???201510052007?????????
參賽學(xué)校（完整的學(xué)校全稱，不含院系名）：????南京師范大學(xué)???????????
參賽隊員?(打印并簽名)?：1.???葉鋮陽????????????????????????????????
???????????????????????2.???周麗陽 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
???????????????????????3.???陳勇君????????????????????????????????????
指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人??(打印并簽名)：?????????????????????????????
??????????????????????????????????????????日期：?2015?年?9?月?13?日
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太陽影子定位問題研究
摘要
本文主要研究影長與日期、時間及地點的關(guān)系。通過其中某組數(shù)值，去刻畫出其他變量的大致范圍。
對于第一問，由于日地距離隨公轉(zhuǎn)而改變，故我們需要尋找出一個合適的方程去描述不同日期下的日地距離，從而建立合理的空間坐標系，確定當(dāng)下太陽在坐標系下的空間坐標。又根據(jù)給定地點的經(jīng)緯度，我們可以建立影長方程，從而用MATLAB繪畫出影長圖像。
對于第二問，所給數(shù)據(jù)的影長變化，可以推測出測量地處于下半天（正午12時至凌晨0時），由此可以推算出不符合要求的地區(qū)，從而縮小數(shù)據(jù)量。利用第一問所推導(dǎo)的影長公式，使用MATLAB算出符合上述條件的各地區(qū)影長，與所給數(shù)據(jù)的影長作標準差，來看出不同地區(qū)的影長數(shù)據(jù)的偏離程度。從而確定出更為合理的測量地。同時可以根據(jù)給定的影長坐標，繪畫出影長變化曲線，并用二次函數(shù)進行擬合，求出影長最短的時刻，通過所給數(shù)據(jù)的時刻，來估測出測量地的時區(qū)或經(jīng)度，并與我們推理的測量地進行比較。經(jīng)過推算，得知測量地位于東經(jīng)108.67°，北緯19.26°，也就是我國的海南省東方市附近。
對于第三問，與第二問比較起來缺少變量日期。與第二問類似，我們先推測出可行的經(jīng)緯度及日期范圍，再對此經(jīng)緯度、日期所對應(yīng)的影長進行求解，并與實際觀測數(shù)值進行對比。由于相對多了一個自由量，所以相應(yīng)解的個數(shù)會增加，對所有可能解我們再利用圖像進行進一步檢驗。根據(jù)模型構(gòu)建我們得到第一組數(shù)據(jù)測量地位于東經(jīng)79°，北緯39°，此地為新疆喀什附近，日期為5月12日或7月31日。對于第二組數(shù)據(jù)測量地位于東經(jīng)110°，北緯34°，此地為陜西省商洛市附近，日期為10月26日。
對于第四問，視頻信息每間隔3min進行截圖，根據(jù)圖片使用Digimizer軟件測量出影長。與第二問比較起來，增加了桿長。也就是說，可以求出不同時刻的太陽入射角。根據(jù)第一問的太陽入射角與地點經(jīng)緯度的關(guān)系式，通過所測數(shù)據(jù)的非線性擬合，確定出測量地為東經(jīng)111°，北緯43°，在內(nèi)蒙古烏蘭察布市附近。
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關(guān)鍵詞：?空間坐標系?二次函數(shù)擬合?標準差?非線性擬合
1、問題重述
如何確定視頻的拍攝地點和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點和日期的一種方法。
1.建立影子長度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用你們建立的模型畫出2015年10月22日北京時間9:00-15:00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。
2.根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點。將你們的模型應(yīng)用于附件1的影子頂點坐標數(shù)據(jù)，給出若干個可能的地點。
3.?根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點和日期。將你們的模型分別應(yīng)用于附件2和附件3的影子頂點坐標數(shù)據(jù)，給出若干個可能的地點與日期。
4．附件4為一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，并且已通過某種方式估計出直桿的高度為2米。請建立確定視頻拍攝地點的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出若干個可能的拍攝地點。
如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)視頻確定出拍攝地點與日期？
?附件一：影長數(shù)據(jù)（含3個表格）
?附件二：視頻
2、問題假設(shè)
1、同一天中不考慮地球公轉(zhuǎn)所引起的太陽直射點緯度變化
2、不考慮各地的海拔、高地等引起的高度變化
3、照射到地球表面的太陽光線為平行光
4、題中所給的所有數(shù)據(jù)準確無誤
5、視頻所截取的數(shù)據(jù)能夠具有代表性
3、符號說明
| 符號 | 表示的意義 |
| R | 地球半徑 |
| r | 日地距離 |
| 太陽入射角 | |
