接著普林斯頓微積分讀本04第三章--極限導(dǎo)論繼續(xù)往下學(xué)習(xí)。在上一次主要是從概念的角度學(xué)習(xí)了極限，這次則是時候?qū)W習(xí)一下求解極限的一些技巧了。

x->a時的有理函數(shù)的極限：

對于x->a的有理函數(shù)的極限的樣式是這樣的：

其中p和q都是多項式，對于多項式的定義可能也忘得差不多了，借此回顧一下：

另外a是一個有限的數(shù)，另外要記住，兩個多項式之比p(x)/q(x)被稱作有理函數(shù)：

代入法：

對于這種有理函數(shù)的極限的求解，首先就是嘗試將a的值直接替換x，如果分母不為0，那么極限值就是你替換后所得到的值，舉個例子：

將x=-1代入到式子中就有：

很幸運(yùn)，分母不為0，-2就是極限值，簡單~~

但是有個細(xì)節(jié)需要提一下，對于x->-1和x=1完全是兩碼事，在上章中曾經(jīng)說過函數(shù)在極限點上的值是無關(guān)緊要的，比如我們舉例的這個，就是在x=-1處的值是無關(guān)緊要的，那你這種直接代入的方法求極限應(yīng)該會有問題吧？其它在下一章，學(xué)到連續(xù)性的概念后，它將證明這種“代入”法是沒有問題的。

不定式極限：

在上面代入法的例子中，提到了一個“很幸運(yùn)”，對立的肯定也有“不幸運(yùn)”的對吧，也就是用代入法之后，分母會為0，比如：

例一：

很明顯代入之后會變成：

(4 - 6 + 2) / (2 - 2) = 0 / 0，它被稱為不定式極限，注意這里的0并不是指整數(shù)0，而是代表趨于無窮小（趨于0）的極限形式。對于零比零的形式的極限，如下情況都有可能發(fā)生：極限或許是有限的、極限或許是∞或-∞、極限或許不存在。

對于零比零的形式的極限，通常可以用因式分解這一重要技巧來求解上例：

化簡之后，再將x=2代入到表達(dá)式（x-1）中，此時得到的結(jié)果為1，它也就是極限值。

這里會容易產(chǎn)生一個誤解：對于這兩個函數(shù)，它們是同一個么？

當(dāng)然是呀，因為可以化簡一下：

注意：不是喲，因為2不在函數(shù)f的定義域中，卻在函數(shù)g的定義域中，所以它們倆是不同的函數(shù)。

但是！！！如果求這些函數(shù)的極限就不一樣了，因為對于x=2處的值在求極限時是不關(guān)心的，極限只關(guān)心在x=2附近的值，所以這也是為啥在分母代入為0的情況下極限的解也存在的原因，一定要區(qū)分函數(shù)和極限的區(qū)別。

例二：

將3代入，其實也是0/0型，好，接下來做因式分解來避免分母為0，對于這個多項式你還記得咋因式分解不，這里得先復(fù)習(xí)一個立方差的公式：

所以分子可以分解成：

然后分母明顯有一個因子可以提出來，如下：

此時可以消去分子和分母的公因子(x - 3)，此時就可以用代入法了，如下：

(!=0)/0型的極限：

概述：

還有一種情況，就是分母是0，但是分子不是0， 那它的極限又是怎樣的呢？這里先將結(jié)論描述出來，之后再來用具體例子進(jìn)行鞏固理解：

在這種情況下，將總會牽扯到一條垂直漸近線，既有理函數(shù)的圖像在你感興趣的x值上會有一條垂直漸近線，而此時它的極限會有四種情況出現(xiàn)，如下，f是我們所關(guān)心的有理函數(shù)，而x=a處的極限情況如下：

那么問題來了，你如何知道你所處理的極限是屬于這四種情形中的哪一種呢？其實只需要查看f(x)在x = a兩邊的符號就可以了。比如：如果它在兩邊都是正的，那么你一定是在處理第二種情形：

