0 引　言

船舶在營運過程中可能產生有害振動并影響正常運營，此時需要對船體結構采取有效的減振措施，在結構上敷設阻尼是常用、高效的減振方法之一[。

要達到良好的減振效果，需要選取合適的阻尼材料和合理的敷設方式。粘彈性阻尼材料由于其性能參數受頻率和溫度影響較大，給敷設阻尼材料結構的動力學性能預測帶來了較大的困難。隨著對粘彈性阻尼研究的深入，各種粘彈性阻尼模型被提出，如復模量模型、分數導數模型、GHM模型等[，一些具有嚴格解析解的模型僅僅能夠處理幾何結構和邊界條件較為簡單的復合結構，難以運用到工程結構上。Johnson等[提出了模態應變能法，通過忽略結構剛度矩陣的虛部得到的實模態振型來代替結構的復模態振型，求出結構的應變能進而求得結構的模態損耗因子。常規的模態應變能法在求取損耗因子時忽略了阻尼的溫頻依賴特性，因此所得的損耗因子可能會有較大的偏差。由于溫頻等效原理可以將阻尼材料的溫度影響轉化為等效頻率的影響[，在計算中只需研究粘彈性材料的頻變效應。鄧年春等[提出了一種新的建立約束阻尼板的結構動力學計算模型的方法，描述了粘彈性材料隨頻率變化的特性。孫社營[利用模態應變能法并結合2次迭代的方式考慮了粘彈性材料的頻變特性對模態阻尼比的影響。這些方法雖考慮了材料溫頻特性影響，但是計算過程較復雜，工程適用性不強。

本文在模態應變能法的基礎上，結合有限元分析，推導出考慮粘彈性阻尼材料損耗因子和彈性模量頻變特性的模態損耗因子修正計算公式，并通過算例[進行驗證。在此基礎上，結合阻尼加筋板結構的模型試驗，利用模態疊加法計算獲得傳遞函數和隨機響應計算結果，并與試驗結果進行對比分析，驗證了該方法的工程適用性。

1 理論分析及修正公式推導1.1 模態應變能法基本原理

粘彈性自由阻尼結構的自由振動方程如下：

$M\ddot x + Kx = 0{\text{，}}$

(1)

由于結構中有粘彈性材料，因此其剛度矩陣K為復常數，即

$K = {K_R} + i{K_I}{\text{，}}$

(2)

${K_R}{\rm{ = }}{K_e} + {K_{vR}}{\text{，}}$

(3)

${K_I} = {\eta _v} \cdot {K_{vR}}{\text{。}}$

(4)

式中：${K_R}$、${K_I}$分別為復剛度矩陣的實部和虛部；${K_e}$為彈性層剛度矩陣；${K_{vR}}$為阻尼層剛度矩陣實部；${\eta _v}$為阻尼材料損耗因子。

假設式(1)的解形式為：

$X = {\phi ^{*(r)}}{e^{i\omega _r^*t}}{\text{，}}$

(5)

可以得到如下形式的復特征向量和復特征值[：

${\phi ^{*(r)}}{\rm{ = }}\phi _{^R}^{*(r)} + i\phi _I^{*(r)}{\text{，}}$

(6)

$\omega _r^* = {\omega _r}\sqrt {1 + i{\xi ^{(r)}}} {\text{。}}$

(7)

式中：${\phi ^{*(r)}}$為r階復特征向量；$\phi _{^R}^{*(r)}$，$\phi _I^{*(r)}$分別為其實部和虛部；$\omega _r^*$為r階復特征值；${\xi ^{(r)}}$為r階模態損耗因子。

結合式(1)、式(2)及式(5)、式(6)可以得到

$\omega _r^2{\rm{(}}1 + i{\xi ^{(r)}}{\rm{) = }}\frac{{{\phi ^{*(r)T}}{K_R}{\phi ^{*(r)}}}}{{{\phi ^{*(r)T}}M{\phi ^{*(r)}}}} + i\frac{{{\phi ^{*(r)T}}{K_I}{\phi ^{*(r)}}}}{{{\phi ^{*(r)T}}M{\phi ^{*(r)}}}}{\text{。}}$

