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《量子信息与量子计算简明教程》第一章·基本概念(下)

發布時間：2023/12/9 编程问答 23 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了《量子信息与量子计算简明教程》第一章·基本概念(下) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

四、經典解讀

??光子、電子、質子等微觀客體具有“波粒二象性”，此時的波不再是經典概念下的波，但是具有波動性中最本質的東西，即波的“相干疊加性”；粒子也不再是經典概念下的粒子，但是具有粒子運動最本質的現象，即粒子的直線運動與反射。因此，引入 波函數 $ψ(r)\psi(r)$ 來描述粒子的狀態。

??由于微觀粒子的波動呈現出它運動的一種統計規律，因此稱其為概率波。波函數 $ψ(r)\psi(r)$ 的絕對值的平方等于粒子在點 $r$ 附近出現的概率 $p$ ：
$p(r)=ψ?(r)ψ(r)=∣ψ(r)∣2p(r)=\psi^{*}(r) \psi(r)=|\psi(r)|^{2}$ 也稱 $ψ(r)\psi(r)$ 為概率幅，它是一個復數，包含模 $∣ψ(r)∣|\psi(r)|$ 和相位 $φ(r)\varphi(r)$ 兩部分： $ψ(r)=∣ψ(r)∣eiφ(r)\psi(r)=|\psi(r)| e^{i \varphi(r)}$

4.1 薛定諤的貓

??“薛定諤的貓”所描述的場景：將一只貓關在裝有少量鐳和氰化物的密閉容器里。鐳的衰變存在幾率，如果鐳發生衰變，會觸發機關打碎裝有氰化物的瓶子，貓就會死；如果鐳不發生衰變，貓就存活。根據量子力學理論，由于放射性的鐳處于衰變和沒有衰變兩種狀態的疊加，貓就理應處于死貓和活貓的疊加狀態。如果我們用 $∣L?|L\rangle$ 表示貓“活”的狀態， $∣D?|D\rangle$ 表示貓“死”的狀態，那么上述薛定諤的貓態可以表示為：
$∣φ?=12(∣L?+∣D?)|\varphi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|L\rangle+|D\rangle)$

4.2 EPR佯謬

??考慮一對總自旋為零的粒子對在空間上分開，其分開的距離大到對其中一個粒子的測量不會對另一個粒子產生干擾。如果測得一個粒子的自旋向上，那么另一個粒子不管測量與否，其自旋必然處于自旋向下的本征態。EPR佯謬認為真實世界并非如此，并且以此質疑量子力學的完備性。

4.3 貝爾態基與量子隱形傳態

??貝爾不等式給出了這樣一個事實：兩個觀察者 $A$ 和 $B$ 分別對光子對的個別光子做偏振測量，兩人可以任意選擇不同的測量基底，假設 $A$ 選了 $a$ 和 $a^{'}$ 兩種基底， $B$ 選擇了 $b$ 和 $b^{'}$ 。用 $E (a, b)$ 代表當 $A$ 用基底 $a$ 而 $B$ 用基底 $b$ 時，重復多次同樣的實驗后，統計的結果“平行”與“垂直”的兩種幾率差（即期望值），經典的理論預測總是有以下不等式：
$\leq E(a, b)-E\left(a, b^{\prime}\right)+E\left(a^{\prime}, b\right)+E\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \leq 2$ 該不等式即為貝爾不等式。

??貝爾算符的全套本征態稱為貝爾態基，其由如下4個態矢組成：
$∣β00?=∣00?+∣11?2=12[1001]∣β01?=∣01?+∣10?2=12[0110]\left|\beta_{00}\right\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \quad\left|\beta_{01}\right\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]$
$∣β10?=∣00??∣11?2=12[100?1]∣β11?=∣01??∣10?2=12∣01?10∣\left|\beta_{10}\right\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right] \quad\left|\beta_{11}\right\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right|$
同時，貝爾態基也可以表示為以下形式：
$∣Ψ(±)?=∣01?±∣10?2=12(∣0??∣1?±∣1??∣0?)∣Φ(±)?=∣00?±∣11?2=12(∣0??∣0?±∣1??∣1?)\begin{gathered} \left|\Psi^{(\pm)}\right\rangle=\frac{|01\rangle \pm|10\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle \otimes|1\rangle \pm|1\rangle \otimes|0\rangle) \\ \left|\Phi^{(\pm)}\right\rangle=\frac{|00\rangle \pm|11\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle \otimes|0\rangle \pm|1\rangle \otimes|1\rangle) \end{gathered}$
??有了以上貝爾態基的概念理解之后，進一步了解量子隱形傳態：將原物體的信息分成經典信息和量子信息兩部分，經典信息是發送者對原物體進行某種測量而提取原物體的一部分信息，量子信息是發送者在掃描中留下未測量的信息；經典信息和量子信息分別通過經典通道和量子通道傳送，接收者獲得這兩種信息后，就可以備制出原物體量子態的完美復制品。量子隱形傳態的實驗示意圖如下圖所示。

