文章目錄

• 第四問(wèn)
• • 第一理解
  • 第二理解
• 第五問(wèn)
• 第六問(wèn)
• • PageRank 算法
  • 應(yīng)用 PageRank
  • J 和 N 設(shè)置消防站后
  • 逐年建立消防站（失敗的嘗試）
  • 改進(jìn)方案
• 代碼與提問(wèn)

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第一題到第三題鏈接

第四問(wèn)

題目是找出不同區(qū)域，相關(guān)性最高的事件。我們首先整理出事件類(lèi)型-事件發(fā)生密度表格，如下所示：

什么是相關(guān)性，我覺(jué)得有兩個(gè)理解：

相關(guān)性是否指：事件對(duì)區(qū)域而言呢？也就是找出，該區(qū)域某事件發(fā)生的密度，在其他區(qū)域時(shí)，發(fā)生密度相差很大的事件，可否如此理解？

相關(guān)性是否指：事件-事件呢？也就是，不同區(qū)域，事件 A 和事件 B 的相關(guān)性最大，找出 A 和 B 呢？

第一理解

對(duì)于第一個(gè)理解，可以沿著上表的行，求出事件的方差，方差最大的那個(gè)，就是啦。求出方差如下：

于是，事件 7 是不同區(qū)域相關(guān)性最大的。

第二理解

第二個(gè)理解，沿著行，求出數(shù)據(jù)的相關(guān)性矩陣，找出最大的那個(gè)相關(guān)性，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)事件，就是啦。

計(jì)算偏相關(guān)矩陣（使用Pearson相關(guān)系數(shù)），偏相關(guān)系數(shù)可以刪除其他因素的影響，所以使用偏相關(guān)系數(shù)：

從上圖可以找出，事件 3 和 事件 7 在不同區(qū)域的相關(guān)性最高。

第五問(wèn)

找出人口密度和事件密度的關(guān)系，首先就得統(tǒng)計(jì)出數(shù)據(jù)咯：

其中事件密度是根據(jù) 16-20 年的總數(shù)據(jù)算出來(lái)的。

如何找出關(guān)系呢？還記得問(wèn)題二的方法嗎？

我們首先畫(huà)出數(shù)據(jù)：

大致可以猜測(cè)出，人口密度越大，事件密度（16-20年）越大。

采用第二問(wèn)的一元回歸方法，用線(xiàn)性函數(shù)去擬合數(shù)據(jù)，可得：

我們可以用 R 方來(lái)評(píng)價(jià)模型的效果，計(jì)算出模型的 R 方為：0.9996，可見(jiàn)模型的效果很好。

于是，人口密度和事件密度（16-20）：$y=0.4116x?0.02374$

第六問(wèn)

第六問(wèn)是：

目前該地有兩個(gè)消防站，分別位于區(qū)域J和區(qū)域N，請(qǐng)依據(jù)附件1和附件2，綜合考慮各種因素，建立數(shù)學(xué)模型，確定如果新建1個(gè)消防站，應(yīng)該建在哪個(gè)區(qū)域？如果在2021-2029年每隔3年新建1個(gè)消防站，則應(yīng)依次建在哪些區(qū)域？

從第四問(wèn)可知，由于人口密度和事件密度呈現(xiàn)線(xiàn)性關(guān)系，且是正相關(guān)，所以我們只需要考慮人口密度即可。

先看第一問(wèn)：該地已經(jīng)有兩個(gè)消防站，另一個(gè)消防站該建在哪里？

我們不妨先考慮簡(jiǎn)單的：如果沒(méi)有消防站，那么消防站應(yīng)該建在哪里？

若沒(méi)有消防站，那么，我們可以用谷歌的網(wǎng)頁(yè)排行算法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。具體是：

把每一個(gè)節(jié)點(diǎn)看成網(wǎng)頁(yè)

把邊看成是網(wǎng)頁(yè)到網(wǎng)頁(yè)的鏈接，邊的權(quán)重視為鏈接的權(quán)重

把人口密度視為網(wǎng)頁(yè)的權(quán)重

于是：就可以搜索出最重要的網(wǎng)頁(yè)，也就是，最重要的節(jié)點(diǎn)！

那么，邊的權(quán)重，以及網(wǎng)頁(yè)的權(quán)重，該如何設(shè)置呢？

首先得來(lái)看看 PageRank 算法的原理：

PageRank 算法

PageRank 算法要求每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)重之和是 1，權(quán)重是為了模擬每個(gè)網(wǎng)頁(yè)被點(diǎn)擊的概率（所有網(wǎng)頁(yè)被點(diǎn)擊的概率當(dāng)然是 1）

PageRank 算法要求每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，散發(fā)出的所有邊，的權(quán)重之和，為 1。