(8)

由于粘彈性阻尼剛度較彈性層非常小，用

${K_R}$代替

$K$代入式(1)可以得到實模態振型

${\phi ^{(r)}}$并以此代替復模態振型，結合式(4)、式(8)可以得到

$ \begin{split} & {\xi ^{(r)}} = \frac{{{\phi ^{(r)T}}{K_I}{\phi ^{(r)}}}}{{{\phi ^{(r)T}}{K_R}{\phi ^{(r)}}}}{\rm{ = }}{\eta _v}\frac{{{\phi ^{(r)T}}{K_{vR}}{\phi ^{(r)}}}}{{{\phi ^{(r)T}}{K_R}{\phi ^{(r)}}}}{\rm{ = }}\\ & \quad \quad{\eta _v}\frac{{V_v^{(r)}}}{{{V^{(r)}}}}{\rm{ = }}{\eta _v}\frac{{V_v^{(r)}}}{{V_e^{(r)} + V_v^{(r)}}}{\rm{ = }}{\eta _v}{R^{(r)}}{\text{。}} \end{split} $

(9)

式中：${V^{(r)}}$為結構總體模態應變能；$V_e^{(r)}$，$V_v^{(r)}$分別為彈性層、粘彈性層模態應變能；${R^{(r)}}$為彈性應變能比，即

$V_v^{(r)}$與

${V^{(r)}}$之比。

1.2 考慮粘彈性阻尼頻變特性的模態損耗因子修正計算公式推導

在粘彈性阻尼結構中，由于粘彈性材料的彈性模量

${E_v} \ll {E_e}$，因此

${K_v} \ll {K_e}$，${E_v}$變化對整體剛度矩陣

$K$的影響非常小，因此假設粘彈性阻尼材料彈性模量變化時，結構的特征值

${\omega _r}$和特征向量

${\phi ^{(r)}}$不變，則式(9)中彈性層的模態應變能

$V_e^{(r)}$不變，粘彈性阻尼的模態應變

$V_v^{(r)}$能隨著阻尼彈性模量變化呈正比例變化。

若已求得在粘彈性阻尼彈性模量為

${E_{ref}}$時的第r階彈性應變能比為

$R_{_{ref}}^{(r)} = \frac{{V_{vref}^{(r)}}}{{V_{eref}^{(r)} + V_{vref}^{(r)}}}{\text{，}}$

(10)

則以該結果為基準并結合式(10)，在彈性模量為E時，其r階模態彈性應變能比為：

${R^{(r)}} = \frac{{V_v^{(r)}}}{{V_e^{(r)} + V_v^{(r)}}} = \frac{{\frac{E}{{{E_{ref}}}}V_{vref}^{(r)}}}{{V_{eref}^{(r)} + \frac{E}{{{E_{ref}}}}V_{vref}^{(r)}}} = \frac{{E'}}{{\frac{1}{{R_{ref}^{(r)}}} - 1 + E'}}{\text{。}}$

(11)

式中：$V_{vref}^{(r)}$為阻尼彈性模量為

${E_{ref}}$時的阻尼層r階模態應變能；$V_{eref}^{(r)}$為彈性層r階模態應變能；$E'$為粘彈性阻尼材料彈性模量E與基準彈性模量

${E_{ref}}$之比。

在結構模態應變能計算過程中，阻尼的損耗因子對模態應變能計算結果無影響，即粘彈性阻尼的頻變效應對式(9)中的彈性應變能比

${R^{(r)}}$無影響，僅改變材料損耗因子

${\eta _v}$，因此考慮粘彈性材料損耗因子的頻變效應時，式(9)可變為：

${\xi ^{(r)}}{\rm{ = }}{\eta _v}{R^{(r)}}{\rm{ = }}{\eta _v}({\omega _r}) \cdot {R^{(r)}}{\text{。}}$

(12)

