記錄來自《劍指offer》的算法題。

題目如下：

寫一個函數，輸入n，實現斐波那契數列的第n項。

斐波那契數列的定義如下：

f(n)=???01f(n?1)+f(n?2)n=0n=1n>1
教科書上通常在介紹遞歸的時候都會使用斐波那契數列作為例子，然后給出下列解法：

long long Fibonacci(unsigned int n){if(n<=0)return 0;if(n == 1)return 1;return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2); }

但這個算法在n的增大后會變得很慢，主要原因是重復的計算比較多，改進算法如下所示：

// 改進版本 long long FibonacciOptimz(unsigned int n){int result[2] = { 0, 1 };if (n < 2)return result[n];long long fibNMinusOne = 1;long long fibNMinusTwo = 0;long long fibN = 0;for (unsigned int i = 2; i <= n; i++){fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;fibNMinusTwo = fibNMinusOne;fibNMinusOne = fibN;}return fibN; } // 測試 int main(void){int n = 10;cout << "use Fibonacci(), n = " << n << ", result = " << Fibonacci(n) << endl;cout << "use FibonacciOptimz(), n = " << n << ", result = " << FibonacciOptimz(n) << endl;cout << "start to test:\n";int test[] = { 0, 1, 2, 3, 5, 10, 40, 50, 100 };for (int i = 0; i < 9; i++){int num = test[i];cout << "use FibonacciOptimz(), num = " << num << ", result = " << FibonacciOptimz(num) << endl;}system("pause");return 0; }

這種算法的時間復雜度是O(n)，它采用循環的方法，每次循環的時候都保存中間值，并用于下次的計算。

對于斐波那契數列的應用，還有如下問題：

一只青蛙一次可以跳上一級臺階，也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

這個問題也就是需要實現斐波那契數列?？紤]最簡單的情況，如果只有1級臺階，那顯然只有一種跳法；如果有2級臺階，則有兩種跳法，一次只跳1級和1次跳兩級臺階?，F在討論一般情況，將n級臺階時的跳法看成是n的函數，記為f(n)。當n>2時，第一次跳的時候有兩種選擇，一是第一次只跳1級，此時跳法數目等于后面剩下的n-1級臺階的跳法數目，即f(n?1)；另一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等于后面剩下的n-2級臺階的跳法數目，即為f(n?2)。因此n級臺階的不同跳法的總數f(n)=f(n?1)+f(n?2)，也就是斐波那契數列。

當然，如果上述問題的條件變成：青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級??它也可以跳上n級，問跳上n級臺階總共有多少種跳法。通過數學歸納法可以得到f(n)=2n?1。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的剑指offer--斐波那契数列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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