SciPy的linalg模塊是SciPy庫中的一個(gè)子模塊，它提供了許多用于線性代數(shù)運(yùn)算的函數(shù)和工具，如矩陣求逆、特征值、行列式、線性方程組求解等。

相比于NumPy的linalg模塊，SciPy的linalg模塊包含更多的高級(jí)功能，并且在處理一些特定的數(shù)值計(jì)算問題時(shí)，可能會(huì)表現(xiàn)出更好的性能。

1. 主要功能

scipy.linalg模塊主要功能包括：

類別	主要函數(shù)	說明
基礎(chǔ)運(yùn)算	包含inv，slove等20多個(gè)函數(shù)	求解逆矩陣，線性方程等等
特征值問題	包含eig，eigvals等8個(gè)函數(shù)	求解各種類型矩陣的特征值
分解運(yùn)算	包含lu，svd等將近30個(gè)函數(shù)	矩陣的LU分解，奇異值分解等等
矩陣運(yùn)算	包含logm，sinm，cosm等10多個(gè)函數(shù)	計(jì)算矩陣的對(duì)數(shù)，指數(shù)，sin，cos等等
矩陣方程求解	包含solve_sylvester，solve_continuous_are等5個(gè)函數(shù)	計(jì)算西爾維斯特方程，CARE，DARE等代數(shù)方程
特殊矩陣運(yùn)算	包含blcok_diag，circulant等將近30個(gè)函數(shù)	創(chuàng)建塊對(duì)角矩陣，循環(huán)矩陣，相伴矩陣等等
其他	包含4個(gè)函數(shù)	BLAS，LSPACK等函數(shù)對(duì)象

Scipy庫的線性代數(shù)模塊包含將近100個(gè)各類函數(shù)，用于解決線性代數(shù)中的各類計(jì)算問題。

下面演示幾種通過scipy.linalg來進(jìn)行的常用計(jì)算。

2. 矩陣計(jì)算

提起線性代數(shù)，就不得不提矩陣運(yùn)算。

2.1. 特征值

矩陣的特征值和特征向量是矩陣?yán)碚撝械闹匾拍睿鼈兎謩e代表了矩陣對(duì)某些向量進(jìn)行變換時(shí)所具有的特定的拉伸和旋轉(zhuǎn)效果。

具體來說，對(duì)于一個(gè)給定的矩陣\(A\)，如果存在一個(gè)非零的向量\(v\)，使得\(Av\)是\(v\)的一個(gè)固定的倍數(shù)，
即\(Av = \lambda v\)，那么\(\lambda\)就是\(A\)的一個(gè)特征值，\(v\)就是對(duì)應(yīng)于特征值\(\lambda\)的特征向量。

特征值和特征向量在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，包括圖像處理、信號(hào)處理、數(shù)據(jù)壓縮、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。
它們?cè)谇蠼饩€性方程組、判定矩陣的穩(wěn)定性、計(jì)算矩陣的秩等數(shù)學(xué)問題中也有重要的應(yīng)用。

import numpy as np
import scipy.linalg as sla

A = np.random.rand(3, 3)
sla.eigvals(A)
# 運(yùn)行結(jié)果（返回特征值）
array([0.87067114+0.j, 0.25270355+0.j, 0.52811777+0.j])

sla.eig(A)
# 運(yùn)行結(jié)果（返回特征值和特征向量）
(array([0.87067114+0.j, 0.25270355+0.j, 0.52811777+0.j]),
 array([[-0.55290631, -0.88616977, -0.80241551],
        [-0.73988407,  0.44869198, -0.51813093],
        [-0.38323122,  0.11566608,  0.29609067]]))

eigvals函數(shù)返回的是特征值，eig函數(shù)返回的是特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。

2.2. 奇異值

特征值和特征向量是針對(duì)方陣的，也就是NxN的矩陣。
實(shí)際場(chǎng)景中，很多矩陣并不是方陣，為了了解這類矩陣，就要對(duì)其進(jìn)行奇異分解。

具體來說，對(duì)于一個(gè)m×n的矩陣A，奇異分解就是將其分解為三個(gè)矩陣的乘積：

1. 一個(gè)m×r的矩陣U
2. 一個(gè)r×r的對(duì)稱正定矩陣S
3. 以及一個(gè)r×n的矩陣V

其中r是由A的奇異值所決定的。A的奇異值就是S矩陣的對(duì)角線元素，也就是A的正特征值的非負(fù)平方根。
這些奇異值反映了矩陣A在一些方向上的拉伸或壓縮效果。

# 創(chuàng)建一個(gè) 4x3 的矩陣
A = np.random.rand(4, 3)

# 奇異分解，得到 U，S，V矩陣
U, S, V = sla.svd(A)
print("奇異值: {}".format(S))
# 運(yùn)行結(jié)果
奇異值: [1.6804974  0.67865812 0.3322078 ]

2.3. 逆矩陣

逆矩陣是指對(duì)于一個(gè)n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=E，
則稱方陣A是可逆的，并稱方陣B是A的逆矩陣。
其中E是單位矩陣。

逆矩陣的重要意義在于它可以表示為某個(gè)線性變換的逆變換，從而在逆變換的研究和應(yīng)用中起到關(guān)鍵作用。
此外，逆矩陣還與方程組的解、行列式的性質(zhì)等領(lǐng)域緊密相關(guān)。

A = np.random.rand(3, 3)

# 求解逆矩陣
sla.inv(A)

# 運(yùn)行結(jié)果：
array([[-1.41573129,  0.13168502,  1.5952333 ],
       [ 3.572943  , -1.02580488,  1.10932935],
       [-2.82777937,  2.10823192, -2.39404249]])

# 非方陣
A = np.random.rand(4, 3)

# 非方陣求解逆矩陣會(huì)拋出異常
sla.inv(A)
# 運(yùn)行結(jié)果：
ValueError: expected square matrix

Scipy庫用inv函數(shù)求解逆矩陣非常簡單，注意只有方陣能求解逆矩陣。

3. 線性方程組

其實(shí)求解線性方程組本質(zhì)也是矩陣運(yùn)算，比如下面的線性方程組：
\(\begin{cases} \begin{align*} 3x+2y-z \quad & = 1\\ -y+3z \quad & = -3 \\ 2x-2z \quad & =2 \end{align*} \end{cases}\)

求解方式轉(zhuǎn)換為系數(shù)矩陣和結(jié)果向量，然后求解：

# 創(chuàng)建一個(gè)系數(shù)矩陣  
A = np.array([[3, 2, -1], [0, -1, 3], [2, 0, -2]])  
  
# 創(chuàng)建一個(gè)結(jié)果向量  
b = np.array([1, -3, 2])  
  
# 使用solve函數(shù)求解線性方程組  
ret = sla.solve(A, b)  
  
# 輸出解向量  
print("Solution vector ret:", ret)
# 運(yùn)行結(jié)果：
Solution vector x: [ 0. -0. -1.]

4. 總結(jié)

本篇概要介紹了Scipy庫的linalg模塊，并演示了如何應(yīng)用在求解矩陣和線性方程組。

linalg模塊提供了非常豐富的各類函數(shù)，這里演示的幾個(gè)函數(shù)目的是為了展示其使用方法，
線性代數(shù)中的各類運(yùn)算幾乎都可以在此模塊中找到相應(yīng)的函數(shù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【scipy 基础】--线性代数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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