数学思维游戏两则：Gabriel喇叭、世界末日论
????看到新詞就上一下Wikipedia確實是一個好習慣。前一篇日志的那個pdf里作者提到了Gedankenexperiment(Thought experiment)，上Wikipedia一查果然學到了牛B的新東西。好多物理定律其實完全是由思維實驗推導出來的，難以置信僅僅是思考竟然就能得出物理世界遵從的各種法則。經典的物理思維實驗有Newton大炮、Galileo斜塔實驗、Schr?dinger的貓貓、Maxwell的妖怪等等。還有，Turing機也是一個偉大的思維實驗。
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????數學上的不少悖論（特別是涉及到維度和無窮的悖論）都是相當有趣的思維實驗。Gabriel喇叭是y=1/x在[1,+∞)上的圖象沿x軸旋轉一周所形成的旋轉體。這個簡單的三維圖形有一個奇特的性質：它的表面積無窮大，卻只有有限的體積。為了證實這一點，只需注意到：
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????Gabriel喇叭會導出一個非常詭異的悖論：如果你想用涂料把Gabriel喇叭的表面刷一遍，你需要無窮多的涂料；然而把涂料倒進Gabriel喇叭填滿整個內部空間，所需要的涂料反而是有限的。
????有網友一定會問，那有沒有什么二維圖形，面積有限大，周長卻無限長呢？答案是肯定的，Koch雪花就是這樣一個經典的例子。不過，通過分形構造出來的這類圖形似乎并不存在涂料悖論，因為遞歸到一定深度時分形圖形的尺度將小于表面涂料的厚度，因此表面大小不能永無止境地算下去，涂滿表面所需的涂料不再是無窮多。當考慮到涂料厚度時，原先的悖論也可以解釋清楚了：填充內部空間僅僅涂滿了圖形的內表面，一旦考慮到涂料的厚度，它和外表面的區別就出來了。
????另一個有趣的思維實驗與世界末日論相關：我們可以通過數學算法“求”出世界末日在哪一天！！下面我們將用簡單的數學知識得出這一結論：人類文明已經發展到一半的概率達到95%。
????假設整個人類文明史上一共誕生了N個人，而你是其中的第n個人。根據Copernican原理，假設把整個人類文明看作數軸上[0,1]的線段，則你在這條“時間線”上可能處在的位置概率均等地分布在區間(0,1]中。下面我們在(0,1)中取一個足夠大的數，比如0.95。那么，你發現自己處在人類文明的(0.05,1]區間上的概率是95%，也即n/N > 0.05。整理一下，我們得到N<20n。如果我們取目前人類文明的總人數n=600億，代入上式我們有N<12000億。我們得到這樣的結論：有95%的可能性，整個人類文明共誕生了12000億個人。假設世界人口穩定在100億，人的平均壽命是80年，那么剩下的11400億人將在9120年內走完自己的生命。換句話說，人類文明在9120年內滅亡有95%的可能性。這是一個驚人的數字啊！整個人類文明已經過了近萬年，居然再過個這么多年就要結束了。
總結
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