概率論的基本概念——《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章學(xué)習(xí)報(bào)告

前言

最近在學(xué)習(xí)概率論的內(nèi)容，決定做一下學(xué)習(xí)報(bào)告來總結(jié)一下的第一章的知識(shí)點(diǎn)。

參考教材是浙大第四版的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》。

思維導(dǎo)圖

1. 隨機(jī)試驗(yàn)

主要是隨機(jī)試驗(yàn)的3個(gè)特點(diǎn)，即：

相同條件重復(fù)。

可能的結(jié)果多種且已知。

每次試驗(yàn)的結(jié)果的不確定。

2. 樣本空間、隨機(jī)事件

2.1 樣本空間

樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合，即為S。

樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)結(jié)果。

2.2 隨機(jī)事件

定義：樣本空間S的子集。可簡稱為 事件。

基本事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集。

必然事件：其實(shí)就是S，該事件包含所有的樣本點(diǎn)。

不可能事件：不包含樣本點(diǎn)，為空集。

2.3 事件間的關(guān)系和事件的運(yùn)算

關(guān)系

包含，一個(gè)事件A包含在另一個(gè)事件B中，A就是B的子集
$$\begin{gathered} A?B \\ (特殊情況)A=B \end{gathered}$$

A和B的 和事件，邏輯上其實(shí)就是 A 或 B
$$A\cup B$$

積事件，邏輯上就是A與B，或者說是A且B，即A和B的公共部分，A和B的交集。
$$A\cap B$$

A 與 B 的 差事件，下列指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，B不發(fā)生的事件
$$A?B$$

互不相容，或者稱為 互斥
$$A\cap B=?$$

對(duì)立事件 ，互為逆事件，即
$$\begin{gathered} A\cap B=? \\ A\cup B=S \end{gathered}$$

上面6個(gè)事件間的關(guān)系可以依照下圖（取自教材）

運(yùn)算規(guī)律

交換律
$$\begin{gathered} A\cup B=B\cup A \\ A\cap B=B\cap A \end{gathered}$$

結(jié)合律
$$\begin{gathered} A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C \\ A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C \end{gathered}$$

分配律
$$\begin{gathered} A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) \\ A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C) \end{gathered}$$

德摩根律
$$\begin{gathered} \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} \\ \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B} \end{gathered}$$

3. 頻率與概率

3.1 頻率

定義：相同條件下，n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)為A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)和n的比值，即為A發(fā)生的頻率。

基本性質(zhì)：

$$0\le f\le 1$$

$$f_n(S)=1$$

Ai 為基本事件，（兩兩互不相容）
$$f_n(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_k)=f_n(A_1)+...+fn(A_k)$$

3.2 概率

定義：對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A）。

概率的滿足條件：

非負(fù)性
$$P(A)\ge 0$$

規(guī)范性（S為必然事件，其實(shí)也是樣本空間的所有元素）
$$P(S)=1$$

可列可加性（事件兩兩互不相容）
$$P(A_1\cup A_2\cup ...)=P(A_1)+P(A_2)+...$$

重要性質(zhì)

$$P(?)=0$$

有限可加性，其實(shí)就是可列可加性

$$\begin{gathered} 若A?B，則 \\ P(B?A)=P(B)?p(A) \\ P(B)\ge P(A) \end{gathered}$$

逆事件概率
$$P(\overline{A})=1?P(A)$$

加法公式
$$1=P(S)=P(A\cup \overline{A})=P（A）+P(\overline{B})$$

4. 等可能概型（古典概型）

特點(diǎn)

樣本空間內(nèi)元素?cái)?shù)量有限。

基本事件的可能性相同。

直觀、容易理解。

關(guān)于放回和不放回抽樣的問題，其實(shí)也很好理解，放回不會(huì)影響樣本空間的改變，所以對(duì)于相同事件每次抽樣概率不變；反之，不放回抽樣會(huì)改變樣本空間，概率改變。

超幾何分布

對(duì)于不放回抽樣的一種概率分布模型，書中的例子是：

有N件產(chǎn)品，其中D件次品，任取n件產(chǎn)品，求其中k件次品的概率。

$$p=C_D^k?C_{N?D}^{n?k}/C_N^n$$

這里沒有使用課本中的大圓括號(hào)（原因很簡單，哥們不會(huì)），這里的C是高中數(shù)學(xué)學(xué)的排列組合中的組合。

實(shí)際推斷原理

概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的。

5. 條件概率

5.1 條件概率

我對(duì)定義的理解就是事件B發(fā)生對(duì)事件A的發(fā)生了影響（可以為0，即無影響），在這種影響的情況下，A發(fā)生的概率。
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
條件概率也是概率，所以也滿足概率定義的三個(gè)條件。

5.2 乘法定理

設(shè)P(A) > 0
$$P(AB)=P(B|A)P(A)$$
可以拓展到多個(gè)事件的積事件
$$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$$