實踐：

下面來舉兩個具體的例子：
例一：

還是按步驟來進(jìn)行求解：

1、將x=1代入式子，最終的結(jié)果是-5/0，此時不是0/0型，而是正是我們現(xiàn)在探討的這種情況對吧；

2、接下來就得確定它屬于上述四種情況哪一種對吧，就得觀察當(dāng)移動x到1的附近時會有什么情況發(fā)生，具體做法如下：

• 分子在正負(fù)先確定，直接代入1，為-5，所以是負(fù)的；
• 接下來就是需要來確定分母的正負(fù)性了，因子是x=1，它是大于0的，此時分母的正負(fù)性很明顯你不能直接代入1，而應(yīng)該是來研究左右無限逼迫x=1這個點再來看分母的正負(fù)性，好來看一下：x>1時，很明顯分子是大于0的，所以整個的結(jié)果的正負(fù)性為：
  
  再來換一個條件，當(dāng)x<1時，其正負(fù)性為：
  
  這里注意：

3、當(dāng)我們求出了x附近左右的正負(fù)性之后：當(dāng)x>1，f(x)是負(fù)的，當(dāng)x<1，f(x)是正的，此時就可以來對照上述四種情況進(jìn)行對應(yīng)了，很明顯屬于這種情況：

也就是此函數(shù)的極限是不存在雙側(cè)極限的，只有兩個單側(cè)極限，如下：

例二：

同樣的求解步驟：

1、由于當(dāng)1代入，它屬于"分子不為0/0"型；

2、分子是負(fù)數(shù)；

3、當(dāng)x>1時是負(fù)的：

而當(dāng)<1時，也是負(fù)的：

4、對照四種情況，可以得結(jié)果：

所以此函數(shù)的極限為：

當(dāng)然左右極限都是-∞。

x->a時的平方根的極限：

比如要求這個函數(shù)的極限：

好，先來按著目前所學(xué)的一些套路來求：

1、直接代入，你會發(fā)現(xiàn)可以得到0/0型的不定式；

2、因式分解法，可以將：

但，貌似起不了太大的作用，因為分子上還有一個-4存在。

3、“分子非0/0”型，貌似也不是；

你會發(fā)現(xiàn)，上面所學(xué)的三個套路，在這個求極限中已經(jīng)完全不好使了，此時要解此題，則需要再學(xué)另一個新的套路了，式子中你會發(fā)現(xiàn)有平方根：

遇到有這樣平方根的式子，此時可以乘以這個式子的共軛表達(dá)式，此時就需要學(xué)習(xí)一下共軛復(fù)數(shù)的概念了：

也就是對于式子a-b而言，它的共軛表達(dá)式則是a+b，所以同理：

它的共軛表達(dá)式為：

而做法就是讓分子和分母同時乘以這個式子，如：

擦勒，表面上貌似變得更復(fù)雜了，但是其實是往一個好方面在轉(zhuǎn)變，因為：

所以我們可以將分子進(jìn)行一下變形為：

它等于：

既：

所以此時的式子就可以變?yōu)?#xff1a;

而分子又可以分解為(x - 5)(x + 5)，此時就有公因子可以消去了，具體如下：

此時將x=5再代入就可以得到結(jié)果10/8，既5/4。

總結(jié)：

對于這種情況的求解總結(jié)一下就是：如果你碰到一個平方根加上或減去另一個量，就可以試著把分子和分母同時乘以其共軛表達(dá)式，驚喜也許就會出現(xiàn)！！！

x->∞時的有理函數(shù)的極限：

概述：

在前面我們學(xué)習(xí)了x->a時的有理函數(shù)的極限了對吧，接下來則來討論x->∞求有理函數(shù)的極限，也就是：

其中p和q是多項式，對于多項式，有這么一個非常重要的性質(zhì)：

當(dāng)x很大時，首項決定一切【注意：首項并不是指第一項，而是指次數(shù)最高的那一項】。也就是說，如果你有一個多項式p，那么當(dāng)x越來越大時，p(x)的表現(xiàn)就好像只有它的首項存在一樣。

比如這么一個多項式：

其中設(shè)首項為：

當(dāng)x變得非常非常大時，p(x)和pL(x)會非常接近，也就是這個極限會為1：

這里來看一下它想要表達(dá)的意義，這里用到的是極限的方式來表達(dá)這個等式，那如果不用極限符號呢，則是這樣子：

如果沒有極限符號，這就意味p(x)=pL(x)，很明顯這不是真的，只是越來越趨于真的，那么用極限符號來表達(dá)是最為合適的。

那如果寫成下面這種式子可以么？

貌似是真的，但是由于兩邊x都是趨于∞，很明顯這種式子是毫無意義的，所以還得用其比接近于1來表達(dá)p(x)和pL(x)非常接近比較適合，也就是隨著x越來越大，其比趨于1，而不是等于1。