| 桿長 | |
| 影長 | |
| 測量地 | |
| 太陽 | |
| 時間 |
4、模型建立與求解
4.1模型一的建立與求解
??4.1.1?模型一的建立
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?以地心為坐標原點，指向赤道上東經(jīng)0°點方向為x軸正方向，指向北極點方向為z軸正方向，垂直于x軸、z軸的方向為y軸正方向，構(gòu)建右手直角坐標系。記測量地點的經(jīng)緯度為,地球半徑為R，那么測量地的位置坐標為，那么直桿的方向向量可以取為，日地距離記為，
直桿長度為，影子長度為，太陽直射點的經(jīng)緯度為。
其中，??即
太陽直射點：
經(jīng)度，是測量地點的時間，是地球的自轉(zhuǎn)角速度，。
緯度，是從春分日開始經(jīng)過的天數(shù)，???????????????????????????????????????????????[1]
記日地平均距離為，又稱為天文單位，其中1天文單位
可以精確至。
由于日地距離對于任何一年的任何一天都是精確已知的，所以這個距離可用一個數(shù)學(xué)表達式表述。為了避免日地距離用具體長度計量單位表示過于冗長，一般均以其與日地平均距離比值的平方表示，即。???????????????[2]
我們得到的數(shù)學(xué)表達式為：???
式中稱日角，即，這里又由兩部分組成，即，
其中為積日，所謂積日，就是日期在年內(nèi)的順序號，例如，1月1日其積日為1，平年12月31日的積日為365，閏年則為366，等等。
又有，
其中為數(shù)值向下取整為最接近的整數(shù)的函數(shù)。
因此我們可以得到了觀測點所在地的日地距離,.
記太陽入射角，太陽的坐標為，其中
?
所以太陽入射角為與的夾角的余角，即，此時，若則舍去。
故可以得到影子長度:
。
??4.1.2?模型一的求解：
由于觀測點為天安門廣場，從而可以得到觀測點的經(jīng)度為東經(jīng)116度23分29秒，緯度為北緯39度54分26秒，即，
又根據(jù)地球半徑，從而可以得到北京天安門廣場坐標為
根據(jù)觀測時間2015年10月22日北京時間9:00-15:00可以得到
，，
，
那么此時的日地距離。
也就是說，在北京時間2015年10月22日太陽直射點位于南緯
接著根據(jù)公式，我們可以得到不同時刻太陽直射點的緯度，從而可以得出不同時刻太陽的位置坐標，（見下表）
| ? | ? | ? | |||
| 9:00 | 165 | -11.1154 | -141284859.6 | 37857164.04 | -27802137.27 |
| 9:18 | 160.5 | -11.1154 | -137879086.7 | 48825545.36 | -27802137.27 |
| 9:36 | 156 | -11.1154 | -133623243.4 | 59492900.97 | -27802137.27 |
| 9:54 | 151.5 | -11.1154 | -128543568.3 | 69793463.05 | -27802137.27 |
| 10:12 | 147 | -11.1154 | -122671379.4 | 79663725.22 | -27802137.27 |
| 10:30 | 142.5 | -11.1154 | -116042880.6 | 89042834.04 | -27802137.27 |
| 10:48 | 138 | -11.1154 | -108698938.9 | 97872964.18 | -27802137.27 |
| 11:06 | 133.5 | -11.1154 | -100684832.1 | 106099674.9 | -27802137.27 |
| 11:24 | 129 | -11.1154 | -92049969.77 | 113672245.9 | -27802137.27 |
| 11:42 | 124.5 | -11.1154 | -82847588.81 | 120543989.7 | -27802137.27 |
| 12:00 | 120 | -11.1154 | -73134424.91 | 126672539.7 | -27802137.27 |
| 12:18 | 115.5 | -11.1154 | -62970362.97 | 132020111.4 | -27802137.27 |
| 12:36 | 111 | -11.1154 | -52418067.8 | 136553735.2 | -27802137.27 |
| 12:54 | 106.5 | -11.1154 | -41542597.8 | 140245459.8 | -27802137.27 |
| 13:12 | 102 | -11.1154 | -30411003.88 | 143072524.5 | -27802137.27 |
| 13:30 | 97.5 | -11.1154 | -19091916.01 | 145017499.5 | -27802137.27 |
| 13:48 | 93 | -11.1154 | -7655120.124 | 146068393.5 | -27802137.27 |
| 14:06 | 88.5 | -11.1154 | 3828872.121 | 146218727.1 | -27802137.27 |
| 14:24 | 84 | -11.1154 | 15289258.1 | 145467573.8 | -27802137.27 |
| 14:42 | 79.5 | -11.1154 | 26655380.71 | 143819564.4 | -27802137.27 |
| 15:00 | 75 | -11.1154 | 37857164.04 | 141284859.6 | -27802137.27 |
?
