文章目錄

• 空間域濾波
• • 空間域濾波基礎
  • 灰度變換
  • 直方圖
  • 空間濾波器簡介
  • 平滑空間濾波器
  • 銳化空間濾波器
• 頻率域濾波
• • 傅里葉變換
  • 采樣定理
  • 頻率域濾波基礎
• 圖像復原與重建
• • 圖像退化/復原模型
  • 逆濾波
  • 最小均方誤差濾波（維納濾波）
  • 約束最小二乘方濾波
• 圖像壓縮
• • 圖像壓縮基礎
  • 基本壓縮方法

CSU數字圖像處理考試前總結復習

空間域濾波

空間域濾波基礎

• 空間域：空間域指圖像平面本身，這類方法直接操作圖像中的像素，這是相對于變換域的圖像處理而言的。
• 灰度變換與空間域濾波：灰度變換對圖像中的單個像素進行操作，主要以對比度和閾值處理為主。空間濾波涉及改善性能的操作。嚴格上來講，灰度變換是空間域濾波的特例。
• 圖像的增強結果沒有通用的理論，觀察者是好壞的裁判員。

灰度變換

• 圖像反轉：灰度級范圍為$[0,L?1]$，從r到s的映射為以下形式。
  $$s=L?1?r$$
• 對數變換：對數函數的一般現狀的任何曲線，都能完成圖像灰度級的擴展和壓縮，同樣冪律變換也有同樣的效果。對數函數有個重要特征，即它壓縮像素值變化較大的圖像的動態范圍。
  $$s=clog(1+r)$$
• 冪律（伽馬）變換：伽馬變換在用于校正冪律響應現象的處理稱為伽馬校正，冪律變換也可用于通用的對比度操作。當γ大于1時，圖像原本偏亮的地方對比度增大，圖像整體變暗；當γ小于1時，圖像原本偏暗的地方對比度增大，圖像整體變亮。
  $$s=c{r}^{\gamma }$$
• 分段線性變換函數：對于前面三種方法的一種補充方法是采用分段線性函數，其形式可以任意復雜。

  • 對比度拉伸：對感興趣的范圍變換到較大的灰度級范圍，使得該區域圖像對比度增大，便于觀察。
    

  • 灰度級分層：為了突出感興趣的灰度范圍，可以增強某些特征，通過采用灰度級分層的操作：譬如將感興趣范圍的所有灰度值顯示為一個值（如白色），而將其他灰度值顯示為另一個值（如黑色）。或者使感興趣的灰度范圍變亮或者變暗，而保持其他灰度級不變。
    

  • 比特平面分層：以灰度級為八比特0-255為例，在不考慮壓縮的情況下，每個像素點使用八位比特存儲，其中實際上每一位比特的效果和作用各不相同。很明顯，4個高比特平面特別是最后兩個比特平面包含了在視覺上很重要的大多數數據，低比特平面貢獻了更加精細的灰度細節。將所有平面疊加起來又恢復成原來的圖像。
    

直方圖

• 直方圖均衡化：當圖像的灰度級概率分布越均勻時，圖像對比度越大，通過將圖像的直方圖進行均衡化，可以使得圖像的直方圖向著均勻分布靠攏，從而提高圖像的對比度。這里對圖像的變換函數存在一定的要求為：變換函數為單調增函數，并且變換前后灰度級范圍不發生改變，在涉及反變換的情況下，要求變換函數為嚴格單調遞增函數。直方圖均衡化的公式如下所示。
  ??實際上從連續或者離散的公式形式可以看出，系數L-1和歸一化權重將使得變換滿足灰度級別范圍的約束，并且從概率分布和累計概率可以知道，如果在某個灰度級別范圍內的像素點數目很多，那么它們實際上變換后的灰度級就會分得越開，可以從這里來直觀理解直方圖均衡化的效果。
  ??值得注意的是，直方圖均衡化并沒有得到固定的映射關系，對于不同直方圖的圖像，其映射關系也不同，這樣的過程可以認為是一種自適應的方法（為了某一目的自動尋找合適的映射）。并且均衡化后的直方圖也不是完全的均勻分布，而是變化的方向是均勻分布。
  
