寫在前面：

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關(guān)于二級(jí)結(jié)論如何使用我就不再多做贅述了，一定要擺正心態(tài)，那就是：

欲用此定理，并證此定理！

欲用此定理，并證此定理！

欲用此定理，并證此定理！

敲黑板，說三遍~~~

如果自己能夠完全證明出來，我覺得根本不用刻意去記，這些東西已經(jīng)和你融為一體了~~學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)大法的最高境界啊！

學(xué)習(xí)方法的鏈接，真是吐了老血了：

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法問題？?www.zhihu.com

數(shù)列部分

奇偶型數(shù)列處理方式：

若

則 (合二為一)

常見求和公式：

上面四個(gè)務(wù)必掌握，下面四個(gè)選擇性掌握即可（建議記憶立方和）:

無窮等比數(shù)列{an}的和：

數(shù)列中錯(cuò)位相減法的套路化公式：

為公差為d的等差數(shù)列， 為公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列 滿足 ，則數(shù)列 的前n項(xiàng)和為

求數(shù)列

的前n項(xiàng)的和:

（1）錯(cuò)位相減套公式：

數(shù)列

的前n項(xiàng)和

其中：

（2）化常數(shù)列求和：

（3）導(dǎo)數(shù)法求和：

數(shù)列不動(dòng)點(diǎn)問題：

定義：方程

的根稱為函數(shù) 的不動(dòng)點(diǎn)

利用遞推數(shù)列

的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系 所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法.

定理1：若

是的不動(dòng)點(diǎn)，滿足遞推關(guān)系 ，則 ，即是公比為 的等比數(shù)列.

定理2：設(shè)

滿足遞推關(guān)系 ，初值條件

(1)若

有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn) ，則 （這里 ）

(2)若

只有唯一不動(dòng)點(diǎn) ，則 （這里 ）

定理3：設(shè)函數(shù)

有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn) ,且由 確定的數(shù)列 ,那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),

等差數(shù)列中前n項(xiàng)和Sn的最值問題：

若

則前m項(xiàng)和Sm最大；

若

則前m項(xiàng)和Sm最小．

如果前n項(xiàng)和

(A,B是常數(shù)n∈N*)，則也可按二次函數(shù)求最值．

設(shè)a1>0(<0)，且Sp＝Sq

若p＋q是偶數(shù)，則

時(shí)， Sn最大（最小）；

若p＋q是奇數(shù)，則

時(shí)，Sn最大（最小）

等差數(shù)列{an}的性質(zhì)：（設(shè)m、n、p、q∈N*）

（1）如果m＋n＝2p， 則

；

（2）如果m＋n＝p＋q，則

（3）在等差數(shù)列中等距離的取出若干項(xiàng)也構(gòu)成等差數(shù)列；

（4）在等差數(shù)列中依次取出若干個(gè)n項(xiàng)，其和也構(gòu)成等差數(shù)列，即

也為等差數(shù)列，公差為 ；

圖示理解：

（5）

（6）兩個(gè)等差數(shù)列

與的和差的數(shù)列 仍為等差數(shù)列．

（7）等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn ,Tn ,則

證明過程：

等比數(shù)列{an}的性質(zhì)：（設(shè)m、n、p、q∈N*）

（1）如果m＋n＝2p， 則

；

（2）如果m＋n＝p＋q，則

（3）在等比數(shù)列中等距離的取出若干項(xiàng)也構(gòu)成等比數(shù)列；

（4）在等比數(shù)列(公比q≠－1)中依次取出若干個(gè)n項(xiàng)，其和也構(gòu)成等比數(shù)列，即

也為等比數(shù)列，公比為；

圖示理解：

（5）兩個(gè)等比數(shù)列積、商的數(shù)列仍為等比數(shù)列；

（6）等比數(shù)列各項(xiàng)的乘方、開方、倒數(shù)的數(shù)列仍為等比數(shù)列．

（7）等比數(shù)列{an}的連續(xù)n項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列：

仍為等比數(shù)列．

（8）

是等比數(shù)列，則 是等差數(shù)列．

等差數(shù)列和等比數(shù)列Sn中系數(shù)的特征：

中的常數(shù)項(xiàng)為0是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的重要特征

中的 的系數(shù)A與常數(shù)項(xiàng)－A互為相反數(shù)是公比不為1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的重要特征。

等差數(shù)列與等比數(shù)列奇偶項(xiàng)問題：

在等差數(shù)列中，

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶 ?S奇 =nd；

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n?1時(shí)，S奇 ?S偶 =an（中間項(xiàng)）.

在等比數(shù)列中，

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶/S奇=q

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n?1時(shí)，(S奇-a1)/S偶=q.

一般數(shù)列的處理方法（遞推數(shù)列）

（1）型如

的遞推數(shù)列通常用疊加法求通項(xiàng)．

（2）型如

的遞推數(shù)列通常用疊乘法求通項(xiàng)．

（3）型如

(A、B是非0常數(shù)，A≠1)的遞推數(shù)列，通常用待定系數(shù)法或求特征根的方法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)．

（4）型如

的遞推數(shù)列通常用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)．

（5）型如

的遞推數(shù)列，當(dāng)B=A時(shí)兩邊同除以 構(gòu)造等差數(shù)列.當(dāng)B≠A時(shí)通常用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)．

（6）型如

(Sn是數(shù)列前n項(xiàng)和)的遞推數(shù)列通常利用公式 消和Sn或消項(xiàng)an, 從而化成型如前面的遞推數(shù)列．

（7）型如

的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．

（8）其它類型的遞推數(shù)列可根據(jù)不同的題采取不同的方法處理,比如歸納,猜想,再用數(shù)學(xué)歸納法證明等等.

（9）函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系:

當(dāng)函數(shù)y＝f(x)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，數(shù)列an＝f(n)必是單調(diào)數(shù)列，反之不正確；

當(dāng)函數(shù)y＝f(x)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，數(shù)列an+1＝f(an)的單調(diào)性不確定．

斐波那契數(shù)列（兔子數(shù)列）：

（1）斐波那契數(shù)列從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前面兩項(xiàng)之和

其通項(xiàng)可通過特征根方程求得

（2）斐波那契數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)之和：

（3）斐波那契數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和：

即

（3）斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)之和：

數(shù)列的周期性：

類比周期函數(shù)的概念，我們可定義：對(duì)于數(shù)列{an}，如果存在一個(gè)常數(shù)

使得對(duì)任意的正整數(shù) 恒有 成立，則稱數(shù)列{an}是從第 項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列。若 ，則稱數(shù)列{an}為純周期數(shù)列，若 ，則稱數(shù)列{an}為混周期數(shù)列，T的最小值稱為最小正周期，簡(jiǎn)稱周期.

常見周期如下所列：

（1）

（2）

（3）

特別地，

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

類比

常用的放縮和裂項(xiàng)相消方法：

不等式的證明常常和數(shù)列交匯命題，其常用的放縮、裂項(xiàng)相消方法是：

（均值放縮）

三角函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合的裂項(xiàng)相消：

已知數(shù)列

是公差為 的等差數(shù)列，則

對(duì)任一自然數(shù)

及任意實(shí)數(shù)有:

三角函數(shù)數(shù)列求和裂項(xiàng)相消：

完美結(jié)束。

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END

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總結(jié)

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