由于已知桿長，所以根據(jù)入射角公式及影長公式可以得到不同時刻的太陽入射角與影子長度（見下表）。
?
| ? ? | 影子長度 | |
| 9:00 | 0.388150215 | 7.336860881 |
| 9:18 | 0.434875968 | 6.458059249 |
| 9:36 | 0.478877147 | 5.778292791 |
| 9:54 | 0.51977913 | 5.242293654 |
| 10:12 | 0.557178011 | 4.815214138 |
| 10:30 | 0.590647639 | 4.47431276 |
| 10:48 | 0.619751521 | 4.204425012 |
| 11:06 | 0.64406016 | 3.995344707 |
| 11:24 | 0.663173545 | 3.84023309 |
| 11:42 | 0.676747218 | 3.734615318 |
| 12:00 | 0.684518846 | 3.675737661 |
| 12:18 | 0.686331109 | 3.66216913 |
| 12:36 | 0.682146543 | 3.693590593 |
| 12:54 | 0.672051204 | 3.770747168 |
| 13:12 | 0.656246327 | 3.895559021 |
| 13:30 | 0.635029826 | 4.071402227 |
| 13:48 | 0.6087714 | 4.303594647 |
| 14:06 | 0.577885716 | 4.600163083 |
| 14:24 | 0.542807464 | 4.973043649 |
| 14:42 | 0.503970805 | 5.440009713 |
| 15:00 | 0.461794213 | 6.02790441 |
?
為了繪制出影子長度變化曲線，我們對函數(shù)中的21組數(shù)據(jù)進行MATLAB制圖。
程序：
R=6371;
time=9:0.3:15;
a=116+23/60+29/3600;
b=39+54/60+26/3600;
c=120-15.*(time-12);
d=asin(0.39775*sind(180+(214-186)));
r=1.48887659888219*10^8;
A=[R*cosd(b)*cosd(a)?R*cosd(b)*sind(a)?R*sind(b)];
B=[r*cos(d).*cosd(c);?r*cos(d).*sind(c);r*sin(d).*ones(1,21)];
for?i=1:21
ci(i)=pi/2-acos(dot(A,B(:,i))/norm(A)/norm(B(:,i)));
end
yz=3./tan(ci);
plot(time,yz)
運行結(jié)果：
????至此，我們得到了2015年10月22日北京時間9:00-15:00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。
?
?
4.2模型二的建立與求解
??4.2.1?模型二的建立
根據(jù)所給定的21組不同時間的影子頂點坐標數(shù)據(jù)，繪畫出影子長度隨時間的變化曲線。
此時我們可以使用二次函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù)，并求出最低點的時間。
程序1：
a=[14.7?1.149625826;14.75?1.182198976;14.8?1.215296955;14.85?1.249051052;14.9?1.28319534;14.95?1.317993149;15?1.353364049;15.05?1.389387091;15.1?1.426152856;15.15?1.463399853;15.2?1.501481622;15.25?1.540231817;15.3?1.579853316;15.35?1.620144515;15.4?1.661270613;15.45?1.703290633;15.5?1.74620591;15.55?1.790050915;15.6?1.835014272;15.65?1.880875001;15.7?1.927918447];
A=polyfit(a(:,1),a(:,2),2);
low=-A(2)/2/A(1)
low?=
???12.5984
根據(jù)運行結(jié)果，可以估算出北京時間12.5984小時，測量地為影子長度最小時刻，也就是太陽高度最高時刻，即當(dāng)?shù)貢r間的12時。
???????為測量地的經(jīng)度。
數(shù)據(jù)的時間是北京時間14.7時到15.7時。此時的影長是遞增的，可以知道測量地此時處于下午時刻。
，代表測量地在北京時間15.7時才剛到下午。
，代表測量地在北京時間14.7時才剛到凌晨。
我們可以得知，從西經(jīng)到東經(jīng)處不可能是測量地。
太陽直射點的經(jīng)緯度是，則記，代表北京時間4月18日，以此緯度為界限向南全天均為黑夜。
由，
則，??