??首先在EPR源中備制好EPR光子對(粒子2、3的糾纏態)，并將粒子2分發到Alice，粒子3分發到Bob；將所要傳遞的信息體現在粒子1的量子態中。然后將光子1和2通過光分束器產生糾纏，隨即發生糾纏交換。Alice測量并判斷粒子 $(1, 2)$ 處于哪個貝爾糾纏態，通過經典信道向Bob傳遞測量結果。最后Bob通過測量光子3的偏振態，即可獲知光子1所加載的信息。接下來采用數理解析的方式敘述該過程。設想一個自旋概率0.5的粒子的量子態 $∣φ?|\varphi\rangle$ 中包含了所要傳遞的信息，Alice(A)欲將此信息傳遞給Bob(B)。

??事先準備好EPR粒子對 $(2, 3)$ ，使其自選方向相反，處在下列貝爾糾纏態：
$∣Ψ23(?)?=∣01??∣10?2=12(∣0(2)??∣1(3)??∣1(2)??∣0(3)?)\left|\Psi_{23}^{(-)}\right\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0_{(2)}\right\rangle \otimes\left|1_{(3)}\right\rangle-\left|1_{(2)}\right\rangle \otimes\left|0_{(3)}\right\rangle\right)$ 粒子2、3分別分發給 $A$ 和 $B$ 。要傳遞的信息體現在粒子1的量子態中：
$∣φ1?=a∣0(1)?+b∣(1)?=[ab]\left.\left|\varphi_{1}\right\rangle=a\left|0_{(1)}\right\rangle+\left.b\right|_{(1)}\right\rangle=\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]$

??接下來， $A$ 對粒子1和EPR粒子對 $(2, 3)$ 的聯合系統進行測量。這時 $A$ 面臨的粒子態為：
$∣Ψ123?=∣φ1??∣Ψ23(?)?\left|\Psi_{123}\right\rangle=\left|\varphi_{1}\right\rangle \otimes\left|\Psi_{23}^{(-)}\right\rangle$ $A$ 處的粒子是 $(1, 2)$ ， $A$ 所做的測量是判斷粒子1和粒子2處于哪個貝爾糾纏態。將上述波函數按粒子 $(1, 2)$ 的貝爾態基展開：
$∣Ψ123?=∣I3??∣Ψ12(?)?+∣II3??∣Ψ12(+)?+∣III3??∣Φ12(?)?+∣IV3??∣Φ12(+)?\left|\Psi_{123}\right\rangle=\left|I_{3}\right\rangle \otimes\left|\Psi_{12}^{(-)}\right\rangle+\left|I I_{3}\right\rangle \otimes\left|\Psi_{12}^{(+)}\right\rangle+\left|I I I_{3}\right\rangle \otimes\left|\Phi_{12}^{(-)}\right\rangle+\left|I V_{3}\right\rangle \otimes\left|\Phi_{12}^{(+)}\right\rangle$ 由于貝爾態基正交歸一，可求出待定系數：
$?Ψ12(?)∣Ψ123?=∣I3???Ψ12(?)∣Ψ12(?)?=∣I3?\left\langle\Psi_{12}^{(-)} \mid \Psi_{123}\right\rangle=\left|I_{3}\right\rangle \otimes\left\langle\Psi_{12}^{(-)} \mid \Psi_{12}^{(-)}\right\rangle=\left|I_{3}\right\rangle$ 得
$∣I3?=?12(a∣0(3)?+b∣1(3)?)??[ab]\left|I_{3}\right\rangle=-\frac{1}{2}\left(a\left|0_{(3)}\right\rangle+b\left|1_{(3)}\right\rangle\right) \Rightarrow-\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]$ 同理
$∣II3?=?12(a∣0(3)??b∣1(3)?)?[?1001][ab]\left|I I_{3}\right\rangle=-\frac{1}{2}\left(a\left|0_{(3)}\right\rangle-b\left|1_{(3)}\right\rangle\right) \Rightarrow\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]$
$∣III3?=12(a∣0(3)?+b∣1(3)?)?[0110][ab]\left|I I I_{3}\right\rangle=\frac{1}{2}\left(a\left|0_{(3)}\right\rangle+b\left|1_{(3)}\right\rangle\right) \Rightarrow\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]$
$∣IV3?=12(a∣0(3)??b∣1(3)?)?[0?110][ab]\left|I V_{3}\right\rangle=\frac{1}{2}\left(a\left|0_{(3)}\right\rangle-b\left|1_{(3)}\right\rangle\right) \Rightarrow\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]$
不難看出，上述4個參數都是由 $∣φ3??[ab]\left|\varphi_{3}\right\rangle \Rightarrow\left[\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right]$ 經過某一幺正變換得到的量子態。