理解：

為啥當(dāng)x->∞大時，式子只跟首項差不多大，而不是其它項中的一項呢？下面以一個實際大的x值來進(jìn)行檢驗?zāi)憔湍苤罏樯妒鞘醉椓恕?/p>

還是拿這個多項式來進(jìn)行舉例：

1、x=100：可以看到3x^3=三百萬，10000(x^2)=一千萬，5x=500，所有值加起來，可以看到p(100)大概是負(fù)七百萬，你會發(fā)現(xiàn)，它跟pL(100)首項的三百萬完全不同對吧，不要灰心，因為此時的x值還不夠大。

2、x = 1 000 000，可以看到3x^3會變得非常之大，它是三百萬萬億，10000(x^2)=一千萬億，5x=五百萬，而最后的-7此時就可以忽略不計了，此時再來計算p(100)，你會發(fā)現(xiàn)結(jié)果還是接近于三百萬萬億，它不就是pL(1 000 000)的值么？

經(jīng)過上面這個具體值的代入來看，當(dāng)x變大時，最高次數(shù)項比其它項要增長得更快，這也就是為啥當(dāng)x->∞時跟首項一樣的原因。

證明：

接下來咱們來看一下真正的數(shù)學(xué)證明，也就是要證：

還是以這個多項式為例：

就有：

進(jìn)一步進(jìn)行簡化：

而對于這個式子，根據(jù)“在所有極限都是有限的時候，和的極限等于極限的和”，所以我們可以將這個式子拆開來求四個極限，最后再把四個極限加起來得到最終的極限結(jié)果。

那么下面分別求出這四個極限：

1、第一個是1，所以不管x是什么，它總是1；

2、

求這個式子的訣竅就是將因子提出來，就可以變成：

由于-1000/3是常數(shù)，不管x是什么，它都不會改變，所以此時可以將它提到極限符號之外，變?yōu)?#xff1a;

此時的關(guān)鍵就是求：

對極限有了解的一看它就是0，因為非常大的倒數(shù)是一個非常小的數(shù)，也就是當(dāng)x->∞，它接近于0，所以最終此極限為0：

根據(jù)這個，接下來先來拋出一個定理【重要！！！】：

對于任意的n>0，只要C是常數(shù)，就有：

基于這個定理，剩下的兩個極限都不用求了，一看都是0，所以完整的論證為：

這樣：

就得到論證了，這個方法適用于任意的多項式喲~~

實踐：

方法：

接下來舉幾個例子加以鞏固，在正式解題之前，先來對方法思想進(jìn)行一個闡述，因為它是解題的思路：

當(dāng)看到某個關(guān)于p的多項式p(x)是多于一項時，把它代以：

對于每一個多項式都這樣做，這里的要點是當(dāng)x->∞時，以上表達(dá)式中的分式的極限是1，也就是：

并且首項比原來的表達(dá)式要簡單很多。可能這塊的思想有點模糊，下面以具體例子來理解一下。

例一：

分子和分母都是多項式，所以下面來看如何用上面的思想來求解。?

1、對于分子，它的首項是：

所以，對于該多項式就可以按這種來進(jìn)行變換：

為：

2、同樣的，對于分母的首項是：

所以可以代以：

3、做完分子和分母的替換之后，式子就可以變?yōu)?#xff1a;

4、此時可以求出這些分式的極限都是1：

至于為啥，下面來化簡一下就知道了：

根據(jù)前面的這個定理：

很明顯這些項都是0：

所以這么復(fù)雜的式子，經(jīng)過：

這樣的變換之后，最終只留下這么精簡的式子了：

最終該極限就為：

有木有感受到這種變化的魅力？下面再來看一個例子。

例二：

1、這里有四個多項式，找出首項，很明顯是：

2、每個多項式使用此大法：

3、萃取出各首項：

4、進(jìn)一步進(jìn)行化簡，完整求解如下：

例三：

這里直接給出整個求解過程：

總結(jié)：

在上面舉的三個例子而言，其實是比較有代表性的，這塊有規(guī)律可以總結(jié)：

1、第一個例子的分子和分母次數(shù)都是4，得到的極限有可能是有限的且非零（得到答案-8/7）；

2、第二個例子的分子的次數(shù)是4，分子的次數(shù)是4和5的多項式的乘積，會得到一個次數(shù)為9的多項式，而分母是次數(shù)為7和1的多項式的乘積，因此它的總次數(shù)是8次，也就是分子的次數(shù)大于分母，得到的極限有可能是無限的（得到答案-∞）；

