文章目錄

• • 1 難題
  • 2 遞歸
  • • 2.1 n的階層
    • 2.2 斐波那契數列的第n項
    • 2.3 逆序打印數組
  • 3 反轉鏈表
  • 4 回顧遞歸

1 難題

如果不想聽我談學習的過程而注重怎么學習，可以直接跳到第二小節

這個遞歸的問題是在我刷題的時候遇到的。事實上，我對遞歸是一竅不通的，第一次學遞歸是在大二上學期學的數據分析和可視化中遇到了，但是那時候老師叫我們背，所以沒怎么注意這個問題。

沒注意的問題在后面就開始暴露出來了。在Leetcode刷題的時候，第一次遇見遞歸是在反轉單鏈表的時候。反轉單鏈表一文可以在每日一題——劍指 Offer24反轉鏈表_塵魚好美的小屋-CSDN博客中查看。在當時，我用的僅僅是新手都能接受的迭代法。而無法接受思維混亂的遞歸，但是在解決Leetcode上的另外一道題的時候就開始出問題了，這道題必須用到遞歸或者棧。

我們學過棧的都知道，棧的本質是遞歸，這就意味著這個知識點是一個跨不過的坎，我知道我必須面對了。

對于解決這個問題，我首先是看了一下大佬的遞歸解法劍指 Offer 24. 反轉鏈表（迭代 / 遞歸，清晰圖解） - 反轉鏈表 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)。但是我發現其對于遞歸的本質沒有詳細的闡述，反而是只提解法，這對于新手顯然十分不友好。我又在看不懂遞歸的看過來，希望能幫到你！ - 反轉鏈表 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)上面看到了另外一個大佬的解法，雖然講的挺好，但是在單鏈表反轉中又是讓人無法接受了，但是至此，我突然腦路一開，發現了一種新思路，我十分愿意和你分享我思考的思路，希望你耐心看完我的文章。

2 遞歸

大多數講述遞歸都是先引出斐波那契數列。實際上，我們無需畏懼遞歸這個名詞，我們先用另外一個詞來體會遞歸，即遞推公式，這在我們高中數學中幾乎人人學過。在講述斐波那契數列前，我們來解決一個問題。如何解決用遞歸實現n的階層計算？

2.1 n的階層

完成遞歸實際上就是三部曲：

• 明確函數目的
• 尋找遞歸結束條件
• 找出函數的等價關系式

這么說好像太空了，我們來給出一個圖，實際上這個圖就是遞歸。

沒錯，我們可以把俄羅斯套娃看成是遞歸，也就是說，每一層的娃都是在解決問題，遞歸的過程是把解決的問題都留在最后，先從外到里一步一步取娃，然后在最里面的娃從里到外解決問題。

現在我們看往例子：如果我們要解決階層問題，那么結束遞歸的條件就是一個你知道的數，比如你從5的階層，那么自然1的階層是你知道的，那你就可以把1作為結束條件。當然，2你也知道是多少，甚至于更高。我們先用1來作為結束條件：

//結束條件 if(n == 1) {return 1; }

那我們接下來就是要寫函數等價式了，這實際上是一個創造套娃的過程，從最小的娃開始，和相鄰的娃建立聯系。也就是說，我們只關注第n個娃和n-1個娃之間的關系，在這個例子中，它們的關系就是f(n) = n*f(n-1)。

等價關系式的尋找在這里看起來十分簡單，可實際上，遞歸最難的就是此步。

接下來我們把上述寫成代碼，如下所示：

int func(int n) {if(n == 1)return 1;return n*func(n-1); }

也可以用2為結束遞歸條件，如下所示：

int func(int n) {if(n <= 2)return 2; //2的階層return n*func(n-1); }

綜上所述，這就是一個最簡單的遞歸了。在下面，我們層層遞進，來解決一些實際的問題。

2.2 斐波那契數列的第n項

我們來解決這么一個問題：

斐波那契數列的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，即第一項 f(1) = 1,第二項 f(2) = 1…,第 n 項目為 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 項的值是多少。

按照上面的套路，函數實際上是要返回一個第n項的值，所以我們可以這么定義：

int func(int n) {}

接下來我們要尋找遞歸結束的條件，根據題意，我們知道f(1) = 1,f(2) = 1… 那么根據我們在最開始講到的，我們實際上是尋求函數關系等價式，在本題中，如果你采用n = 1作為遞歸結束條件，那么在函數等價式中（本題已給出）有一個f(n) = f(n-1)+f(n-2)，你把2填進去，會出現一個f(0)，這樣的話越過了f(0)越過了遞歸結束條件n = 1，會無限死循環下去。

