我們先給出推導的方法，然后下面一步一步來推導。

推導大O階

用常數1取代運行時間中的所有加法常數

在修改后的運行次數函數中，只保留最高階項

如果最高階存在且不是1，則去除這個項相乘的常數

所得結果即為大O階

示例

int sum = 0，n = 100; //以分號結尾，代碼執行一次 sum = (1+n)*n/2 //執行一次 cont<<sum<<endl; //執行一次

運行次數為3，而在上面推導的推導大O階方法中我們說了，用1代碼所有的加法，什么意思呢？我們的3是經過1+1+1算出來的，我們用1代替所有的加法。而這個表達式只有1，沒有最高階項，所以結果1即為大O階。我們把具有O（1）的時間復雜度的叫做常數階。

int i; for(i = 0;i<n;i++) {/*其他常數階程序代碼*/ }

我們可以發現，花括號里的就是常數階，而for循環循環了n次，也就是說，做了n+常數階次執行次數，根據上面推導大O階方法，我們找到了最高階項n，舍棄后面常數項，所以我們的時間復雜度為O(n)，我們把這類情況稱為線性階。

順便一提，一般來說，我們分析算法的時間復雜度，關鍵就是分析循環結構的運行情況。

int count = 1; while(count < n) {count = count * 2;/*其他常數階程序代碼*/ }

從這里的代碼我們可以看出，退出循環的條件是count<n，而count是通過自身乘2來更新自我然后跳出循環的。也就是說，設count更新次數為x，其可以寫出$2^x=n$的式子，而我們大O(n)里面的n實際上指的是這里的x，根據高中數學所學的指對互換，我們可以寫出$x=lo{g}_{2}n$。所以這個循環的時間復雜度為O(logn)，我們把這類情況叫做對數階。

int i ,j ; for (i - 0; i < n; i++) {for ( j - 0 ; j < n ; j++ ){/*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/} }

對于這種就不必多說了，時間復雜度為O$(n^2)$。我們把這類情況叫做平方階。

說完上面所有的情況了，現在我們來幾個題來練手。

x = 0;y = 0; for(int k = 0;k<n;k++){x++; } for(int i = 0;i<n;i++){for(int j = 0;j<n;j++){y++;} }

分析算法，根據推導大O階方法，第一行執行1次，第一個循環執行n次，第一個內嵌循環外層n次，內層n次，也就是n的平方。把常數變為1，然后抓大頭，最高項系數為1，那么只剩下$n^2$。所以該代碼的時間復雜度為O$(n^2)$，從完整的代碼分析下來我們也可以發現，實際上我們只需要找最復雜的那個循環開始分析就可以了，因為其他的代碼所含的時間復雜度最終根據推導大O階方法都會被省略。下面看一個比較難的例子。

void exam(fload x[][],int m,int n) {float sum[];for(int i = 0;i<m;i++){sum[i] = 0.0;for(int j = 0;j<n;j++){sum[i]+=x[i][j];}}for(i = 0;i<m;i++)cout<<i<<":"<<sum[i]<<endl; }

最復雜的就是中間的內嵌循環，外層循環為從0到m，內層循環0到n，所以該時間復雜度應為O(m+n)。

for(i = 1;i<=n;i++)for(j = 1;j<=n;j++){c[i][j]=0;for(k = 1;k<=n;k++)c[i][j] = c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}

上面這個是一個N×N矩陣相乘的算法，連續三層循環，第一次執行次數為n，第二層執行次數也為n，第三層執行次數還是n。所以該題算法復雜度為O$(n^3)$。

for(i = 1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x = x+1；

這里最外層執行次數n，但是最外層執行1次，第二層就循環1次；最外層執行第2次，第二層循環兩次；根據等差數列求和公式，即第二層有1+2+3+…+n，即$\frac{n(1+n)}{2}$次。當然第三層就不好理解了，所以我們接下來換一種方法。

對于三層循環問題，我們還是直接列出最外層的前幾項比較好。在i = 1的時候，內層循環全部加起來只循環一次。在i = 2的時候，第二層循環啟動兩次循環，所以總共執行1+2，對于i = 3，第二層啟動三次循環，第三層也是三次循環。也就是說總共執行1+2+3。如果聽不太懂，我們可以用圖來表示，即：

所以實際上以上規律是由n來控制的，從上面的圖來看的話，根據我們所得規律，i=1里面有一個$\frac{i(1+i)}{2}$，i = 2里面也有一個$\frac{i(1+i)}{2}$，以此類推我們可以寫出下面的式子：${\sum }_{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}$。

我們化簡一下上面的式子：${\sum }_{i=1}^n(\frac{i^2}{2}+\frac{i}{2})=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n(i^2?i)$。

這里用等差求和公式帶入求解，即可得出答案$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$，根據我們前面說的大O階推導，可以得出本題的時間復雜度為$n^3$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构杂谈番外篇——时间复杂度计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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