3、第三個例子分母的次數(shù)為2，大于分子的次數(shù)為1，其結(jié)果為0；

好，接下來就可以有一個通用的總結(jié)了，對于這樣的極限：

其中p和q為多項式，我們可以說：

(1)、如果p的次數(shù)等于q的次數(shù)，則極限是有限的且非零；【如例一】

(2)、如果p的次數(shù)大于q的次數(shù)，則極限是∞或-∞；【如例二】

(3)、如果p的次數(shù)小于q的次數(shù)，則極限是0；【如例三】

同樣的，對于：

也滿足這樣的結(jié)論。

不過，對于這些結(jié)論，在解題時其實不用記它，重點是知道:

大法。

x->∞時的多項式型函數(shù)的極限：

概述：

在上面我們已經(jīng)學(xué)會求解有理函數(shù)多項式的極限了對吧，下面再來看如下三個函數(shù)：

這些其實都不是多項式了，因為它們含有分?jǐn)?shù)次數(shù)或n次根，關(guān)于這塊，特意問了一下度娘，確實多項式的次數(shù)只能是自然數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)：

但是！！！它們其實看起來有點像是多項式，所以對于這些函數(shù)，我們稱之為“多項式型函數(shù)”，其上面學(xué)習(xí)的有理函數(shù)的求解方法同樣也適用于多項式型函數(shù)。

所以對于這三種類型的函數(shù)，其求解思路跟上面所學(xué)的有理函數(shù)的求解方法一樣，只是說對于多項式型函數(shù)的首項不是那么清晰，下面以實際例子來看一下求解過程。

實踐：

例一：

1、確認(rèn)首項：分母的首項很好確認(rèn)，它是2(x^2)；而分子的首項就不太好確定了， 其實按如下步驟你也很好的可以對帶根號的這種式子來確定首項，先確認(rèn)平方根下的式子的首項，很明顯是：

而它開根號之后，其實就是4(x^2)對吧，此時對于分子你就可以簡單理解為4(x^2) + 3x，所以分子的首項是4(x^2)。

2、進(jìn)行如下大法：

也就是：

3、對分子進(jìn)行化簡：

對于分子的這個式子的化簡：

其實方法就是將4(x^2)拖進(jìn)平方根符號里面，如下：

進(jìn)一步化簡就為：

而由于x->∞，有前面的一個定理：

所以最終就為：

4、對分母進(jìn)行化簡：

而對于分母的化簡就比較簡單了，這里直接將整個求解的過程展現(xiàn)出來，比較好理解：

是不是針對這種“多項式型函數(shù)”的極限求解方法跟有理數(shù)函數(shù)的求解方法是一樣的？

例二：

同樣的步驟進(jìn)行求解：

1、確定首項，很明顯分子的首項是3(x^3)，分母是2(x^2)。

2、接下來的就直接把整個過程展示出來的，其套路是一模一樣的：

這個例子對于分母的首項是由它后面的3(x^3)，因為它的次數(shù)是3，比2(x^2)要大，那如果后面的次數(shù)跟根號中的首項的次數(shù)一樣呢？下面看一下這種情況的例子。

例三：

1、確認(rèn)分子的首項，你會發(fā)現(xiàn)根號的那個首項2(x^3)，然后跟后面一減，貌似沒有分子了。。所以這里可以使用在上面所學(xué)的共軛表達(dá)式方式讓分子和分母都乘以分子的共軛表達(dá)式來避免這樣的尷尬【有木有感受到，求極限就是當(dāng)你發(fā)現(xiàn)問題時，用其它的一些已知的定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換來避免這些問題，再進(jìn)一步進(jìn)行極限的求解】：

