運輸問題

文章目錄

• • • • 運輸問題
      • • 模型建立
        • 表上作業(yè)法和對產(chǎn)銷平衡問題的處理
        • 對產(chǎn)銷不平衡問題的處理

模型建立

• 已知有$m$個生產(chǎn)地點$A_i(i=1,?,m)$，可供應某種（單個）物資，供應量（產(chǎn)量）分別為$a_i(i=1,?,m)$。現(xiàn)有$n$個銷地$B_j(j=1,?,n)$，其需求量分別為$b_j(j=1,?,n)$。用$c_{ij}$表示從$A_i$運到$B_j$的單位物資的運價。設從$A_i$運到$B_j$的運輸量為$x_{ij}(x_{ij}\ge 0)$

• 目標函數(shù)

$$\min z=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$

• 約束條件
  $$?\begin{array}{l}\sum _{i=1}^m{x}_{ij}=b_j,j=1,?,n?\text{銷量角度}\\ \sum _{j=1}^n{x}_{ij}=a_i,i=1,?,m?\text{產(chǎn)量角度}\\ x_{ij}\ge 0\end{array}$$

• 對于產(chǎn)銷平衡的運輸問題，有以下關(guān)系式成立
  $$\sum _{j=1}^n{b}_j=\sum _{j=1}^n(\sum _{i=1}^m{x}_{ij})=\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^m{x}_{ij})=\sum _{i=1}^m{a}_i$$
  $?$模型最多只有$m+n?1$個獨立的約束方程$?$系數(shù)矩陣的秩$\le m+n?1$$?$一定存在可行解

• 系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)松散特殊
  $$\begin{array}{lc}& \begin{array}{l}{x}_{11}{x}_{12}?x_{1n}{x}_{21}{x}_{22}?x_{2n}?x_{m1}{x}_{m2}?x_{mn}\end{array}\\ \begin{array}{l}{u}_1\\ u_2\\ ?\\ u_m\\ v_1\\ v_2\\ ?\\ v_n\end{array}& ?\begin{array}{ccccccccccccc}1& 1& ?& 1& & & & & & & & & \\ & & & & 1& 1& ?& 1& & & & & \\ & & & & & & & & ?& & & & \\ & & & & & & & & & 1& 1& ?& 1\\ 1& & & & 1& & & & & 1& & & \\ & 1& & & & 1& & & & & 1& & \\ & & ?& & & & ?& & & & & ?& \\ & & & 1& & & & 1& & & & & 1\end{array}?\end{array}$$
  $?$系數(shù)矩陣的系數(shù)向量$P_{ij}$可以表示為$P_{ij}=(0?1?0?1?0{)}^T=e_i+e_{m+j}$

• 運輸問題與指派問題類似，區(qū)別在于運輸問題約束方程中的自由項$a_i,b_j$非負即可，但指派問題恒為1。不能用匈牙利法求解運輸問題

表上作業(yè)法和對產(chǎn)銷平衡問題的處理

• e.g. 三個產(chǎn)地$A_1,A_2,A_3$，產(chǎn)量分別是7,4,9，四個銷地$B_1,B_2,B_3,B_4$，銷量分別是3,6,5,6.又已知單位運價，求$\min z$

根據(jù)$7+4+9=3+5+6+5$容易得到產(chǎn)銷平衡

畫出產(chǎn)銷平衡表和單位運價表（合在一起）

$B_1$$B_2$$B_3$$B_4$產(chǎn)量

$A_1$	$x_{11}\Vert 3$	$x_{12}\Vert 11$	$x_{13}\Vert 3$	$x_{14}\Vert 10$	$7$
$A_2$	$x_{21}\Vert 1$	$x_{22}\Vert 9$	$x_{23}\Vert 2$	$x_{24}\Vert 8$	$4$
$A_3$	$x_{31}\Vert 7$	$x_{32}\Vert 4$	$x_{33}\Vert 10$	$x_{34}\Vert 5$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

該表即可作為表上作業(yè)法的使用起點

確定初始基可行解，查看視頻

• 西北角法：從表的西北角開始，填出$m+n?1$個數(shù)作為初始解

  注：西北角法純粹就是為了找到個解，但是局限性太大

  注：當出現(xiàn)退化（即按步驟計算出來的運輸量為0）時，在相應的格中一定要填一個0，以表示此格為數(shù)字格

• 最小元素法：就近供應，從運輸單價最小的地方開始確定供銷關(guān)系

  注：可能一開始很節(jié)省，但之后翻倍增長

• 伏格爾法：從運費差額的角度去考慮（更容易找到最優(yōu)解）

• 求各行各列最小運價與次小運價的差額（絕對值）
• 選出1中所有差額的最大值，找到這個最大值所對應的行或列，再找這行或列中的最小運價，優(yōu)先供應（若差額最大值有多個，任選一個即可）
• 如果某一行或某一列按照這種方法已被供應了，則劃去該行或該列，在剩下的行列中重復這種方法，直到劃去所有的行列