然后，PageRank 的算法如下（篇幅原因，就用專(zhuān)業(yè)的語(yǔ)言描述吧）：

設(shè)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)重為 $N_i$，$i$ 是節(jié)點(diǎn)編號(hào)，為了方便，就即為 $\{1,2,?,n\}$，$n$ 為節(jié)點(diǎn)的數(shù)量；若 $i$, $j$ 存在邊，記邊的權(quán)重為 $w_{ij}$。設(shè)收斂標(biāo)準(zhǔn)為：tol，最大迭代步長(zhǎng)為：T，當(dāng)前步長(zhǎng)為：t，設(shè)權(quán)重傳遞時(shí)的損失參數(shù)為 $\alpha$算法如下：

---

$$\begin{array}{rl}& initial{N}_i(0)\\ & t=0\\ & \text{for???}\text{i???in???}n:\\ & \text{????????for???}\text{j???in???}{w}_i:\\ & \text{????????????????????}{N}_j(t+1)+=\alpha ?N_i(t)?w_{ij}\\ & if\text{????}t\le T:\\ & \text{????????}break\\ & while\sum |N_i(t?1)?N_i(t)|\le tol\end{array}$$

應(yīng)用 PageRank

如何應(yīng)用呢？

首先如何將節(jié)點(diǎn)設(shè)置為總和為 1？我認(rèn)為直接將人口密度進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化即可。

如何將某節(jié)點(diǎn)的邊，設(shè)置為總和為 1？

當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)的距離越大時(shí)，應(yīng)該賦予一個(gè)較大的權(quán)重。因?yàn)榫嚯x越遠(yuǎn)，意味著越需要消防站。因此，如某點(diǎn)到 1，2, 3 的距離為 40,50,10，則權(quán)重分別為 0.4, 0.5, 0.1；

帶入 PageRank 算法，可得結(jié)果如下：

因此，當(dāng)沒(méi)有消防站時(shí)，最重要的節(jié)點(diǎn)是 D。此時(shí)應(yīng)該在 D 中設(shè)置消防站。從這個(gè)結(jié)果來(lái)看，還算是比較合理，畢竟 D 節(jié)點(diǎn)鏈接的邊最多，而且人口密度也比較多：

J 和 N 設(shè)置消防站后

沒(méi)有設(shè)置消防站是，我們用人口密度的標(biāo)準(zhǔn)化，作為節(jié)點(diǎn)的權(quán)重。

在 J 和 N 設(shè)置消防站后，只需要將 J 和 N 的權(quán)重設(shè)置為 0 即可（或負(fù)數(shù)，意味著其鏈接的點(diǎn)的權(quán)重也會(huì)在迭代過(guò)程中下降），這里設(shè)置為負(fù)數(shù)也即，標(biāo)準(zhǔn)化后，J 和 N 的權(quán)重為 $ n(w)/15$。其中 $n(w)$ 為該節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)。

之所以設(shè)置為 $?2/15$，是因?yàn)閳D的節(jié)點(diǎn)總數(shù)為 15 個(gè)，而我們認(rèn)為一個(gè)消防站所起到的撲滅功能，頂?shù)纳?strong>平均意義上的 $n(w)$ 個(gè)節(jié)點(diǎn)權(quán)重。當(dāng)然，這個(gè)數(shù)值的設(shè)置有主觀(guān)性，it depends。

此時(shí)依舊使用 PageRank 算法，可得：

逐年建立消防站（失敗的嘗試）

因?yàn)椴恢廊丝诿芏鹊淖兓?#xff0c;所以按照我們的理論，這是一個(gè)靜態(tài)模型。2021 到 2029 一共 9 年，三年一次，迭代三次。按照上述算法，迭代三次即可：

在運(yùn)行代碼時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)連續(xù)三次都需要在 I 中設(shè)置消防站，這明顯是不合理的。究其原因，就是因?yàn)樨?fù)數(shù)在迭代過(guò)程中，對(duì)周?chē)木€(xiàn)條的影響，超出了我們主觀(guān)上的預(yù)估。

但筆者在將有消防站的節(jié)點(diǎn)的權(quán)重，設(shè)置為 0 時(shí)，則出現(xiàn)下面的情況：

改進(jìn)方案

本文所講解的 PageRank 是最簡(jiǎn)單形式。實(shí)際上還有許多復(fù)雜的算法。對(duì)于設(shè)置了消防站的節(jié)點(diǎn)，我們可以將其視為懸浮節(jié)點(diǎn)，也即對(duì)所有節(jié)點(diǎn)都看成有鏈接，且鏈接是單向的，并根據(jù)距離，設(shè)置單獨(dú)地權(quán)重。

至于如何實(shí)現(xiàn)，就要看大家啦！

代碼與提問(wèn)

若需要代碼，請(qǐng)點(diǎn)贊，關(guān)注、私信、說(shuō)明題目和年份

如果有其他問(wèn)題，請(qǐng)到評(píng)論區(qū)留言，私信提問(wèn)，概不回答。也在此鼓勵(lì)大家獨(dú)立思考。

本人不會(huì)回訪(fǎng)，不互關(guān)，不互吹，以及謝絕諸如此類(lèi)事

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2021 年 五一数学建模比赛 B 题（第四问至第六问）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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