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一、相似矩陣

根據(jù)矩陣表示定理，我們知道任意向量空間上的任意線性變換都可以用一個相應的矩陣表示；但一個棘手的問題是，在應用這個定理時，我們不可避免地需要先知道空間的一組基，才能確定出我們想要的表示矩陣。也就是說，對于作用在向量空間

上的一個線性變換，選取的空間 的基的不同會導致其表示矩陣的不同。因此，我們想解決這樣一個問題：在不同的基下，同一個線性變換的不同表示矩陣之間是否存在著某種關聯(lián)？

解決這個問題的思路是清晰的，我們可以先把問題限制在線性算子

上。

首先，讓我們假設

和 是向量空間 的兩組有序基，并令 是 中的一個向量，且 ， 。

接著，我們需要一個線性算子

，并設其相應于 和 的表示矩陣分別是 和 。

現(xiàn)在，我們設

和 ；這時 和 只是向量 經(jīng)過 作用后的像 在不同基下的坐標向量。因此，假設從基 到 的轉移矩陣是 ，那么我們有 ，且 。于是我們就可以得到

由于這對任意

成立，所以 ，即 。這里要注意，轉移矩陣 是從 對應的基到 對應的基。假如 是從 對應的基到 對應的基，則關系式應變?yōu)? 。

這樣，我們就得到了下面一個簡單的定理：

定理11.1 設

和 是向量空間 的兩組有序基，并令 為 上的線性算子，其相應于 和 的表示矩陣分別是 和 ，且從基 到 的轉移矩陣是 ，則 。

接下來，我們討論更一般的情況，即

是從 到 的線性變換的情況。事實上，這種情況的推理和線性算子是基本相同的，因此我們直接給出下面定理（為了表示方便，用一個大寫字母表示一組基）。

定理11.2 設

和 是向量空間 的兩組有序基，同時 和 是向量空間 的兩組有序基，并令 為從 到 的一個線性變換，其相應于 和 的表示矩陣是 ，而相應于 和 的表示矩陣是 ，且從 到 的轉移矩陣是 ，從 到 的轉移矩陣是 ，則 。

我們可以利用預習自學筆記-9中基變換的觀點來解釋定理11.2中的矩陣等式：對任意的

，令 ，則有 。等式左端 （設為 ）即表示矩陣 相應的線性變換（設為 ）對 的效果，其中作用空間被“詮釋”在一組基 下，而像空間則被“詮釋”在基 下。

然而，矩陣

相應的線性變換也是 ，但是為什么不能用 來表示 對 的效果呢？原因很簡單，因為對于 來說，雖然它的作用空間和像空間和 是一樣的，但是 “眼中”的作用空間被詮釋在基 下，像空間被“詮釋”在基 下，而 是 在基 下的坐標，基不同當然不能直接相乘。

那怎么辦呢？我們當然是要獲取

在基 下的坐標，這時從 到 的轉移矩陣 就派上了用場。在預習自學筆記-9中，我們說明了 在基 下的坐標就是 （設為 ），這樣我們就能使用 來展示線性變換 對 的效果。然而變換后的結果 （設為 ）和 還是有差距——像空間的基不同，因此再用轉移矩陣 對 進行基變換（從 轉到 ），就得到了 ，此時它和等式左端的另一個作用效果 就完全相同了。我們也可以通過一個實際情況的類比來理解：假設中國某工廠對原材料 加工得到成品 并出口給美國，我們把這個“加工并出口”的過程抽象為一個變換 ，它將原材料的價值變成為成品的價值。設原材料的價值為 ，這個價值用人民幣來量化為“成本”是 （一個數(shù)字），而成品的價值為 ，用美元來量化成“售價”是 （一個數(shù)字），而變換 相應于“人民幣”和“美元”的具體表現(xiàn)（從成本變換為售價）是 ，即 ，它是等式 在“人民幣”和“美元”基準下的具體數(shù)字表現(xiàn)。
而在某一天，中國把工廠轉移到了越南，但材料產(chǎn)地、加工技術、貿(mào)易情況完全不變，因此變換 是不變的，而且原材料的價值 也是不變的。但是由于工廠建在了越南，所以原材料的價值要用越南盾來量化為成本了，這樣量化之后就是 ；同時產(chǎn)品的出口地又變成了法國（假設出口給法美兩國的過程沒有區(qū)別），因此成品的售價要以歐元來記，這時成品的售價就變成了 ，從而變換 相應于“越南盾”和“歐元”的具體表現(xiàn)（從成本變換為售價）就變成了 。
為了找到 和 之間的關系，我們有“越南盾到人民幣的匯率”（1越南盾=X人民幣） 和“歐元到美元的匯率”（1歐元=Y美元） ，這樣就有 和 。從而，我們先將以越南盾計的成本換算成人民幣，應用 變換為售價，并將所得的結果（以歐元計的售價）換算成美元，和我們直接在“人民幣”和“美元”的基準下應用 的效果是一樣的（因為兩種情況下，原材料和成品的價值始終是一樣的），這就意味著 ，而這個等式的本質(zhì)其實就是 。
在上述過程中，“人民幣”“美元”“越南盾”“歐元”就承擔了基的作用。

一個有趣的解釋是，可逆矩陣

意味著對 作列變換，而可逆矩陣 意味著對 作行變換，由此可以得出， 是由 經(jīng)過有限次初等行變換和初等列變換得到的。而進一步地，若 上只選定一組有序基，那么 ，即 和 是列等價的；同理，若 上只選定一組有序基，那么 ，即 和 是行等價的。