判別最優(yōu)解

• 閉回路法：以某一空格（非基變量）為起點，用水平線或者豎直線向前劃線，對于其他空格，只能穿過，不能轉(zhuǎn)向，只有在碰到某一數(shù)字時才能轉(zhuǎn)彎。按照這一規(guī)矩繼續(xù)前進，直到回到起始空格位置。（回路是唯一的）。有幾個空格就必須找?guī)讉€回路
  $$\text{檢驗數(shù)}=\text{奇數(shù)頂點的單位運價之和}?\text{偶數(shù)頂點的單位運價之和}$$
  檢驗數(shù)經(jīng)濟意義：當由$A_i$往$B_j$增運一個單位的貨物時，所引起的總運輸成本的變化

  
  

  局限：產(chǎn)銷點很多時，計算很繁，不好找回路

• 位勢法：另一種計算檢驗數(shù)的方法，但是只能計算不能調(diào)整

  • 每一個格都對應了唯一確定的行列的位置，那么我們就認為每個格都對應唯一的行勢($u_i$)和唯一的列勢($v_j$)，且${\sigma }_{ij}=c_{ij}?(u_i+v_j)$。對于所有的有數(shù)格$\sigma =0$，故可通過$\sigma =0$列出方程組，求出所有的$u_i,v_j$，那么，對于空格來說就可以直接計算${\sigma }_{ij}$并比較

解的調(diào)整：在負檢驗數(shù)中，選擇絕對值最大的空格作為調(diào)整的切入點，并在表格上以該點出發(fā)，沿著其閉回路，在回路所經(jīng)過的每一個方格內(nèi)一次表上$+q$和$?q$，由于存在非負約束，故只需保證回路上所有的$x_{ij}\pm q\ge 0$，由此便可得到$q$的具體值。然后根據(jù)計算出來的$q$值對相應的頂點進行調(diào)整，重復計算檢驗數(shù)和調(diào)整解的過程

• 當某個非基變量（空格）的檢驗數(shù)為0時，該問題有無窮多最優(yōu)解

對產(chǎn)銷不平衡問題的處理

• 產(chǎn)大于銷：$\sum a_i>\sum b_j$；產(chǎn)小于銷：$\sum a_i<\sum b_j$

• 產(chǎn)大于銷
  $$\begin{array}{l}\min z=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}\\ s.t.?\begin{array}{l}\sum _{i=1}^m{x}_{ij}=b_j,j=1,?,n\\ \sum _{j=1}^n{x}_{ij}\le a_i,i=1,?,m\\ x_{ij}\ge 0\end{array}\end{array}$$

  • 引入$m$個松弛變量：$\sum _{j=1}^{n+1}{x}_{ij}=a_i,i=1,?,m$
  • 對于$b_{n+1}$可以令$b_{n+1}=\sum a_i?\sum b_j$
  • 難點在于價值系數(shù)，在實際解題過程中，必須具體問題具體分析。若要求將這個產(chǎn)地的所有多產(chǎn)的全部被用掉，可以令相應的價值系數(shù)為大M

設$x_{ij}$為第$i$季度生產(chǎn)的用于第$j$季度交貨的柴油機數(shù)。

根據(jù)合同要求，則有
$$?\begin{array}{lcl}{x}_{11}& =& 10\\ x_{12}+x_{22}& =& 15\\ x_{13}+x_{23}+x_{33}& =& 25\\ x_{14}+x_{24}+x_{34}+x_{44}& =& 20\end{array}$$

由每季度生產(chǎn)的用于當季和以后各季的柴油機數(shù)不可能超過該季度的生產(chǎn)能力，得
$$?\begin{array}{r}{x}_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}\le 25\\ x_{22}+x_{23}+x_{24}\le 35\\ x_{33}+x_{34}\le 30\\ x_{44}\le 10\end{array}$$

可以看出該問題實際上是一個運輸問題，并且產(chǎn)大于銷（并且考慮實際意義，$i>j$時$x_{ij}=0$），畫出表格如圖，注意價值系數(shù)$c_{ij}$的計算，應該是實際成本加上儲存維護費用

• 對于D列，如果題目沒有特殊說明，默認成本為0

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的运输问题（模型建立、表上作业法、产销平衡、产销不平衡）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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