那么南緯到在北京時間4月18日一直處于黑夜。
???接著根據(jù)公式，我們可以得到不同時刻太陽直射點的緯度，從而可以得出不同時刻太陽的位置坐標，（見下表）
| ? | |||||
| 14:42 | 79.5 | 10.4381 | 26683609.49 | 143971873.3 | 26974431.66 |
| 14:45 | 78.75 | 10.4381 | 28565857.03 | 143610261.2 | 26974431.66 |
| 14:48 | 78 | 10.4381 | 30443209.96 | 143224042.2 | 26974431.66 |
| 14:51 | 77.25 | 10.4381 | 32315346.61 | 142813282.6 | 26974431.66 |
| 14:54 | 76.5 | 10.4381 | 34181946.19 | 142378052.6 | 26974431.66 |
| 14:57 | 75.75 | 10.4381 | 36042688.86 | 141918426.9 | 26974431.66 |
| 15:00 | 75 | 10.4381 | 37897255.81 | 141434484.1 | 26974431.66 |
| 15:03 | 74.25 | 10.4381 | 39745329.26 | 140926307.4 | 26974431.66 |
| 15:06 | 73.5 | 10.4381 | 41586592.55 | 140393983.6 | 26974431.66 |
| 15:09 | 72.75 | 10.4381 | 43420730.19 | 139837604 | 26974431.66 |
| 15:12 | 72 | 10.4381 | 45247427.91 | 139257264 | 26974431.66 |
| 15:15 | 71.25 | 10.4381 | 47066372.72 | 138653062.9 | 26974431.66 |
| 15:18 | 70.5 | 10.4381 | 48877252.95 | 138025104.4 | 26974431.66 |
| 15:21 | 69.75 | 10.4381 | 50679758.31 | 137373496 | 26974431.66 |
| 15:24 | 69 | 10.4381 | 52473579.96 | 136698349.3 | 26974431.66 |
| 15:27 | 68.25 | 10.4381 | 54258410.53 | 135999780.1 | 26974431.66 |
| 15:30 | 67.5 | 10.4381 | 56033944.2 | 135277908 | 26974431.66 |
| 15:33 | 66.75 | 10.4381 | 57799876.74 | 134532856.8 | 26974431.66 |
| 15:36 | 66 | 10.4381 | 59555905.57 | 133764754 | 26974431.66 |
| 15:39 | 65.25 | 10.4381 | 61301729.8 | 132973731.3 | 26974431.66 |
| 15:42 | 64.5 | 10.4381 | 63037050.3 | 132159924.3 | 26974431.66 |
由于影長，這里分別代表第一小問的桿長和太陽入射角。
又有，對于每一固定的地點是確定的，所以桿長不確定的情況下，我們帶入桿長時，與實際測量值相差倍。計算各地的影長與測量值之間的標準差，使得標準差最小的的地點，也就是每組數(shù)據(jù)與測量值相差的倍數(shù)越靠近同一個值得地點，為測量地的可能性就越大。
??4.2.2?模型二的求解
利用MATLAB編寫程序可以得到各地的影長與測量值之間的標準差。
?