結合式(11)、式(12)，可以得到同時考慮粘彈性阻尼損耗因子和彈性模量頻變效應的模態損耗因子的修正計算公式為：

$\xi _{{\omega _r}}^{^{(r)}} = {\eta _v}({\omega _r}) \cdot \frac{{E'({\omega _r})}}{{\frac{1}{{R_{_{ref}}^{(r)}}} - 1 + E'({\omega _r})}}{\text{。}}$

(13)

式中：$\xi _{{\omega _r}}^{^{(r)}}$為頻率

${\omega _r}$時的r階模態損耗因子；$E'({\omega _r})$為頻率

${\omega _r}$時粘彈性阻尼材料彈性模量

$E({\omega _r})$與基準彈性模量

${E_{ref}}$之比；${\eta _v}({\omega _r})$為頻率

${\omega _r}$時粘彈性材料損耗因子。

2 粘彈性阻尼壓筋板算例驗證

利用修正計算公式(13)計算阻尼結構的模態損耗因子時，取關注頻率范圍內阻尼彈性模量均值作為參考彈性模量

${E_{ref}}$，求出該彈性模量下各階模態下的彈性應變能比

$R_{ref}^{(r)}$，再根據模態頻率

${\omega _r}$求得對應的彈性模量

$E({\omega _r})$，代入式(13)求得結構模態損耗因子。

圖 1

采用修正公式計算模態損耗因子流程

Fig. 1

Calculating modal loss factor by correction formula

為了對修正公式(13)進行驗證，選取了文獻[3。對于粘彈性阻尼材料，其厚度為6 mm，在25 ℃時彈性模量E和損耗因子與頻率f的關系如下：

${\rm {Log}}E = 7.51 + \frac{{2.27{f^{0.79}}}}{{67.6 + {f^{0.79}}}}{\text{，}}$

(14)

${\rm {Log}}\eta = 0.23 - 0.1{\rm {Log}}f - 0.02\sqrt {1 + 25{{({\rm {Log}}f - 2.04)}^2}}{\text{。}} $

(15)

模型的彈性層用板單元進行模擬，阻尼層用體單元進行模擬，為了正確模擬彈性層和阻尼層的接觸情況，板單元節點位置向下偏置一半板厚，壓筋部分不進行阻尼處理。

圖 2

壓筋板有限元模擬方式

Fig. 2

Finite element simulation of ribbed plate

圖 3

壓筋板有限元模型

Fig. 3

Finite element model of ribbed plate

采用修正計算公式(13)，取阻尼基準彈性模量E=75 MPa進行模態損耗因子的計算，結果如

表 1(Tab. 1)

表 1 壓筋板模態損耗因子的計算與試驗對比

Tab. 1 Comparison of calculation and experimental modal loss factor

模態

文獻[

計算值

(修正前)

相對試驗值

的誤差

計算值

(修正后)

相對試驗值

的誤差/%

模態1

0.015 4

0.024 4

58.3

0.015 5

0.94

模態2

0.019 7

0.030 6

55.4

0.023 0

16.83

模態3

0.025 0

0.026 2

4.8%

0.023 7

?5.08

模態4

0.035 9

0.030 5

?15.2

0.037 8

5.42

模態5

0.034 1

0.028 6

?16.3

0.039 5

15.77

表 1 壓筋板模態損耗因子的計算與試驗對比

Tab.1 Comparison of calculation and experimental modal loss factor

3 考慮頻變的粘彈性阻尼加筋板隨機響應研究3.1 隨機響應簡介

完整的隨機響應由輸入隨機激勵、振動系統和輸出隨機響應組成。其中隨機激勵、隨機響應以功率譜密度的形式表示(PSD)。隨機系統的響應分析可分為2步：一是求取系統的傳遞函數；二是根據輸入激勵PSD譜，通過傳遞函數求取系統的隨機響應PSD譜。

圖 4

隨機響應示意圖

Fig. 4

Random response diagram

在工程中一般會關注每個1/3倍頻程的加速度有效值以及整個頻率范圍內的加速度有效值，2個加速度的定義分別如下：

${a_{1/3}} = \sqrt {\int_{{f_l}}^{{f_u}} {PSD{\rm d}f} } {\text{。}}$

(16)