定義 設

和 均為 矩陣，若存在 可逆矩陣 和 可逆矩陣 ，使得 ，則稱 與 等價。顯然，這里用 代替 得到的定義是相同的，我們這里使用 是為了隱性地表明這一定義的由來。

顯然，等價關系具有對稱性，因此我們可以稱

和 是等價的。

我們可以看出，等價關系是對列等價關系與行等價關系的“整合”與推廣。根據(jù)上面的討論，我們可以對等價矩陣作出一種詮釋：

• 等價矩陣是同一線性變換在其作用空間的不同基與像空間的不同基下的不同表示方法；
• 行等價矩陣是同一線性變換在其作用空間的不同基下的不同表示方法；
• 列等價矩陣是同一線性變換在其像空間的不同基下的不同表示方法。

而定理11.1中闡述的關系是一種特殊的等價關系，即

的情況。

定義 設

與 均為 方陣，若存在 可逆矩陣 ，使得 ，則稱 與 相似。注意，相似關系是對方陣而言的。

同樣，相似關系具有對稱性。類似于等價關系，我們也可以得到關于相似關系的解釋：

• 相似矩陣是同一線性算子在其作用空間（同時也是像空間）的不同基下的不同表示方法。

介紹完相似關系的含義后，我們不妨看下面這個例子：

• 令 為 上的線性算子，其關于標準基的表示矩陣為 ，求 關于基 的表示矩陣 ，其中 ， ， 。

我們可以用兩種方式求得

，分別是利用矩陣表示定理和定理11.1。比如，利用矩陣表示定理，我們可以得到

從而

可以看到

的每一列都是某一標準基向量的倍數(shù)，計算乘法 顯然比作乘法 快得多。因此，這就要求我們找到一組合適的基，使得表示矩陣的形式盡量簡單，這將是我們在以后需要解決的問題。

二、相似矩陣的性質(zhì)

相似矩陣的性質(zhì)都比較簡單易得，我們在下面列出一些相似矩陣的性質(zhì)。

若

和 為相似矩陣，則：

• 和 是相似的；
• 對于任意正整數(shù) ， 和 是相似的；
• 若 非奇異，則 非奇異，且 和 是相似的；
• 對于任意實數(shù) ， 和 是相似的。
• ；

其中，在第四點的證明中只需注意到

即可。第四點和第五點結合起來可以得到推論：若

和 為相似矩陣，則 。

由最后一點可以知道，行列式是矩陣的相似不變量，其根本原因在于行列式滿足

。那么，有沒有其他的函數(shù) ，使得對任意矩陣 和 ，有 呢？答案是肯定的，比如我們考慮下面的函數(shù)：

它滿足

，因為

所以這個函數(shù)也是相似不變量。事實上，這個函數(shù)稱作矩陣的跡，我們將在后面討論到它。這個函數(shù)的提出絕不是偶然的，而是有深厚的代數(shù)背景，不過在線性代數(shù)中，我們暫時接觸不到這一背景。

三、齊次坐標系

最后這一部分與相似性關系不大，它只是作為線性變換的一個應用而被提及。

我們再次重申，線性變換都可以用一個矩陣來表示。在圖形學中，平面上一個點是用二維向量

儲存起來的。而對于圖形的簡單操作大部分可以都是線性算子。例如，一個圍繞原點逆時針 角度的旋轉可以由一個旋轉矩陣 來描述，縮放操作可以由一個對角矩陣 表示，而矩陣 意味著一個對稱操作。但是，平移操作 卻不是一個線性算子，它不能由一個矩陣表示。

這在計算機中是非常有害的——在計算機中，圖形操作都是以矩陣形式識別和儲存起來的。因此，我們要設法解決這個問題，讓平移成為一個線性算子。

注意到若

，則對 的平移操作事實上得到的是向量 ，我們無法用矩陣相乘的形式表示出這個變換。但是，假如我們增加一個維度，將平面上的點用一個三維向量 表示的話，平移變換就可以輕松地表示為3×3矩陣 ，即 。這里用對 的行進行線性組合的方法最容易理解。

而其他類型的矩陣很容易適應這種改變，旋轉矩陣只要寫成

，縮放矩陣寫成 ，對稱矩陣也如法炮制即可。這樣，在這種表示方法下，所有對圖形的基本操作都是線性變換，從而可以用矩陣——即一堆數(shù)——儲存起來，這對于計算機而言是方便的。

對于平面上的點的表示方法容易拓展到高維空間。我們稱這種表示方法為“齊次坐標系”，它在計算機圖形學中具有重要應用。

至此，我們了解了看待矩陣 的另一個方式：一個從向量空間到向量空間的線性變換。而等式 也被賦予了一個新的含義——它代表了一個向量在某個線性變換的作用下變成了另一個向量。實際上，線性變換（特別是線性算子）的內(nèi)容遠不止這些，但在這里我們點到為止；我們已經(jīng)準備好用向量空間和線性變換這兩個強大的工具來解決兩個非常重要的問題：不相容的超定方程組的最優(yōu)解（最小二乘問題）與線性算子的最簡表示。

下一篇：線性代數(shù)預習自學筆記-12：最小二乘問題

總結

以上是生活随笔為你收集整理的合同相似可逆等价矩阵的关系及性质_线性代数预习自学笔记-11：等价性与相似性...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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