求第k小元素

題目內容：

給定一個線性序列集，要求使用分治法求出其中指定的第 $K$ 小的數的值和位置，如給定 $n$ 個元素和一個整數 $i$，$1\le i\le n$，輸出這 $n$ 個元素中第 $i$ 小元素的值及其位置。

一、問題分析（模型、算法設計和正確性證明等）

解決第K小問題有如下幾種方法

①將n個數排序(比如快速排序或歸并排序)，選取排序后的第k個數，時間復雜度為$O(nlogn)$。

②維護一個k個元素的最大堆，存儲當前遇到的最小的k個數，時間復雜度為$O(nlogk)$。這種方法同樣適用于海量數據的處理。

③部分的快速排序（快速選擇算法），每次劃分之后判斷第k個數在左右哪個部分，然后遞歸對應的部分，平均時間復雜度為$$O(n)$$。但最壞情況下復雜度為$O(n^2)$。

④線性時間選擇算法，修改快速選擇算法的主元選取規則，使用中位數的中位數的作為主元，最壞情況下時間復雜度為$O(n)$。

? 實驗要求使用分治策略，所以可以使用歸并排序、快速排序、以及線性時間選擇算法，我選擇的是線性時間選擇算法，本質上是快速排序的升級版，算法的思想是修改快速選擇算法的主元選取方法，提高算法在最壞情況下的時間復雜度。

? 算法的思路是：

首先把數組按5個數為一組進行分組，最后不足5個的忽略。對每組數進行排序（如插入排序）求取其中位數。

把上一步的所有中位數移到數組的前面，對這些中位數遞歸調用線性時間選擇算法求得他們的中位數。

將上一步得到的中位數作為劃分的主元進行整個數組的劃分。

判斷第k個數在劃分結果的左邊、右邊還是恰好是劃分結果本身，前兩者遞歸處理，后者直接返回答案。

二、復雜度分析

? 當$n<75$時，時間復雜度很低，近似于常數, n大于75時，劃分時以5個元素為一組求取中位數，共得到n/5個中位數，再遞歸求取中位數，復雜度為T(n/5)，剩余要處理的最大規模變為$3n/4$，加上多次線性掃描，其時間復雜度為$C_{2}n$，所以可以得到遞推式：

$\begin{array}{rl}T(n)& \le \{\begin{array}{ll}{C}_1& n<75\\ C_{2}n+T(n/5)+T(3n/4)& n\ge 75\end{array}\\ \therefore T(n)=O(n)& \end{array}$

三、程序實現和測試過程和結果（主要描述出現的問題和解決方法）

偽代碼：

public static int DAC_Linear_Select(int a[], int l, int r, int key) {if(a.length <= 5): //當長度小于5時，直接使用冒泡排序，返回查找到的值bubbleSort(a,l,r);return a[key-1];int index=l-1; //定義中位數替換下標for(int star=l,end; (end=star+4)<=r; st+=5){bubbleSort(a,star,end);//每五個數排序swap(a,++t,star+2); //將中位數替換到數組前面，便于遞歸求取中位數的中位數}int pivot=DAC_Linear_Select(a, l, l+(r-l-4)/5, (l+(r+l-4)/5-l+1)/2);int i = partition(a, l, r, pivotId), j = i-l+1;if(key==j) return a[j]; //相等則直接返回else if(key<j) return DAC_Linear_Select(a,l,j-1,key); //小于則向左遞歸else return DAC_Linear_Select(a, j+1,r,key-j) //大于則向右遞歸 }

java代碼：

package root;/*** @author 宇智波Akali* 這是線性時間選擇算法(BFPRT算法)解決前k小問題程序* @version2.0*/ public class T3_DAC_Liner_SelectN {public static void swap(int a[], int i,int j){int temp=a[j];a[j] = a[i];a[i] = temp;}//冒泡排序public static void bubbleSort(int a[], int l, int r){for(int i=l; i<r; i++){for(int j=i+1; j<=r; j++){if(a[j]<a[i])swap(a,i,j);}}}//遞歸尋找中位數的中位數public static int FindMid(int a[], int l, int r){if(l == r) return l;int i = 0;int n = 0;for(i = l; i < r - 5; i += 5){bubbleSort(a, i, i + 4);n = i - l;swap(a,l+n/5, i+2);}//處理剩余元素int num = r - i + 1;if(num > 0){bubbleSort(a, i, i + num - 1);n = i - l;swap(a,l+n/5, i+num/2);}n /= 5;if(n == l) return l;return FindMid(a, l, l + n);}//進行劃分過程public static int Partion(int a[], int l, int r, int p){swap(a,p, l);int i = l;int j = r;int pivot = a[l];while(i < j){while(a[j] >= pivot && i < j)j--;a[i] = a[j];while(a[i] <= pivot && i < j)i++;a[j] = a[i];}a[i] = pivot;return i;}public static int Select(int a[], int l, int r, int k){int p = FindMid(a, l, r); //尋找中位數的中位數int i = Partion(a, l, r, p);int m = i - l + 1;if(m == k) return a[i];if(m > k) return Select(a, l, i - 1, k);return Select(a, i + 1, r, k - m);}public static void main(String[] args) {int a[]= {3,0,7,6,5,9,8,2,1,4,13,11,17,16,15,19,18,12,10,14,23,21,27,26,25,29,28,22,20,24,33,31,37,36,35,39,38,32,30,34,43,41,47,46,45,49,48,42,40,44,53,51,57,56,55,59,58,52,50,54,63,61,67,66,65,69,68,62,60,64,73,71,77,76,75,79,78,72,70,74};for(int i = 0; i < 80; i++){System.out.println("第"+(i+1)+"小數為： "+Select(a, 0, 79, i+1));}} }

? 算法的思路倒是容易理解，但是把算法轉換為代碼就有太多細節要處理，不同編程語言之間也有差異，一開始用Java寫的，結果因為參數傳遞的機制沒注意，數組值交換有bug,java中定義swap(a[],i,j),要把數組也傳進去。

運行結果：

我輸入的數組為10個隨機數，循環輸出低k小數，結果如下：

為了確保正確性，我又測試了長度為80的0-79的亂序數組，結果也正確。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法题04：分治法：求第K小元素（线性时间选择算法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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