貝葉斯定理

貝葉斯定理是通過對觀測值概率分布的主觀判斷(即先驗概率)進行修正的定理，在概率論中具有重要地位。

先驗概率分布(邊緣概率)是指基于主觀判斷而非樣本分布的概率分布，后驗概率(條件概率)是根據樣本分布和未知參數的先驗概率分布求得的條件概率分布。

貝葉斯公式：

P(A∩B) = P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B)

變形得：

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

其中

P(A)是A的先驗概率或邊緣概率，稱作"先驗"是因為它不考慮B因素。

P(A|B)是已知B發生后A的條件概率，也稱作A的后驗概率。

P(B|A)是已知A發生后B的條件概率，也稱作B的后驗概率，這里稱作似然度。

P(B)是B的先驗概率或邊緣概率，這里稱作標準化常量。

P(B|A)/P(B)稱作標準似然度。

樸素貝葉斯分類(Naive Bayes)

樸素貝葉斯分類器在估計類條件概率時假設屬性之間條件獨立。

首先定義

x = {a1,a2,...}為一個樣本向量，a為一個特征屬性

div = {d1 = [l1,u1],...} 特征屬性的一個劃分

class = {y1,y2,...}樣本所屬的類別

算法流程：

(1) 通過樣本集中類別的分布，對每個類別計算先驗概率p(y[i])

(2) 計算每個類別下每個特征屬性劃分的頻率p(a[j] in d[k] | y[i])

(3) 計算每個樣本的p(x|y[i])

p(x|y[i]) = p(a[1] in d | y[i]) * p(a[2] in d | y[i]) * ...

樣本的所有特征屬性已知，所以特征屬性所屬的區間d已知。

可以通過(2)確定p(a[k] in d | y[i])的值，從而求得p(x|y[i])。

(4) 由貝葉斯定理得：

p(y[i]|x) = ( p(x|y[i]) * p(y[i]) ) / p(x)

因為分母相同，只需計算分子。

p(y[i]|x)是觀測樣本屬于分類y[i]的概率，找出最大概率對應的分類作為分類結果。

示例：

導入數據集

{a1 = 0, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 0, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 0, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 0, C = 0} {a1 = 0, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 0, C = 0} {a1 = 1, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 1, C = 0} {a1 = 1, a2 = 0, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 1, C = 0} {a1 = 1, a2 = 1, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 1, C = 0} {a1 = 1, a2 = 1, C = 1}

{a1 = 1, a2 = 1, C = 0} {a1 = 1, a2 = 1, C = 1}

計算類別的先驗概率

P(C = 0) = 0.5

P(C = 1) = 0.5

計算每個特征屬性條件概率：

P(a1 = 0 | C = 0) = 0.3

P(a1 = 1 | C = 0) = 0.7

P(a2 = 0 | C = 0) = 0.4

P(a2 = 1 | C = 0) = 0.6

P(a1 = 0 | C = 1) = 0.5

P(a1 = 1 | C = 1) = 0.5

P(a2 = 0 | C = 1) = 0.7

P(a2 = 1 | C = 1) = 0.3

測試樣本：

x = { a1 = 1, a2 = 2}

p(x | C = 0) = p(a1 = 1 | C = 0) * p( 2 = 2 | C = 0) = 0.3 * 0.6 = 0.18

p(x | C = 1) = p(a1 = 1 | C = 1) * p (a2 = 2 | C = 1) = 0.5 * 0.3 = 0.15

計算P(C | x) * p(x):

P(C = 0) * p(x | C = 1) = 0.5 * 0.18 = 0.09

P(C = 1) * p(x | C = 2) = 0.5 * 0.15 = 0.075

所以認為測試樣本屬于類型C1

Python實現

樸素貝葉斯分類器的訓練過程為計算(1),(2)中的概率表，應用過程為計算(3),(4)并尋找最大值。

還是使用原來的接口進行類封裝：

from numpy import *

class NaiveBayesClassifier(object):

def __init__(self):

self.dataMat = list()

self.labelMat = list()

self.pLabel1 = 0

self.p0Vec = list()

self.p1Vec = list()

def loadDataSet(self,filename):

fr = open(filename)

for line in fr.readlines():

lineArr = line.strip().split()

dataLine = list()

for i in lineArr:

dataLine.append(float(i))

label = dataLine.pop() # pop the last column referring to label

self.dataMat.append(dataLine)

self.labelMat.append(int(label))

def train(self):

dataNum = len(self.dataMat)

featureNum = len(self.dataMat[0])

self.pLabel1 = sum(self.labelMat)/float(dataNum)

p0Num = zeros(featureNum)

p1Num = zeros(featureNum)

p0Denom = 1.0

p1Denom = 1.0

for i in range(dataNum):

if self.labelMat[i] == 1:

p1Num += self.dataMat[i]

p1Denom += sum(self.dataMat[i])

else:

p0Num += self.dataMat[i]

p0Denom += sum(self.dataMat[i])

self.p0Vec = p0Num/p0Denom

self.p1Vec = p1Num/p1Denom

def classify(self, data):

p1 = reduce(lambda x, y: x * y, data * self.p1Vec) * self.pLabel1

p0 = reduce(lambda x, y: x * y, data * self.p0Vec) * (1.0 - self.pLabel1)

if p1 > p0:

return 1

else:

return 0

def test(self):

self.loadDataSet('testNB.txt')

self.train()

print(self.classify([1, 2]))

if __name__ == '__main__':

NB = NaiveBayesClassifier()

NB.test()

Matlab

Matlab的標準工具箱提供了對樸素貝葉斯分類器的支持：

trainData = [0 1; -1 0; 2 2; 3 3; -2 -1;-4.5 -4; 2 -1; -1 -3];

group = [1 1 -1 -1 1 1 -1 -1]';

model = fitcnb(trainData, group)

testData = [5 2;3 1;-4 -3];

predict(model, testData)

fitcnb用來訓練模型，predict用來預測。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的朴素贝叶斯分类器python_朴素贝叶斯分类器及Python实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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