這顯然是我們不希望的，所以我們可以用n<=2來作為循環結束條件，這樣，f(n)中的n只能填3以上的數字才會出現循環。

綜上所述，代碼如下所示：

int func(int n){if(n <= 2){return 1;}return func(n-1) + func(n-2) }

2.3 逆序打印數組

上面的斐波那契數列問題實際上很容易看出函數等價關系式，讓我們來一個不那么明顯地例子。

我們需要逆序打印一個長度為n的數組。請問如何解決？

也就是說，我們要的是打印一個數組？我們可以這么做：

int func(int arrs[]) {}

接下來我們需要尋找遞歸結束條件，這個結束的條件就是數組為空，即n = 0就結束。

int func(int arrs[]) {if(n == 0)return false; }

現在讓我們來找函數等價關系，在這里，我們明顯要倒序打印，所以首要任務是先打印再倒推，倒推的過程實際上是一個類似于指針移動的過程：n = n-1，所以我們可以寫出如下代碼：

void func(int arrs[], int n) {if (n <= 0)return;cout << arrs[n - 1] << endl;return func(arrs, n - 1); }

3 反轉鏈表

回到我們的主題，我們要解決的最終問題是，如何解決反轉鏈表，乃至解決更多問題，既然要使用遞歸這個工具乘風破浪，那就先拿這道破題開刀吧。

定義一個函數，輸入一個鏈表的頭節點，反轉該鏈表并輸出反轉后鏈表的頭節點。

示例:

輸入: 1->2->3->4->5->NULL
輸出: 5->4->3->2->1->NULL

限制：

0 <= 節點個數 <= 5000

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/fan-zhuan-lian-biao-lcof
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采用遞歸，首先要明白函數要干嘛，函數要反轉鏈表并且返回頭結點。

//逆置鏈表函數 ListNode* reverseList(ListNode * head) {}

但是實際上，我們要實現遞歸的地方不是在這個逆置函數內，所以我們可以另外寫一個遞歸函數。我們的思路是，分別指定兩根指針，一根為pre，一根為cur，反轉鏈表后cur.next = pre。最開始pre一定是空，cur一定是處于head的位置。

//逆置鏈表函數 ListNode* reverseList(ListNode * head) {}//遞歸函數 ListNode* recur(ListNode* cur, ListNode* pre) {}

接下來找結束條件。最開始pre是空，cur處于head的位置。當遞歸執行時，最內層的循環是cur快跑到null了。所以結束遞歸的條件一定是cur->next = NULL。

在最內層循環中，我們做的是：改變指針指向，即cur.next = pre。并且在最內層循環是，cur所處位置恰好是逆置后鏈表頭結點所處位置。當遞歸函數執行完成，返回逆置鏈表頭結點位置。而在逆置鏈表函數中，僅僅需要調用遞歸函數并且返回逆置鏈表頭結點位置即可。

class Solution { public:ListNode* reverseList(ListNode* head) {return recur(head, nullptr); // 調用遞歸并返回} private:ListNode* recur(ListNode* cur, ListNode* pre) {if (cur == nullptr) return pre; // 終止條件ListNode* res = recur(cur->next, cur); // 遞歸后繼節點cur->next = pre; // 修改節點引用指向return res; // 返回反轉鏈表的頭節點} };

從套娃的角度來看，我們可以這樣做：

4 回顧遞歸

遞歸實際上是一個解決子問題的過程。我們要解決f(n)，實際上首先解決f(n-1)，要解決f(n-1)，實際上要先解決f(n-2)，以此類推直至先解決最根本的問題，再回溯整個過程。

遞歸實際上也是需要優化的，比如f(n) = f(n-1)+f(n-2)，如果n = 5,那么n-1 = 4,n-2 = 3，后續在遞歸的過程中會出現多次f(4)、f(3)等，如果每次都計算，開銷挺大，一般可以用某個值來保存，但是這篇文章是針對像我一樣的初學者的，我們就偷個懶，放自己一馬吧。

好了，彥祖，別太累了，好好消化一下就休息吧。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构杂谈番外篇——搞懂递归的小文章的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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