離散數學4：析取范式與合取范式

命題公式的兩種規范表示方法，能表達真值表所能提供的一切信息。

命題變項及其否定統稱作文字。僅由有限個文字構成的析取式叫簡單析取式，僅由有限個文字構成的合取式叫簡單合取式。

（析取式就是由∨鏈接的，比如q， ￢q∨p，p∨q∨r；合取式就是由∧鏈接的，比如p，￢p∧q，￢p∧￢q∧r。所以一個文字既是簡單析取式又是簡單合取式。）

定理：（1）一個簡單析取式是重言式當且僅當它同時含某個命題變項及它的否定式。

（2）一個簡單合取式是矛盾式當且僅當它同時含有某個命題變項及它的否定式。

所以，由有限個簡單合取式的析取構成的命題公式稱為析取范式。由有限個簡單析取式的合取構成的命題公式稱為合取范式。析取范式與合取范式統稱為范式。

比如（￢p∨q）∧(￢p∨r) ∧(p∨q∧r)是合取范式，

（p∧q）∨(p∧￢q) ∨(p∧q∧r)是析取范式。

而類似p∧q∧r既是由3個簡單析取式構成的合取范式，又是1個簡單合取式構成的析取范式；p∨q∨r既是由1個簡單析取式構成的合取范式，又是3個簡單合取式構成的析取范式。

析取范式和合取范式的性質：

（1）一個析取范式是矛盾式當且僅當它的每個簡單合取式都是矛盾式。

（2）一個合取范式是重言式當且僅當它的每個簡單析取式都是重言式。

為了把含有￢∨∧→?這五種聯結詞的命題公式化成等值的析取范式或合取范式，我們首先要消滅→和?。這可以用下面兩個公式做到：

A→B?￢A∨B

A?B?(A→B) ∧(B→A) ?(￢A∨B) ∧(￢B∨A)

這樣就消去了→和?

然后范式中一個文字最多有一個非，且必須緊跟文字，也就是說要消滅￢￢A和

￢（A∨B），￢(A∧B)這類的

用如下公式解決：

￢￢A?A

￢（A∨B）?￢A∧￢B

￢(A∧B) ?￢A∨￢B

然后在析取范式中不得出現A∧(B∨C)

在合取范式中不得出現A∨(B∧C)。

用如下公式解決：

A∧(B∨C) ?(A∧B) ∨(A∧C)

A∨(B∧C) ?(A∨B) ∧(A∨C)

這樣就可以化成范式了。

定理：任一命題公式都存在與之等值的析取范式與合取范式。

求給定公式范式的步驟為：

（1）消去聯結詞→，?。

（2）消去￢￢，移出否定內容

（3）求析取范式時使用A∧(B∨C) ?(A∧B) ∨(A∧C)

求合取范式時使用A∨(B∧C) ?(A∨B) ∧(A∨C)

例：求（p→q）?r的析取范式與合取范式

先消去→和?：

（p→q）?r

?（￢p∨q）?r

?((￢p∨q) →r) ∧(r→(￢p∨q))

?(￢(￢p∨q) ∨r) ∧(￢r∨(￢p∨q))

?((p∧￢q)∨r) ∧(￢r∨￢p∨q)

?(p∨r) ∧(￢q∨r) ∧(￢r∨￢p∨q)

這就是給定公式的合取范式

再求析取范式

（p→q）?r

?（￢p∨q）?r

?((￢p∨q)→r)∧(r→(￢p∨q))

?(￢(￢p∨q)∨r)∧(￢r∨(￢p∨q))

?((p∧￢q)∨r)∧(￢r∨￢p∨q)

?（(p∧￢q)∧￢r）∨（(p∧￢q)∧￢p）∨（(p∧￢q)∧q）∨（r∧￢r）∨

(r∧￢p)∨(r∨q)

?(p∧￢q∧￢r)∨ (r∧￢p) ∨(r∨q)

這就是給定公式的析取范式。

轉載于:https://www.cnblogs.com/XiaobaoKing/p/4559276.html

總結

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