程序：
z=zeros(19700,17000);
for?i=64:0.01:260
for?j=-80:0.01:89
for?k=1:21
c(k)=120-15*(a(k,1)-12);
dt=asin(0.39775*sin(pi*(28+(a(k,1)-6.75)/24)/186));
l=[cosd(j)*cosd(i),cosd(j)*sind(i),sind(j)];
m=[cos(dt)*cosd(c(k)),cos(dt)*sind(c(k)),sin(dt)];
ac=acos(dot(l,m));
if(ac>pi/2)
z((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=1;
end
t(k)=1/(a(k,2)*tan(pi/2-ac));
end
if(z((i-64)*100+1,(j+80)*100+1))==0)
st((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=std(t);
else
st((i-64)*100+1,(j+80)*100+1)=1000;
end
end
end
?
運行結(jié)果：
?
由于運行結(jié)果過于龐大，我們截取了部分結(jié)果，同時利用EXCEL求出了標準差的最小值以及相應(yīng)的點。
?
?
?
因此得到了最小的標準差為1.34012E-05，又由于在該點附近的標準差與最小值相差甚小，故可推測出直桿所處的地點為東經(jīng)108.67°，北緯19.26°。也就是我國的海南省東方市附近。
??4.2.3?模型二的檢驗
計算值與測量值的影長曲線圖，如下：
?
?
| 時間 | 測量值 | 估計值 | 誤差 |
| 14.7 | 1.149625826 | 1.190490641 | -0.040864814 |
| 14.75 | 1.182198976 | 1.218049998 | -0.035851021 |
| 14.8 | 1.215296955 | 1.246234754 | -0.030937798 |
| 14.85 | 1.249051052 | 1.275059812 | -0.02600876 |
| 14.9 | 1.28319534 | 1.304541586 | -0.021346246 |
| 14.95 | 1.317993149 | 1.334698039 | -0.016704891 |
| 15 | 1.353364049 | 1.365548738 | -0.012184689 |
| 15.05 | 1.389387091 | 1.397114906 | -0.007727815 |
| 15.1 | 1.426152856 | 1.429419494 | -0.003266637 |
| 15.15 | 1.463399853 | 1.462487251 | 0.000912602 |
| 15.2 | 1.501481622 | 1.496344813 | 0.005136809 |
| 15.25 | 1.540231817 | 1.531020797 | 0.00921102 |
| 15.3 | 1.579853316 | 1.566545907 | 0.013307409 |
| 15.35 | 1.620144515 | 1.602953056 | 0.01719146 |
| 15.4 | 1.661270613 | 1.640277494 | 0.020993119 |
| 15.45 | 1.703290633 | 1.678556961 | 0.024733672 |
| 15.5 | 1.74620591 | 1.717831842 | 0.028374068 |
| 15.55 | 1.790050915 | 1.758145355 | 0.03190556 |
| 15.6 | 1.835014272 | 1.799543745 | 0.035470527 |
| 15.65 | 1.880875001 | 1.842076506 | 0.038798495 |
| 15.7 | 1.927918447 | 1.885796626 | 0.042121822 |
?
根據(jù)上表的數(shù)據(jù)繪制誤差變化圖，如下：
?
4.3模型三的建立與求解
4.3.1?模型三的建立
對于這兩組數(shù)據(jù)，以第一組數(shù)據(jù)為例。
影子長度由四個變量所控制：日期，時間，地點(經(jīng)度、緯度)。
我們使用相同的符號：觀測點經(jīng)緯度,太陽坐標(方向)。利用蔣洪力論文的結(jié)論，根據(jù)太陽運行進度來求太陽坐標的緯度.得到：
?
其中為每年的積日。
,
利用之前得到的公式，得到太陽入射角與觀測點，時間的函數(shù)關(guān)系：
其中
.
因此影長.
因此應(yīng)為常值.(為測量值)
我們再次利用的循環(huán)變量，即對經(jīng)度、緯度、日期作為三軸，建立三維網(wǎng)格，我們對網(wǎng)格所有格點進行一次遍歷，并選擇出最優(yōu)解(即的波動范圍較小者，即方差較小者).
在循環(huán)中，我們利用二次擬合，求出測量地的大致精度范圍.
?
4.3.2?模型的求解
對于第一個測量地，我們利用二次擬合得到曲線
所以觀測地的大致范圍在
?
對于第二個測量地，我們利用二次擬合得到曲線
所以觀測地的大致范圍在
?
程序：
?
