最近閑暇時間很多，正好也可以收集整理一些之前學(xué)習(xí)的資料，還有自己的一些經(jīng)驗供大家參考。這一次我將使用簡單的語言，使用實例的方式展示對數(shù)正態(tài)分布在數(shù)學(xué)建模比賽中的應(yīng)用。

正態(tài)分布物理意義

我們先從正態(tài)分布的物理意義說起，雖然大家可能都知其公式，但是對其物理意義并沒非常深刻的理解。簡而言之，正態(tài)分布的物理意義是——“正態(tài)分布是由大量的、由種種原因產(chǎn)生的元誤差疊加而成的”。其中常常在書中拿來被舉例的就是著名的高爾頓板：

對于每一個下落的小球來說，每一次撞到釘子，都有0.5的概率去左邊，0.5的概率去右邊。而在下落時有會撞到很多釘子；釘子與釘子之間也沒有任何關(guān)系。所以最后的下落的整體趨勢呈現(xiàn)出正態(tài)分布。

對數(shù)正態(tài)分布

但是現(xiàn)實往往是復(fù)雜的，這體現(xiàn)在許多事情都有蛛絲馬跡的聯(lián)系。以國家的GDP為例，各個國家的GDP種類與許多因素（元誤差）相關(guān)，比如人口數(shù)量、科技水平、平均受教育程度、擁有資源（自然資源與人文資源）、所處的地理位置等等因素。

但是這些造成GDP差異的因素之間存在千絲萬縷的關(guān)系。譬如說科技水平高的地區(qū)，相對更重視教育，所以平均人口素質(zhì)較高；平均人口素質(zhì)高了之后又可能會提升資源利用率，也可以創(chuàng)作出新的資源（這里只如文學(xué)作品，電影等等，可以參考文明6電影工廠加繁榮加旅游業(yè)績）；有了更多的資源又能進(jìn)一步提升平均素質(zhì)。總的來說這些因素間呈現(xiàn)相互促進(jìn)的關(guān)系。

而一旦這些元誤差（因素）相互促進(jìn)，那么最后的結(jié)果就會呈現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布，而且吊車尾越長說明元誤差間的相互作用更大，下面以世界銀行統(tǒng)計的各個國家2018年的GDP（這一年統(tǒng)計的相對比較全面）為例具體說明：

可以看到有統(tǒng)計數(shù)據(jù)的244個國家與地區(qū)中，GDP較小的后220個國家?guī)缀跻恢辟N地，并看不出來符合何種統(tǒng)計分布。

對GDP取對數(shù)后看，已經(jīng)很符合正態(tài)分布了

后面吊車尾太長了，畫不下QRZ

可以看出有正態(tài)分布的味了

當(dāng)然各個國家GDP的分布波動很厲害，這也是社會學(xué)統(tǒng)計的正?，F(xiàn)象，如果用理想實驗來說明最后的擬合效果會好很多。

對數(shù)正態(tài)分布試用范圍

對數(shù)正態(tài)分布比較常見在社會學(xué)分析之中。判斷應(yīng)該使用正態(tài)分布還是對數(shù)正態(tài)分布只需把握最關(guān)鍵的一個標(biāo)準(zhǔn)，即：如果導(dǎo)致這個數(shù)據(jù)產(chǎn)生差異的元誤差是相互獨立或者近似獨立的，那么使用正態(tài)分布；如果元誤差之間是相互作用的，則使用對數(shù)正態(tài)分布。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高级数学建模模型——对数正态分布的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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