根據(jù)：

可以將上式子又轉(zhuǎn)換為：

進(jìn)一步把分子化簡就為：

2、確認(rèn)分母的首項，然后進(jìn)行化簡：

對于分母其實是由兩個式子來決定的：

先來確定前面的根號式子，比較簡單，它的首項是3(x^2)，為了方便根號化簡，這里可以化為：

也就是：

而當(dāng)x->∞時，立方根的那部分就為1。

接下來再來處理右邊的這個式子：

根號的首項是2(x^3)，再加上后面的，也就是整個的首項就是4(x^3)，于是就可以分子和分母都乘以它：

然后將4(x^3)拖到平方根中進(jìn)行進(jìn)一步化簡就為：

當(dāng)x->∞時，最終就可以化為：

3、最后求解整個串起來，先是分子乘以了共軛表達(dá)式就化簡為：

然后進(jìn)一步就可以化為：

將首項都提出來就有：

而由于：

最后其實就只剩它了：

最后該式子的極限就是-5/12，這個函數(shù)的求解相對而言要麻煩很多，但是萬變不離其宗，其采用的套路基本上都是那些，需要有一定的耐心。

x->-∞時的有理函數(shù)的極限：

概述：

在前面咱們已經(jīng)學(xué)過了x->∞時有理函數(shù)的極限的求解了，接下來重點關(guān)注一下負(fù)無窮的情況，也就是：

其中p和q是多項式或者多項式型函數(shù)， 而我們之前所學(xué)的原理在這里同樣適用：當(dāng)x是一個非常大的負(fù)數(shù)時，在任意和中，其最高次數(shù)項仍然會占主導(dǎo)；另外當(dāng)x->-∞時，只要C是常數(shù)，且n是一個正整數(shù)，C/(x^n)仍然趨于0，下面以之前在有理函數(shù)中舉過的例子看一下。

實踐：

例一：

對于這個例子的求解跟x->∞是一模一樣的，這里直接分子和分母乘以首項既可，這里就不一步步求了，之前在x->∞已經(jīng)詳細(xì)說明過，直接給出整個求解的過程：

是不是它的解跟之前的無窮大的是一樣的？

例二：

這個解題步驟也跟之前的差不多，不過，最終的結(jié)果有些差別，整個過程如下：

而對比一下之前的剛好是相反的結(jié)果：

例三：

?這個例子需要說明一個問題，就是對于x->-∞：

因為x是負(fù)數(shù)了，所以對于這個式子的分母首項比較容易確定，是2(x^3)，但是對于分子的首項是它對吧：

由于x是負(fù)的，所以它化簡注意負(fù)號，應(yīng)該為：

就注意這個小細(xì)節(jié)既可，整個求解過程如下：

類似地，在x為負(fù)數(shù)時，如果在處理四次方根、六次方根等偶數(shù)次方根時，都需要小心負(fù)號，比如：

但是如果是奇數(shù)次方根時，則有：

另外當(dāng)x<0，還有：

因為x^2是不可能為負(fù)的，根號下x^4也不可能為負(fù)。

總結(jié)：

關(guān)于這種場景的極限求解就是注意一下小細(xì)節(jié)，就是關(guān)于符號，總結(jié)如下：

包含絕對值的函數(shù)的極限：

有時候會面臨求解包含絕對值函數(shù)的極限，比如：

如何求解呢，這里設(shè)：

很明顯0不可能在函數(shù)f的定義域中，因為分母不能為0，接下來分兩種情況來看一下：

1、x>0時，f(x) = 1；

2、x<0時，f(x) = -1；

具體圖像為：

所以很明顯左右極限的情況為：

由于左右極限不相等，所以雙側(cè)極限不存在：

所以對于絕對值函數(shù)的極限求法也就是這樣求的。

下面再來看一個例子：

很明顯這個絕對值主要取決于x+2>0還是x+2<0。

1、x+2>0時，|x + 2| = x + 2；

2、x+2<0時，|x + 2| = -(x + 2)；

所以當(dāng)x>-2時，|x + 2| / (x + 2) = 1；而當(dāng)x< -2時，它則是-1。事實上y =?|x + 2| / (x + 2)的圖像就是y = |x| / x的圖像向左平移兩個單位得到的，如下：

也就是此雙側(cè)極限也不存在，因為左右權(quán)限不相等。

總結(jié)：

至此，這章已經(jīng)學(xué)完了，總體來說就是學(xué)一些求解極限的套路，當(dāng)個備忘吧，不可能記得住，下一章準(zhǔn)備學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性，加油！！！?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本05第四章--求解多项式的极限问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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