(1)
for?i=61:120
for?j=-90:89
for?k=1:365
yz=pnt(i,j,k,a(:,1));
t=yz'./a(:,2);
st((i-60)+(k-1)*60,j+91)=std(t);
end
end
end
?
(2)
for?i=78:137
for?j=-90:89
for?k=1:365
yz=pnt(i,j,k,a(:,1));
t=yz'./a(:,2);
st((i-77)+(k-1)*60,j+91)=std(t);
end
end
end
?
對于第一個測量地，得到如下的運行結(jié)果：
?
相對應(yīng)的結(jié)果為11月25日?東經(jīng)80°?南緯39°.
在世界地圖上尋找對應(yīng)點，發(fā)現(xiàn)為海上，所以此值應(yīng)當(dāng)舍去，選取次優(yōu)解。
次優(yōu)解有兩個：5月12日?東經(jīng)79°?北緯39°。
7月31日?東經(jīng)79°?北緯39°，此地為新疆喀什附近。
?
?
對于第二個測量地，得到如下的運行結(jié)果。
????
???相應(yīng)的結(jié)果為10月26日?東經(jīng)110°?北緯34°，此地為陜西省商洛市附近。
?
4.4模型四的建立與求解
??4.4.1模型四的建立
坐標系與各變量的表示均與問題一中相同。
根據(jù)附件4中直桿在太陽下的影子變化的視頻，以3分鐘為一節(jié)點截取視頻中的圖像，利用Digimizer測量軟件測量出影子長度，共測得14組數(shù)據(jù)（如下表）。
?
| 時間 | 影子長度/m |
| 8:54 | 2.410633 |
| 8:57 | 2.363567 |
| 9:00 | 2.324 |
| 9:03 | 2.286367 |
| 9:06 | 2.245267 |
| 9:09 | 2.1975 |
| 9:12 | 2.157067 |
| 9:15 | 2.1198 |
| 9:18 | 2.091633 |
| 9:21 | 2.043833 |
| 9:24 | 2.001667 |
| 9:27 | 1.953233 |
| 9:30 | 1.918767 |
| 9:33 | 1.8776 |
記觀測地A的經(jīng)緯度為（a,b）,那么直桿的方向向量可表示為.
接下來考慮太陽直射點的經(jīng)緯度：
????經(jīng)度，是測量地點的時間，是地球的自轉(zhuǎn)角速度，。
緯度，是從春分日開始經(jīng)過的天數(shù)，。
根據(jù)視頻我們可以得到測量地點的日期和時間，從而和可知，即不同時刻太陽直射點的經(jīng)緯度可知。
從而太陽位置可表示為。
所以太陽入射角，影子長度。
即
也就是，
??4.4.2?模型四的求解
首先根據(jù)上述模型，得到不同時刻太陽直射點的經(jīng)緯度，并且求出太陽的坐標。
| ? | ? | ? | |||
| 8:54 | 166.5 | 14.6001 | -137202961.4 | 32939516.71 | 56723036.13 |
| 8:57 | 165.75 | 14.6001 | -136760041.9 | 34732625.97 | 56723036.13 |
| 9:00 | 165 | 14.6001 | -136293689.3 | 36519783.99 | 56723036.13 |
| 9:03 | 164.25 | 14.6001 | -135803983.5 | 38300684.52 | 56723036.13 |
| 9:06 | 163.5 | 14.6001 | -135291008.4 | 40075022.43 | 56723036.13 |
| 9:09 | 162.75 | 14.6001 | -134754851.8 | 41842493.69 | 56723036.13 |
| 9:12 | 162 | 14.6001 | -134195605.7 | 43602795.45 | 56723036.13 |
| 9:15 | 161.25 | 14.6001 | -133613365.9 | 45355626.1 | 56723036.13 |
| 9:18 | 160.5 | 14.6001 | -133008232.1 | 47100685.3 | 56723036.13 |
| 9:21 | 159.75 | 14.6001 | -132380308.1 | 48837674.03 | 56723036.13 |
| 9:24 | 159 | 14.6001 | -131729701.3 | 50566294.68 | 56723036.13 |
| 9:27 | 158.25 | 14.6001 | -131056523.4 | 52286251.06 | 56723036.13 |
| 9:30 | 157.5 | 14.6001 | -130360889.6 | 53997248.46 | 56723036.13 |
| 9:33 | 156.75 | 14.6001 | -129642919.1 | 55698993.71 | 56723036.13 |
程序：
a=[8.9 2.4097;8.95 2.3645;9 2.3195;9.05 2.2757;9.1 2.2416;9.15 2.1917;9.2 2.1555;9.25 2.1062;9.3 2.0759;9.35 2.0315;9.4 1.9947;9.45 1.9525;9.5 1.9191;9.55 1.8792];
for?i=78:137
for?j=-90:89
yz=pnt(i,j,194,a(:,1));%pnt為求影子長度的函數(shù)，見附錄。
t=yz'./a(:,2);
st(i-77,j+91)=std(t);
end
end
end?
