這是記錄麻省理工學院公開課：線性代數(shù)的筆記，網(wǎng)址是麻省理工公開課：線性代數(shù)
第一節(jié)課說的是有關方程組的幾何解釋。網(wǎng)址是方程組的幾何解釋

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首先是介紹方程組的幾何解釋，提出可以用矩陣表示，然后矩陣表示有兩種表達方式，分別是行圖像和列圖像。行圖像比較常見，比如兩條直線相交，而列圖像則比較少見。

兩個未知數(shù)兩個方程

然后老師舉例說明，首先是兩個方程組兩個未知數(shù)的例子，例子如下所示：

{?2x?y=0??x+3y=3

用行圖像表示如下所示：

[2?1?13][xy]=[03]

這里用A=[2?1?13],x = [xy],b=[03],可以得到Ax =b

這里表示的就是兩條直線，并且它們相交于點(1,2)。

如果是用列向量，則如下所示：

x[2?1]+y[?13]=[03]

對于這種寫法，老師稱之為列向量的線性組合，然后在二維坐標平面上表示了這兩個向量，而這個列向量的線性組合的解，其實在用行圖像表示的時候已經(jīng)得到了，就是x=1, y=2。

三個未知數(shù)三個方程組

接著老師給出了三個未知數(shù)的情況，舉例如下所示

????2x?y=0??x+2y?z=?1??3y+4z=4
使用行圖像表示， A = ???2?10?12?30?14???, b= ???0?14???,

使用列圖像表示是如下所示：

x???2?10???+y????12?3???+z???0?14???=???0?14???

如果通過行圖像來求解，需要通過在三維坐標軸上畫出3個平面求平面的交點，這是非常困難的。(這里老師也說了下一節(jié)課會介紹消元法來求解)。

而如果看列圖像，則可以輕松得到答案：x=0,y=0,z=1，當然這是老師特意設計的題目，所以才這么容易得到這個答案。

然后老師就問了一個問題：

對任意的b，都能令Ax = b有解嗎？
這個問題對于這個三個未知數(shù)的例子來說，等價于這個例子中的列向量的線性組合是否能覆蓋整個三維空間？

這里的答案當然是不能確定的，如果三個列向量都是在同一個平面上，那么得到的解也就只是在同一個平面的。

矩陣向量相乘的解法

最后老師介紹了矩陣與向量相乘的兩種解法，首先是一個例子

[2153][12]
兩種解法分別是按照行向量還是列向量來解答的。

第一種，如果是按照列向量解答，則可以寫成如下所示：

[2153][12]=1[21]+2[53]=[127]

第二種，就是按行來求解，如下所示：

[2153][12]=[2?1+5?21?1+3?2]=[127]
也就是第一個矩陣的第一行乘以第二個向量的對應列，然后第二行乘以第二個向量的對應列。

這種解法也是當初剛開始學習線性代數(shù)所學習的方法。

總結

這節(jié)課的收獲主要是了解到列向量這種求法，之前對于矩陣的求解，還是通過按行來相乘求解的。不過在這節(jié)課中的例子都是矩陣乘以向量得到一個向量，如果是矩陣之間的相乘，不知道是否還是可以如此解決。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[线性代数]Note 1--方程组的几何解释的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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