• 直方圖規則化/直方圖匹配：某些情況下，均勻直方圖增強的方法不一定能滿足所有需求，有時我們會考慮使用一些規定的直方圖來做圖像增強。想象這樣一種情況，當一張圖像比較暗同時對比度較低，想要通過直方圖均衡化來增強對比度，但是由于絕大部分的像素處于像素值為0的地方，所以導致變換函數在0處產生躍變，這樣的結果是，圖像整體偏亮，并且絕大部分素值移動到較大的值的區間中，使得圖像對比度沒有得到明顯的增強。

造成這個現象的根本原因就是離散函數是對連續函數的采樣和和量化，采樣頻率的大小決定了細節丟失的程度。所以離散的直方圖知識PDF的一個近似，而且處理過程中還不允許造成新的灰度級，所以在實際的直方圖應用中很少看到完美平坦的直方圖。它只能代表了一種趨勢，比如做到了變換后的灰度級跨越了更寬的灰度級范圍，最終達到了增大對比度的目的。來自知乎博客

? ?一種思路是這樣的，如果有一個和這種變化過程我們可以借助均衡化作為中間變換來完成，獲得原圖像均衡化映射、目標圖像均衡化映射，然后求目標圖像均衡化映射的反函數，最終得到首尾相接的兩次變換，經過這兩次變換可以獲得接近目標直方圖分布的變換圖像。
$$r\to s\to z$$

空間濾波器簡介

• 優點：空間域技術在計算上更有效，而且執行所需要的資源較少。
• 空間濾波步驟：領域原子從一個像素向另一個像素移動，對領域中的像素應用算子T，并在該位置產生輸出，這樣對于任意指定的位置，輸出圖像為這些座標處的值，等于原圖像結果算子處理后的結果。在圖像邊界處，可以忽略外鄰點，或者使用某些值填充。
• 空間濾波機理：空間濾波通過空間濾波器來實現，空間濾波器執行上述的步驟，產生濾波后的圖像，常見的操作有：平滑、模糊、降噪等等，空間濾波器的別名有：空間掩膜、核、模板、窗口等，并且線性空間濾波器核頻率域濾波之間存在一一對應的關系。
• 空間濾波器機理：空間濾波器由領域、預定義操作組成。
• 空間域濾波器的分類：線性空間濾波器，使用權重核的都屬于線性空間濾波器，包括卷積、相關、微分等；非線性空間濾波器，如統計排序濾波器。
• 卷積與相關：卷積和相關是兩個相近的概念，在神經網絡中的卷積層操作實際上是相關運算而非卷積運算。二者都包括關鍵的滑動相乘相和的操作，因此有時不必太過區分二者。
  

平滑空間濾波器

• 平滑線性濾波器/均值濾波器：求解包含在濾波器鄰域內的像素的平均值，可以把他們歸入低通濾波器，形式有多種，最簡單是全部權重相同，變體有按照距離賦權重。用處：降噪、模糊；模板越大，模糊程度越大。對于高斯噪聲處理的效果不錯，但是不太適合處理椒鹽噪聲。空間均值濾波器的一個重要應用是：模糊圖像以便得到感興趣物體的粗略描述，較小物體的灰度會與背景混合在一起，較大物體則變得像斑點而易于監測。
  
• 統計排序濾波器（非線性）：將模板鄰域內的像素按照大小排序，按照某一規則選取其中的某個像素值作為濾波后的該位置像素值。其中中值濾波器使用中心像素值作為結果，在處理脈沖噪聲/椒鹽噪聲時效果很好，但是不適合處理高斯噪聲。