??當 $A$ 對 $∣Ψ123?\left|\Psi_{123}\right\rangle$ 進行 $(1, 2)$ 粒子貝爾態基的分析時，整個波函數以一定的概率隨機塌縮到某個貝爾態上，此時 $B$ 中的粒子3立即塌縮到與之對應的參數上。這意味著粒子1和粒子2糾纏在一起，粒子3與粒子2解除了糾纏。但是 $B$ 并不知道 $A$ 傳遞的量子態 $∣φ1?\left|\varphi_{1}\right\rangle$ 是什么，此時 $A$ 通過經典通道將測量結果告知 $B$ ， $B$ 采用相對應的逆幺正變換將粒子3的量子態變回 $∣φ1?\left|\varphi_{1}\right\rangle$ ，這便是 $A$ 傳遞的量子態信息。

4.4 NP問題

??問題的計算時間若以計算項數冪次上升的計算量完成，稱此問題為P問題，是一個能用計算量 $O(n^k)$ 解決的問題的集合。NP問題是指在P之外存在的計算量呈計算項數指數增加的問題的集合。NP類問題在經典計算機上是不能計算的，但是量子計算可以把其中的一部分NP問題變成P問題，比如用量子計算機結合Shor算法，就可以將大數因式分解問題變成P問題。

4.5 圖靈機、經典計算機與量子計算機基本概念

?? 通用圖靈機的主要構成：記憶單元、處理單元、控制程序。 將記憶單元想象成一條具有一連串存儲單元的磁帶，處理單元則是指向某個存儲單元的讀寫頭，而控制程序負責決定讀寫頭在不同狀態下遇到不同數據時所進行的操作，如圖所示。

??通用圖靈機模型是不可逆的。對所有不可逆的通用圖靈機，都可以找到一個對應的可逆圖靈機，使得兩者具有完全相同的計算能力和計算效率。在量子力學中，任何可逆操作都可以用一個幺正變換來代表。量子計算機可以等效為一個量子圖靈機，量子圖靈機可以等價為一個量子邏輯電路，因此可以通過一些量子邏輯門的組合來構成量子計算機。量子邏輯門對輸入比特進行一個確定的幺正變換，得到輸出比特。

經典計算機的特點：輸入態和輸出態都是經典信號；經典計算機內部的每一步變換都將正交態演化為正交態。

量子計算機的特點：輸入態和輸出態為一般的疊加態，相互之間通常不正交；量子計算機中的變換為所有可能的幺正變換；得出輸出態之后，量子計算機對輸出態進行一定的測量，給出計算結果。

??量子計算最本質的特征是量子疊加性和相干性。量子計算機對每一個疊加分量實現的變換相當于一種經典計算，所有這些經典計算同時完成，并按一定的概率振幅疊加起來以后給出量子計算機的輸出結果，實現并行計算。能耗產生于計算過程中的不可逆操作，其會導致芯片的發熱，影響芯片的集成度，從而限制計算機的運行速度。消除能耗的關鍵是將不可逆操作改造為可逆操作，線性代數中的幺正變換就是可逆的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《量子信息与量子计算简明教程》第一章·基本概念(下)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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