在本系列的文章中已經寫了二叉樹(Binary Tree)、深搜（DFS）與廣搜（BFS）、哈希表（Hash Table）等等，計劃接下來要寫的是動態規劃（Dynamic Programming，DP），它算得上是最靈活的一種算法。回憶筆者學習動態規劃的時候，最開始接觸的是經典的 “01背包” 問題；不過現在想起來，以“01背包問題”作為初次接觸的動態規劃算法的問題_并不友好_；花費了不少時間才慢慢感悟到動態規劃算法的核心思想。

先前的文章中涉及了不少搜索算法，在搜索算法上融入動態規劃算法思想的 記憶化搜索（Memorize Search）不妨是一個不錯的_承前啟后_的選擇。相對于 “01背包”類問題，記憶化搜索 對初學者 理解 動態規劃 更友好，也能更好的感受到其魅力所在。

記憶化搜索，所謂 “記憶” 引用 Geeksforgeeks 網站上介紹記憶搜索原文中一句話就是 “to transform the results of a function into something to remember.” 把函數的結果存儲下來作為 “記憶”。將“記憶”應用于搜索算法上，也就是搜索到有記錄了函數結果的地方，其實就不需要再進行函數計算，直接返回 “記憶” 的結果即可。

記憶化搜索是一種自頂向下（Top-Down）分析的算法，文字描述過于懸浮于理論，保持本系列文風且用算法題來看下記憶化搜索算法具體的內容。

自頂向下（Top-Down）

LeetCode 329. 矩陣中的最長遞增路徑【困難】

給定一個 m x n 整數矩陣 matrix ，找出其中 最長遞增路徑 的長度。
對于每個單元格，你可以往上，下，左，右四個方向移動。 你 不能 在 對角線 方向上移動或移動到 邊界外。（即不允許環繞）。

• 直接順著題意進行分析，找到 “最長遞增路徑” 直接用搜索遍歷，把 matrix每個單元格的最長遞增路徑都計算下，返回其中最長的路徑。不妨就假設下有一個 search的函數能夠計算出 以當前單元格為起點的最長遞增路徑長度。遍歷過程中 的最大長度 存儲再 max 中，最后返回即可，代碼如下：

// 假設中的函數
public int search(int[][] matrix,int x,int y){
	int max;
	return max;
}

public int longestIncreasingPath(int[][] matrix) {

        int max = 0;
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) {
            	//（i，j）格的最長遞增路徑長度 
                max = Math.max(max,search(matrix,i,j));
            }
        }
        return max;
    }

• 問題開始關鍵點現在變成了 search 函數的實現；接著順著題意分析，可以往上，下，左，右四個方向移動.首先考慮一個方向情況，只往上方向移動且可以往上移動（上方相鄰的單元格大于當前單元格，遞增），那么此時 當前單元格的最大路徑長度就是 上方單元格的最大路徑 + 1，其中1代表當前單元格。

public int search(int[][] matrix,int x,int y){
    
	int number = matrix[x][y],up = 1;

	// 保障可以往“上”移動， x-1 沒有越邊界（ x > 0 ）
	// 且是 遞增的 matrix[x-1][y] > number
    if( x > 0 && matrix[x-1][y] > number ){

    	 // 遞歸調用，同類子問題，（x-1，y）格的最長遞增路徑長度 
         up += search( matrix, x-1, y );
    }

	return up;
}

• 如此，擴展到 四個方向，最終當前單元格最大路徑就是 四個方向中取最大的返回。

public int search(int[][] matrix,int x,int y){

        int number = matrix[x][y],up = 1,down =1,left=1,right=1;

        if(x>0 && matrix[x-1][y] > number){
            up += search(matrix,x-1,y);
        }
        if(x+1<matrix.length && matrix[x+1][y] > number){
            down += search(matrix,x+1,y);
        }
        if(y+1<matrix[0].length && matrix[x][y+1] > number){
            right += search(matrix,x,y+1);
        }
        if(y>0 && matrix[x][y-1] > number){
            left += search(matrix,x,y-1);
        }

        return Math.max(Math.max(up,down),Math.max(right,left));
}

• 實現到這里按照搜索思路的算法已經完成；不過會發現性能不高，分析過程會發現調用 search函數 時候，同樣一格位置會計算多次。此時聯系想想先前提到的 “記憶” ，把函數的結果存儲下來作為 “記憶”，也就是用 一個二維數組 cahce 緩存起來 已經計算過單元的結果。

  search 實現改為 (cache需要在 longestIncreasingPath 根據 matrx大小 new下，這里略) ，代碼如下：

public int[][] cache = null;

public int search(int[][] matrix,int x,int y){

        if(0 != cache[x][y])
            return cache[x][y];

        int number = matrix[x][y],up = 1,down =1,left=1,right=1;
        if(x>0 && matrix[x-1][y] > number){
            up += search(matrix,x-1,y);
        }
        if(x+1<matrix.length && matrix[x+1][y] > number){
            down += search(matrix,x+1,y);
        }
        if(y+1<matrix[0].length && matrix[x][y+1] > number){
            right += search(matrix,x,y+1);
        }
        if(y>0 && matrix[x][y-1] > number){
            left += search(matrix,x,y-1);
        }
        // 存儲 “記憶”
        cache[x][y] = Math.max(Math.max(up,down),Math.max(right,left));
        return cache[x][y];
}

• 到此，已經按照記憶化搜索算法思路完成了問題的解決。

回顧下記憶化搜索解題過程，我們是從算法問題出發 -> 分析需要完成的計算（子問題）-> 進一步進行解決。這其實就是 自頂向下（Top-Down）的思考方式。

記憶化搜索 與 動態規劃

再來看"記憶"，cache[x][y] 所記錄的是 x,y 這個單元格已經計算過的 最大路徑長度。當前單元格 的最大路徑長度使用上、下、左、右四個方向上的單元格 最大路徑長度 來進行計算 ,使用"記憶" 其實就是在使用子問題的最優解。

	
	current_max = Max( up+1, down+1, left+1, right+1 )

另外一個角度描述，規劃決策 當前單元格的最大路徑 是根據 （上、下、左、右）相鄰四個方向上的單元格最大路徑 進行的計算。相鄰四個方向上的最大路徑（子問題最優解） 并非一開始靜態寫入下來，而是在程序運行過程中至少計算一次存儲下來，可看作 動態的計算。根據動態計算子問題最優結果來進行規劃決策當前最優結果，也就是所謂 動態規劃（Dynamic Programming）的字面意思。

可以多體會下： 解決最優化問題，根據子問題的最優結果 規劃決策 -> 當前問題最優結果 -> 進而求解最初問題。

所以有一種說法就是：記憶化搜索 是 動態規劃 自頂向下（Top-Down）分析的一種實現形式，通常用遞歸來實現。

最后總結本文

1. 本系列文章中寫此篇 承前啟后的思考，記憶化搜索 的基本概念；
2. 通過一道題演示 自頂向下（Top-Down）的分析，實際應用記憶化搜索解決 具體算法問題；
3. 解讀 記憶化搜索 與 動態規劃 的關系，以及動態規劃一些概念；

下一篇咱們再一起繼續解讀 動態規劃（Dynamic Programming） ，歡迎關注 Java研究者專欄、博客、公眾號等

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法 | 记忆化搜索（Memorize Search）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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