運行結(jié)果：
利用EXCEL查找出了標準差的最小值，所以可以得知測量地為東經(jīng)111°，北緯43°，在內(nèi)蒙古烏蘭察布市附近。
??4.4.3?模型四的檢驗
a=[8.9 2.4097;8.95 2.3645;9 2.3195;9.05 2.2757;9.1 2.2416;9.15 2.1917;9.2 2.1555;9.25 2.1062;9.3 2.0759;9.35 2.0315;9.4 1.9947;9.45 1.9525;9.5 1.9191;9.55 1.8792];
st=zeros(60,180);
for?i=78:137
for?j=-90:89
yz=pnt(i,j,194,a(:,1));
t=2.*yz'./a(:,2);
for?k=1:14
st(i-77,j+91)=st(i-77,j+91)+abs(t(k)-1);
end
end
End
容易得到：影長的誤差和為???，
其中為東經(jīng)111°，北緯43°在對應(yīng)時間下的影長；為對應(yīng)時間下的測量值。
則，
即
?
?4.4.4?模型四的檢驗模型四的推廣問題
在拍攝日期未知的情形下，那么這個問題就類似于問題三。我們可以通過同樣的方法，估算出一些可能的地點，但是問題三利用的是公式算得的影長與測量值之間存在一個桿長倍數(shù)的關(guān)系，然后利用計算的數(shù)值，比較其標準差，考察每個數(shù)據(jù)與真實值比值的離散程度。但是問題四已經(jīng)給出了一個桿長，所以我們可以繼續(xù)進行檢驗，觀察在這些可能的地點中這個比值是否在桿長附近波動。波動程度越小，那么地點是測量地的可能性就越高。這樣也就可以估測出大致的拍攝地點及日期。
5、模型的評價
??6.1?模型的優(yōu)點
??（1）數(shù)學(xué)推導(dǎo)，具有較強的理論依據(jù)，邏輯的推理增強了數(shù)據(jù)間的連貫性，方便觀察出其中明顯的失誤。
??（2）使用擬合數(shù)據(jù)，進行測量地的位置估算，可以對結(jié)果起到引導(dǎo)性作用，更容易做出精確的結(jié)果。
??6.2?模型的缺點
??（1）由于地理因素復(fù)雜，無妨用簡單的數(shù)學(xué)模型完美刻畫，得到的結(jié)果也只能是在不考慮眾多地理復(fù)雜因素下的估計值。
??（2）由于不同的擬合方式可以得到不同的精確度，所以引導(dǎo)性的精確程度也是可以不斷優(yōu)化的，然而我們選擇的擬合方式并不一定是最好的。
6、參考文獻
[1]??[0583-1458]?蔣洪力，太陽直射點緯度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和分析，數(shù)學(xué)通報，第9期:P39-40，2007。
[2]??[TK511;P182.1]?王炳忠，太陽輻射計算講座?第一講?太陽能中天文參數(shù)的計算，太陽能，第2期:P8-10，1999。
[3]??[978-7-5643-2992-1]?龔濤，攝影測量學(xué)，成都：西南交通大學(xué)出版社,2014.04。
[4]??[9787040196382]?姜啟源，謝金星，數(shù)學(xué)建模案例選集，北京：高等教育出版社，2006。
[5]??[9787302265535]?李學(xué)文，數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文精選與點評，北京：清華大學(xué)出版社，2011。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的2015高教杯全国大学生数学建模竞赛论文的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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