${a_{mean}} = \sqrt {\sum {a_{1/3}^2} } {\text{。}}$

(17)

式中：PSD為隨機響應輸出加速度譜；fl和fu分別為1/3倍頻程加速度上限和下限；${a_{1/3}}$為1/3倍頻程加速度有效值；${a_{mean}}$為頻率段加速度有效值。

表 2(Tab. 2)

表 2 1/3倍頻程范圍

Tab. 2 Range of 1/3 octave

中心頻率/Hz

頻率下限/Hz

頻率上限/Hz

100

89.1

112

125

112

141

160

141

178

200

178

224

250

224

282

表 2 1/3倍頻程范圍

Tab.2 Range of 1/3 octave

3.2 粘彈性阻尼加筋板隨機響應試驗

試驗模型為某船雙層底內底加筋板結構，板厚為10 mm，設計尺寸為1000×1270 mm，沿短邊方向間隔390 mm設置了2根10號球扁鋼。因工裝設計要求，模型沿縱向、橫向向四周分別延伸200 mm，板的總尺寸相應變為1400 mm×1570 mm，骨材也相應延伸，如

圖 5

船舶加筋板試驗模型

Fig. 5

Model of ribbed plate in experiment

圖 6

試驗支撐基座

Fig. 6

Support base in experiment

加筋板模型鋼材為Q235鋼，敷設阻尼材料為丁基橡膠，厚度為20 mm，密度為1 700 kg/m3，泊松比為0.49，丁基橡膠的損耗因子和彈性模量的頻變特性如[。

圖 7

丁基橡膠頻變特性圖

Fig. 7

Frequency change characteristic of butyl rubber

試驗中采用單點激勵多點輸出的方式，并使用傳遞函數法進行數據分析。激振器的激振力通過安裝在激振桿和試件之間的力傳感器測得，激振信號為${a_{1/3}}$及整個頻率段加速度有效值

${a_{mean}}$。

圖 8

隨機激勵PSD譜

Fig. 8

Random incentive PSD spectrum

圖 9

試驗測點分布

Fig. 9

Test nodes distribution

3.3 粘彈性阻尼加筋板隨機響應計算

計算模型隨機響應時，首先采用模態應變能法并結合修正公式(13)計算得到模態損耗因子，然后利用模態疊加法求得結構的傳遞函數，最后根據激勵PSD譜

${S_{xx}}(\omega )$和傳遞函數

$H(\omega )$并結合式(18)獲得結構隨機響應計算結果

${S_{yy}}(\omega )$。本文采用的隨機響應計算流程如

圖 10

隨機響應計算流程

Fig. 10

Random response calculation process

${S_{yy}}(\omega ) = {\left| {H(\omega )} \right|^2}{S_{xx}}(\omega ){\text{。}}$

(18)

修正前后的各階模態頻率和模態損耗因子的計算結果如

表 3(Tab. 3)

表 3 阻尼加筋板模型的模態損耗因子計算值

Tab. 3 Calculation modal loss factor of the model

模態

頻率/Hz

模態損耗因子

修正前

修正后

模態1

156.84

0.0098

0.0089

模態2

167.50

0.0066

0.0060

模態3

230.20

0.0053

0.0054

模態4

339.07

0.0112

0.0125

表 3 阻尼加筋板模型的模態損耗因子計算值

Tab.3 Calculation modal loss factor of the model

計算得到模態損耗因子后，利用模態疊加法求解MCK方程以獲得結構的傳遞函數。根據式(2)～式(4)可知，剛度矩陣中含有阻尼剛度項，其阻尼彈性模量的頻變特性不僅對模態損耗因子有較大影響，而且對MCK方程的剛度項也會產生直接的影響，進而影響傳遞函數的求解，因此，需要研究彈性模量的變化對隨機響應計算結果的影響。常用粘彈性阻尼的彈性模量范圍一般為10～250 MPa，僅考慮阻尼彈性模量對剛度矩陣的影響，獲得一系列不同彈性模量取值下模型隨機響應計算結果，如

