繼續是線性代數的學習筆記，第三節課乘法和逆矩陣

矩陣乘法

首先是對于矩陣相乘，如矩陣A和B相乘得到C，即A*B=C;那么如果要得到矩陣C的一個元素，如c34,其求解如下所示：

c34=a31?b14+a32?b24+…=∑k=1na3kbk4
這里的n是矩陣A的列數，也是矩陣B的行數，所以兩者要能相乘得到矩陣C，其要滿足矩陣A的大小是 m*n，而B的大小是 n*p，這樣得到的矩陣C的大小就是 m*p。

所以矩陣相乘的條件是：

• 如果不是方陣，第一個矩陣的列數要等于第二個矩陣的行數。

• 如果是方陣，則兩者必須大小相同。

  除了上述方法來進行矩陣相乘外，還是有其他方法的。第二種方法就是整列考慮，也就是變成矩陣乘以向量的方法，就是第一節中提到的方法。

  比如對于上述例子，矩陣A乘以矩陣B的第一列會得到矩陣C的第一列，以此類推，就可以得到一個完整的矩陣C，那么矩陣C的每一列都是矩陣A中列的線性組合。

  第三種方法就是根據行向量了，即A的每一行乘以矩陣B得到C對應的行，那么C中每一行就是B的行的線性組合。

  第四種方法就是使用A的一列乘以B的一行，同樣可以得到矩陣C。一個例子如下所示：

???234789???[1060]=???234???[16]+???789???[00]=???234121824???

第五種方法就是分塊方法。將矩陣A和矩陣B分別分成若干塊，每塊大小不需要一定相同，但是必須滿足矩陣相乘的條件。其分塊乘法規則就是相當于構建一個新的矩陣相乘。例子如下所示：將矩陣A、B都分成4塊，如下所示，

A=[A1A3A2A4]，B=[B1B3B2B4]
則矩陣A、B相乘得到的C為 [A1B1+A2B3A3B1+A4B2A1B2+A2B4A3B2+A4B4]

逆

接下來介紹逆矩陣的內容。令I表示單位矩陣，則若方陣A可逆，即有逆矩陣A?1，則有AA?1=A?1A=I成立，同時矩陣A被稱為可逆的，或者非奇異的矩陣。

這里要注意公式一定成立的前提是A必須是一個方陣。

奇異矩陣

首先介紹如何判斷奇異矩陣，也就是不可逆的矩陣。

對于一個矩陣A,如果可以找到一個非零向量X,使得AX=0成立，則矩陣A是不可逆的。

所以，假設有一個不可逆的矩陣A=[1236],可以找到一個非零向量X=[3?1]，使得AX=0。

可逆矩陣

對于一個可逆矩陣A，我們應該如何找到其逆矩陣A?1。這里將用到“Gaussian-Jordan”消元法。

假設有一個可逆矩陣A=[1237]，令其逆矩陣A?1=[abcd],因為AA?1=I=[1001],也就是有：

[1237][ab]=[10][1237][cd]=[01]

而利用“Gaussian-Jordan”消元法來解，有如下過程，其中使用到增廣矩陣的知識：

[12371001](row2=row2?2?row1)??>[10311?201](row1=row1?3?row2)??>[10017?2?31]

對于上述消元過程，首先第一步給出的矩陣[12371001],就是一個增廣矩陣，它用中間的一條豎線分為左右兩部分，左邊就是矩陣A，右邊部分就是單位矩陣I,然后首先是令第二行減去第一行乘以2后的結果，也就是中間部分的矩陣，此時矩陣A部分的第二行變成[0?1]了，然后就是讓第一行減去第二行乘以3的結果，得到最后一個矩陣，此時可以發現左邊就是一個單位矩陣I，而右邊就是我們需要的結果A?1，這里可以令AA?1來驗證是否等于單位矩陣，從而判斷得到的是否就是矩陣A的逆矩陣。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[线性代数]Note3--乘法和逆矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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