工程數學概率論統計簡明教程第二版復習大綱

• • 第二章 事件的概率
  • 第三章 條件概率和事件的獨立性
  • 第四章 隨機變量及其分布
  • 第五章 二維隨機變量及其分布
  • 第六章 隨機變量的函數及其分布
  • 第七章 隨機變量的數字特征

第二章 事件的概率

擲兩顆骰子，求下列事件的概率：
（1） 點數之和為7；（2） 點數之和不超過 5；（3）點數之和為偶數。
分別記題(1)、（2）、（3）的事件為 A,B,C,樣本點總數$n=6^2$
? A含樣本點$(2,5)$,$(5,2)$,$(1,6)$,$(6,1)$,$(3,4)$,$(4,3)$
$$\therefore P(A)=\frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}$$
? B含樣本點$(1,1)$,$(1,2)$,$(2,1)$,$(1,3),$$(3,1)$,$(1,4)$, $(4,1)$,$(2,2)$,$(2,3)$,$(3,2)$
$$\therefore P(B)=\frac{10}{6^2}=\frac{5}{18}$$
? C含樣本點$(1,1)$, $(1,3)$, $(3,1)$, $(1,5)$, $(5,1)$, $(2,2)$, $(2,4)$, $(4,2)$, $(2,6)$, $(6,2)$, $(3,3)$,$(3,5)$,$(5,3)$,$(4,4)$,$(4,6)$,$(6,4)$,$(5,5)$,$(6,6)$，一共18個樣本點。
$$\therefore P(B)=\frac{18}{6^2}=\frac{1}{2}$$

甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠$6h$，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率.

已知$A$$?$$B$，$P(A)$$?$=$0.4$，$P(B)$=$0.6$，求
(1) $P(\overline{A})$, $P(\overline{B})$；
(2) $P(A\cup B)$；
(3) $P(AB)$；
(4) $P(\overline{B}A)$, $P(\overline{AB})$；
(5) $P(\overline{A}B)$。
? $$\begin{array}{rl}& P(\overline{A})=1?P(A)=1?0.4=0.6\\ & P(\overline{B})=1?P(B)=1?0.6=0.4\end{array}$$
? $$\begin{array}{r}P(A\cup B)=P(A)+P(B)?P(AB)=P(A)+P(B)?P(A)=P(B)=0.6\end{array}$$
? $$\begin{array}{r}P(AB)=P(A)=0.4\end{array}$$
? $$\begin{array}{rl}& P(\overline{B}A)=P(A?B)=P(?)=0\\ & P(\overline{AB})=P(\overline{A\cup B})=1?P(A\cup B)=1?0.6=0.4\end{array}$$
? $$\begin{array}{r}P(\overline{A}B)=P(B?A)=0.6?0.4=0.2\end{array}$$

設$A,B$是兩個事件，己知P(A)=0.5

第三章 條件概率和事件的獨立性

• P29例14：從次品率為$p=0.2$的一批產品中，有放回抽取 5 次，每次取一件，分別求抽到的5件中恰好有了件次品以及至多有3件次品這兩個事件的概率。
  ? 計$A_k$={恰好有$k$件次品}(k=0,1, $\dots$,5)，A={恰有3件次品}，B={至多有3件次品}，則
  $$\begin{array}{rl}& A=A_3,B=\underset{k=0}{\overset{3}{?}}{A}_k,\\ P(A)& =P(A_3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)0.2^{3}0.8^2=0.0512,\\ P(B)& =1?P(\overline{B})=1?P(A_4)?P(A_5)\\ & =1?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)0.2^{4}0.8?0.2^5=0.9933.\end{array}$$

• 習題三第8題：設某一工廠有A,B,C三間車間，它們生產同一種螺釘,每個車間的產量分別占該廠生產螺釘總產量的25%,35%,40%,每個車間成品中次貨的螺釘占該車間出產量的百分比分別為5%,4%,2%.如果從全廠總產品中抽取一件產品，
  （1）求抽到的產品是次品的概率；
  （2）已知得到的是次品，求它依次是車間A,B,C 生產的概率.
  

• 習題三第9題：某次大型體育運動會有1000名運動員參加,其中有100人服用了違禁藥品.在使用者中，假定有90 人的藥物檢查呈陽性，而在未使用者中也有5人檢驗結果顯示陽性．如果一個運動員的藥物檢查結果是陽性,求這名運動員確實使用違禁藥品的概率.
  

• 習題三第10題：發報臺分別以概率0.6和0.4發出信號"$?$"和"$?$“，由于通信系統受到干擾，當發出信號”$?$"時，收報臺未必收到信號"$?$"，而是分別以概率0.8和0.2收到信號"$?$"和"$?$“;同樣,當發出信號“一”時，收報臺分別以概率0.9和0.1 收到信號”$?$“和”$?$".求
  （1）收報臺收到信號"$?$"的概率；
  （2）當收報臺收到信號"$?$"時,發報臺確是發出信號"$?$"的概率。
  

• 習題三第12題：設事件A,B相互獨立．證明：$A$,$\overline{B}$相互獨立,$\overline{A}$,$\overline{B}$相互獨立.
  

• 習題三第15題：三個人獨立破譯一密碼，他們能獨立譯出的概率分別為 0.25,0.35,0.4. 求此密碼被譯出的概率.
  

• 習題三第20題：假設一部機器在一天內發生故障的概率為0.2,機器發生故障時全天停止工作,若一周五個工作日里每天是否發生故障相互獨立，試求一周五個工作日里發生3次故障的概率.
  

• 習題三第21題：燈泡耐用時間在1000h以上的概率為0.2,求三個燈泡在使用 1000h 以后最多只有一個壞了的概率.
  