圖 11

加筋板加速度有效值隨阻尼彈性模量變化圖

Fig. 11

Acceleration RMS of stiffened plate with different damping elastic modulus

可以看出，粘彈性阻尼材料的彈性模量在常用范圍內變化時，在不考慮彈性模量對模態阻尼比影響時，彈性模量的變化對隨機響應計算結果影響較小。因此，在計算粘彈性阻尼結構隨機響應時，僅考慮阻尼彈性模量頻變效應對模態損耗因子的影響，忽略其與MCK方程剛度矩陣的耦合作用，即取阻尼材料的彈性模量為定值。

求得阻尼加筋板的傳遞函數后，根據輸入激勵PSD譜數據，進一步計算得到考慮粘彈性阻尼頻變效應的隨機響應結果，并與試驗結果進行對比如

表 4(Tab. 4)

表 4 阻尼加筋板模型的隨機響應計算值和試驗值對比

Tab. 4 Comparison of calculation and experiment results of damped stiffened plate model

加速度有效值/

mm·s?2

1/3倍頻程中心

頻率/Hz

node7

node8

node12

node13

試驗值

計算值

誤差/%

試驗值

計算值

誤差/%

試驗值

計算值

誤差/%

試驗值

計算值

誤差/%

a1/3

100

4.07

3.34

–17.9

4.90

3.98

–18.9

13.12

12.46

–5.0

28.73

29.34

2.1

125

10.06

11.97

19.1

17.70

20.47

15.7

59.21

52.94

–10.6

98.91

100.07

1.2

160

162.40

181.21

11.6

257.17

289.31

12.5

420.36

353.13

–16.0

578.38

526.08

–9.0

200

55.60

51.15

–8.0

52.60

48.17

–8.4

101.09

117.61

16.3

8.41

10.02

19.2

250

50.55

46.62

–7.8

25.19

30.22

20.0

120.13

115.13

–4.2

47.27

45.49

–3.8

amean

—

179.28

194.38

8.4

264.34

295.59

11.8

452.81

393.37

–13.1

595.35

547.50

–8.0

表 4 阻尼加筋板模型的隨機響應計算值和試驗值對比

Tab.4 Comparison of calculation and experiment results of damped stiffened plate model

圖 12

各測點頻率段加速度有效值amean

Fig. 12

Acceleration RMS amean of each node

圖 13

node7 1/3倍頻程加速度有效值a1/3

Fig. 13

Acceleration RMS a1/3 of node7

圖 14

node8 1/3倍頻程加速度有效值a1/3

Fig. 14

Acceleration RMS a1/3 of node8

圖 15

node12 1/3倍頻程加速度有效值a1/3

Fig. 15

Acceleration RMS a1/3 of node12

圖 16

node13 1/3倍頻程加速度有效值a1/3

Fig. 16

Acceleration RMS a1/3 of node13

由${a_{mean}}$誤差小于15%，在1/3倍頻程段的加速度有效值

${a_{1/3}}$誤差小于20%，能夠滿足工程精度要求。本文采用的隨機響應計算流程和方法具有工程實用價值。

4 結　語

本文推導出同時考慮粘彈性阻尼損耗因子和彈性模量頻變特性的模態損耗因子修正公式，并給出適用于粘彈性阻尼加筋板結構的隨機響應計算流程。通過對阻尼壓筋板模態損耗因子的算例驗證，以及船舶阻尼加筋板隨機響應的試驗和計算研究，得出以下結論：

1)利用修正公式計算所得阻尼壓筋板模態損耗因子與文獻[

2)在隨機響應計算中可忽略阻尼彈性模量頻變與MCK方程剛度矩陣的耦合作用，僅考慮其對模態損耗因子的影響。

3)采用基于修正模態阻尼損耗因子的隨機響應計算流程，可以獲得較好的數值計算結果，相關修正公式和計算方法可以為阻尼減振的工程應用提供參考。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的弹性法计算方法的mck法_粘弹性自由阻尼加筋板的随机响应分析和试验研究的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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