5.3 全概率公式和貝葉斯公式

樣本空間的劃分

S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1, B2, … , Bn 為 E的一組事件，若
$$\begin{gathered} (i)B_i{B}_j=?,i=j,i,j=1,2,...,n. \\ (ii)B_1\cup B_2\cup ...\cup B_n=S \end{gathered}$$
則稱Bi 為樣本空間的劃分。

全概率公式

根據(jù)Bi為 S的一個(gè)劃分，對(duì)于A為E的一個(gè)事件，有
$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$$

貝葉斯公式

$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}$$

貝葉斯公式在機(jī)器學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，我曾經(jīng)做過一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)的小demo，使用的對(duì)數(shù)據(jù)的分類方法正是基于貝葉斯的分類器，更多細(xì)節(jié)可以參考下列我當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)的兩個(gè)案例的blog

2.樸素貝葉斯分類算法(NBC)_zhouping118的博客-CSDN博客_nbc算法

樸素貝葉斯分類（NBC）的Python實(shí)現(xiàn)（離散）_weixin_42353399的博客-CSDN博客

6. 獨(dú)立性

前面在條件概率中提到的一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生可能會(huì)有影響，而獨(dú)立性就是指沒有這種影響。即
$$\begin{gathered} P(B|A)=P(B) \\ P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B) \end{gathered}$$
此時(shí) A，B 相互獨(dú)立。

同理，獨(dú)立也可以拓展到多個(gè)事件的情況。

定理

如果A和B相互獨(dú)立，則
$$\overline{A}與\overline{B}，A與\overline{B}，B與\overline{A}相互獨(dú)立$$

題目

在寫習(xí)題的時(shí)候（寫的比較少，就20題，后面的還沒寫）所以不能覆蓋所有的知識(shí)點(diǎn)，但是對(duì)于我自己還是有比較的針對(duì)性（自己太菜了），下面帶來這兩道題目。

1. 鉚釘題（繞圈）

第一章習(xí)題的第12題，這題是有50個(gè)鉚釘，隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件，每個(gè)部件用3個(gè)鉚釘，50個(gè)中有3個(gè)強(qiáng)度太弱，如果3只弱鉚釘都給一個(gè)部件，那這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱了。然后我們需要求發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率。

讀完上面的題目，整個(gè)人都有點(diǎn)被繞暈了，這題其實(shí)在例題中有原型古典概型那一節(jié)的例題3和4，只不過這個(gè)太能繞了，我第一次讀的時(shí)候直接懵了。

首先一個(gè)個(gè)分析：

50個(gè)中有3個(gè)太弱

10個(gè)部件

3個(gè)鉚釘都給一個(gè)部件，部件就太弱

求一個(gè)部件太弱的概率

重點(diǎn)是4，求的是一個(gè)部件太弱的概率，
$$
設(shè)A_i (1 \leq i \leq 10) 為 第i個(gè)部件太弱的事件\
P(A_i) = \frac{1}{C^3_{50}}

$$
而我們有10個(gè)部件

設(shè)發(fā)生一個(gè)部件太弱的事件為A, 有
$$P(A)=C_{10}^1?P(A_i)$$

2. 取球放球問題，條件概率

是第19題，主要是第二小問，計(jì)算量小大，別算錯(cuò)

兩個(gè)盒子，第一個(gè)5紅4白，第二個(gè)4紅5白，先從第一個(gè)取2個(gè)給第二個(gè)，然后從第二個(gè)取一個(gè)，求第二個(gè)取出白的概率

不繞，就是容易算錯(cuò)。

可以設(shè) Ai 為第一個(gè)取出白，i為白的數(shù)量，設(shè) B 為從第二個(gè)取出白。
$$P(B)=\sum _{i=0}^{2}P(B{A}_i)=\sum _{i=0}^{2}P(B|A_i)P(A_i)$$

別算錯(cuò)，別算錯(cuò)，別算錯(cuò)！！！

后話

{1}{C^3_{50}}

$$
而我們有10個(gè)部件

設(shè)發(fā)生一個(gè)部件太弱的事件為A, 有
$$P(A)=C_{10}^1?P(A_i)$$

2. 取球放球問題，條件概率

是第19題，主要是第二小問，計(jì)算量小大，別算錯(cuò)

兩個(gè)盒子，第一個(gè)5紅4白，第二個(gè)4紅5白，先從第一個(gè)取2個(gè)給第二個(gè)，然后從第二個(gè)取一個(gè)，求第二個(gè)取出白的概率

不繞，就是容易算錯(cuò)。

可以設(shè) Ai 為第一個(gè)取出白，i為白的數(shù)量，設(shè) B 為從第二個(gè)取出白。
$$P(B)=\sum _{i=0}^{2}P(B{A}_i)=\sum _{i=0}^{2}P(B|A_i)P(A_i)$$

別算錯(cuò)，別算錯(cuò)，別算錯(cuò)！！！

后話

不知道怎么回事，這幾天一直沒什么狀態(tài)，要remake了啊啊啊啊啊。
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率论的基本概念——《概率论与数理统计》第一章学习报告的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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