第四章 隨機變量及其分布

• P46例14：假設$X$是連續型隨機變量，其密度函數為
  $$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2& 0<x<2\\ 0& 其它\end{array}$$
  （1）$c$的值；（2）$P(?1<x<1)$.
  ? 因為$f(x)$是一密度函數，所以必須滿足${\int }_{?\infty }^{\infty }{x}^{2}dx=1$,于是有
  $$\begin{array}{rl}& c{\int }_0^2{x}^{2}dx=1\\ & 即c?\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1=1\\ & 解得c=\frac{3}{8}.\end{array}$$
  ? $$\begin{array}{rl}P(?1<X<1)& ={\int }_{?1}^{1}f(x)dx\\ & ={\int }_{?1}^{0}0dx+{\int }_0^{1}f(x)dx\\ & ={\int }_0^1\frac{3}{8}{x}^{2}dx\\ & =\frac{1}{8}.\end{array}$$
  
  

• 習題四第3題：一口袋中有6個球，在這6個球上分別標有 - 3,-3,1,1,1,2這樣的數字.從這口袋中任取一球,設各個球被取到的可能性相同,求取得的球上標明的數宇X的分布律與分布函數.
  

• 習題四第4題：一袋中有5個乒乓球，編號分別為1,2,3,4,5,從中隨機地取3個，以X表示取出的了個球中最大號碼，寫出X的分布律和分布函數.
  
  

• 習題四第16題：設隨機變量X的密度函數為$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<A,\\ 0,& 其它.\end{array}$$試求：（1）常數A；(2)$P(0<X<0.5)$.
  

• 習題四第19題：經常往來于某兩地的火車晚點的時間X(單位：min）是一個連續型隨機
  變量，其密度函數為$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{500}(25?x^2),& ?5<x<5,\\ 0,& 其它.\end{array}$$X的負值表示火車早到了,求火車至少晚點 2min 的概率.
  

• 習題四第20題：設隨機變量X的分布函數為
  $$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x?0,\\ 1?(1+x)e^{?x},& x>0.\end{array}$$求X的密度函數，并計算 $P(X\le 1)$和$P(X>2)$.
  

• 習題四第23題：設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（單位：min）是一隨機變量，它服從$\lambda$=$\frac{1}{5}$的指數分布，其密度函數為$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{5}{e}^{?\frac{x}{5}}& x>0,\\ 0,& 其它.\end{array}$某顧客在窗口等待服務，若超過 10 min,他就離開.
  （1）該顧客某天去銀行,求他未等到服務就離開的概率；
  （2）設該顧客一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務而離開的概率.
  

• 習題四第25題：設隨機變量$X$的分布函數為$F(x)=A+B\arctan x,?\infty ＜x＜+\infty$,求
  （1）常數$A$,$B$;
  （2）$P(|X|<1)$；
  （3）隨機變量 $X$的密度函數.
  
  

• 習題四第30題：某人上班路上所需的時間X~N(30,100）（單位：min），已知上班時間是8.30,他每天7.50出門,求：
  （1）某天遲到的概率；
  （2）一周(以5天計）最多遲到一次的概率.
  

第五章 二維隨機變量及其分布

• P59例3：設二維隨機變量$(X,Y)$的聯合密度函數為
  $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}c{e}^{?(2x+4y)}& x>0,y>0\\ 0& 其它\end{array}$$
  （1）求常數$c$；（2）$P(X\ge Y)$.
  ? 由性質${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$得到
  $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }c{e}^{?(2x+4y)}dxdy& =1,而\\ {\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }c{e}^{?(2x+4y)}dxdy& =c{\int }_0^{+\infty }{e}^{?2x}dx?{\int }_0^{+\infty }{e}^{?4y}dy\\ & =c?\frac{1}{2}?\frac{1}{4}\end{array}$$因此解得$c=8$.
  ? $$\begin{array}{rl}P(X\ge Y)& =\underset{x\ge y}{?}f(x,y)dxdy\\ & ={\int }_0^{+\infty }dx{\int }_0^{x}8e^{?(2x+4y)}dy\\ & ={\int }_0^{+\infty }2e^{?2x}?(?e^{?4y}){|}_0^{x}dx\\ & ={\int }_0^{+\infty }2e^{?2x}(1?e^{?4x})dx\\ & ={\int }_0^{+\infty }2e^{?2x}dx?{\int }_0^{+\infty }2e^{?6x}dx\\ & =1+\frac{1}{3}{e}^{?6x}{|}_0^{+\infty }\\ & =1?\frac{1}{3}\\ & =\frac{2}{3}.\end{array}$$

• P66例9：設二維隨機變量$(X,Y)$的聯合分布律為
  
  

• P66例11:

• 習題五第1題：二維隨機變量(X,Y）只能取下列數組中的值：(0,0），（-1,1）（-1,$\frac{1}{3}$),（2,0）,且取這些組值的概率依次為$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{12}$,$\frac{5}{12}$.求這二維隨機變量的分布律，并寫出關于X及關于Y的邊緣分布律.
  

• 習題五第7題：設二維隨機變量(X，Y）服從在區域D上的均勻分布,其中區域D為x軸，y軸及直線y=2x+ 1圍成的三角形區域(見圖 5.2).求：
  （1）（X,Y)的聯合密度函數；
  （2）$P(?\frac{1}{4}<X<0,0<Y<\frac{1}{4})$；
  （3） 關于X及關于丫的邊緣密度函數；
  （4）X與Y是否獨立，為什么？
  
  

• 習題五第8題：
  
  

• 習題五第9題：
  

• 習題五第13題：
  
  

第六章 隨機變量的函數及其分布

第七章 隨機變量的數字特征

總結

以上是生活随笔為你收集整理的工程数学概率论统计简明教程第二版复习大纲的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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