銳化空間濾波器

• 基礎：銳化處理的目的是突出灰度的過渡部分，在邏輯上與均值處理相對，均值處理與積分類似，而微分可以實現與模糊相反的操作——銳化。這里主要考慮一階微分和二階微分，離散化后為一階差分和二階差分。均勻灰度、斜坡灰度、臺階灰度上兩種差分方法各有不同的結果。
  
  
• 拉普拉斯算子/二階微分銳化濾波器：通過應用上述的結論，并且拓展到二維空間即可得到基于拉普拉斯算子的二階微分銳化濾波器，在增強圖像邊緣時，通常的做法是將原圖像加上或者減去結果拉普拉斯算子或者其變體作用后的圖像。
  
  
• 一階微分銳化濾波器（非線性）：一階微分銳化濾波器通過梯度來定義，其中梯度是一個向量，包含方向和大小，結果梯度算子得到的是包含每個位置的梯度大小的梯度圖像$M(x,y)=\sqrt{g_x^2+g_y^2}$。根據x，y方向的偏導定義近似的不同出現了Rober交叉梯度算子和Sobel梯度算子，二者的本質含義是一致的，不過是實現方式不同。

  • 羅伯特Robert交叉梯度算子：這里的定義與先前的偏導差分定義不同。
    

  • 索貝Sobel算子：Sobel將兩個偏導定義成以下模樣，但是計算過程與Robert相同。
    
    

• 非銳化掩蔽和高提升濾波：當然，在增強圖像邊緣時，存在一些使用非直接銳化手段的方法。通過原圖像減去模糊圖像即可得到邊緣圖像，通過將該圖像疊加到原圖像即可得到邊緣增強圖像。
  
• 混合空間增強：在實際應用中，圖像一般需要使用多種增強方法，比如同時存在椒鹽噪聲和高斯噪聲等，混合空間增強即使用多種圖像增強方法來實現最終效果。

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頻率域濾波

傅里葉變換

• 一維傅里葉變換：
  
• 一維卷積定理：
  
• 二維傅里葉變換：
• 二維卷積定理：

采樣定理

• 香農-奈奎斯特理想低通采樣定理：
• 頻域混疊分析

頻率域濾波基礎

• 理想濾波器：
• 高斯濾波器：

圖像復原與重建

圖像退化/復原模型

• 退化模型和復原模型：
  

• 噪聲模型：高斯噪聲，伽馬噪聲，指數噪聲，均勻噪聲，脈沖噪聲/椒鹽噪聲。

逆濾波

• 逆濾波：在噪聲未知的情況下，通過對退化函數進行建模，在頻域得到估計圖像的頻域再反變換回空域得到估計圖像。
• 注意事項：當退化函數為0或者非常小時，噪聲在重建圖像中占主導地位，因此一種常見的做法是：限制濾波的頻率，因為在能量主要集中在低頻范圍內，這樣就減少了遇到零值的概率。

最小均方誤差濾波（維納濾波）

• 維納濾波：建立在圖像和噪聲都是隨機變量的基礎上，目標是使得估計圖像和原始圖像之間的均方誤差最小，
• 注意事項：與直接逆濾波相比，最小均方誤差濾波效果要好得多。但是維納濾波存在其他的困難：未退化的圖像和噪聲的功率譜必須已知。

約束最小二乘方濾波

• 約束最小二乘方濾波：通過拉普拉斯算子作為目標優化函數，同時通過估計圖像、待復原圖像、退化函數、噪聲構造約束，通過優化理論得到滿足約束條件的使得優化函數最小的估計圖像。
• 注意事項：本方法需要已知噪聲的方差和均值的知識。

圖像壓縮

圖像壓縮基礎

• 數據冗余來源：編碼冗余、空間和時間冗余、不相關信息。

基本壓縮方法

• 哈夫曼編碼：最小頻率對之間相組，組建哈夫曼樹和哈夫曼編碼
• 游程編碼

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理入门（冈萨雷斯第三版）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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