一、動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)概念

基本動(dòng)力學(xué)模型

建模方法

牛頓-歐拉法

拉格朗日法

連桿質(zhì)量，連桿質(zhì)心位置矢量，連桿質(zhì)心慣性矩陣(通過(guò)動(dòng)力學(xué)參數(shù)識(shí)別獲得)

二、牛頓-歐拉法

運(yùn)動(dòng)外推：向外迭代計(jì)算連桿的角速度、角加速度和線加速度

力外推：計(jì)算作用在連桿質(zhì)心上的慣性力和力矩

力矩內(nèi)推：向內(nèi)迭代計(jì)算關(guān)節(jié)力矩

2.1 運(yùn)動(dòng)向外迭代

2.1.1 剛體線速度和角速度

線速度

坐標(biāo)系{A}為固定，坐標(biāo)系{B}固連在剛體上。

2.1.2 連桿速度

連桿i+1的速度為連桿i的速度加上附加到關(guān)節(jié)i+1上的速度分量。

注意：線速度相對(duì)于一點(diǎn)，角速度相對(duì)于一個(gè)物體，因此，"連桿的速度“指連桿坐標(biāo)原點(diǎn)的線速度和連桿的角速度

角速度

連桿i+1的角速度等于連桿i的角速度加上一個(gè)由于關(guān)節(jié)i+1上的角速度引起的分量。

2.2 力向外迭代

2.2.1 牛頓方程(Newton)

用于描述剛體的平動(dòng)。

質(zhì)點(diǎn)的牛頓方程

m為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，r為矢徑，為加速度，F為質(zhì)點(diǎn)的合力。

平動(dòng)剛體的牛頓方程

剛體平動(dòng)為剛體上每一點(diǎn)速度一致。

為剛體上任一點(diǎn)加速度。

一般運(yùn)動(dòng)剛體的牛頓方程

剛體平動(dòng)為剛體上各點(diǎn)速度不相同。

為剛體質(zhì)心的加速度。

2.2.2 歐拉方程(Euler方程)

繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的Euler方程

w為剛體固連坐標(biāo)系的角速度，為常值矩陣，表示剛體在與剛體固連坐標(biāo)系中對(duì)O點(diǎn)的慣性張量矩。

2.3 力和力矩向內(nèi)迭代

上圖為典型連桿在無(wú)重力狀態(tài)下受力圖，根據(jù)該圖建立力平衡方程和力矩平衡方程。

力平衡方程

為連桿i-1作用在連桿i上的力

力矩平衡方程

為連桿i-1作用在連桿i上的力矩

根據(jù)力平衡方程和附加旋轉(zhuǎn)矩陣可化簡(jiǎn)該公式

迭代方程

按照連桿序號(hào)高到低排序獲得迭代關(guān)系為

2.4 建立動(dòng)力學(xué)方程

2.5 兩連桿動(dòng)力學(xué)方程

假設(shè)連桿質(zhì)量集中在連桿末端，質(zhì)量分別為m 1?和m2?。

連桿質(zhì)心位置矢量

連桿2

連桿1

Matlab建模

% 動(dòng)力學(xué)建模

syms l1 l2 m1 m2 g;

syms q1 q2 dq1 dq2 ddq1 ddq2;

%% 參數(shù)初始化

R{1}=[cos(q1) -sin(q1) 0;sin(q1) cos(q1) 0;0 0 1];

R{2}=[cos(q2) -sin(q2) 0;sin(q2) cos(q2) 0;0 0 1];

R{3}=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];

% 坐標(biāo)系原點(diǎn)位移，用P{1}表示坐標(biāo)系1與坐標(biāo)系0原點(diǎn)位置關(guān)系，用P{2}表示坐標(biāo)系2與坐標(biāo)系1原點(diǎn)位置關(guān)系。

P = cell(1,3);

P{1}=[0;0;0];P{2}=[l1;0;0];P{3}=[l2;0;0];

% 每個(gè)連桿質(zhì)心的位置矢量

Pc = cell(1,3);

Pc{1}=[0;0;0];Pc{2}=[l1;0;0];Pc{3}=[l2;0;0];

% 連桿質(zhì)量

m = cell(1,3);

m{2}=m1;

m{3}=m2;

% 慣性張量

I = cell(1,3);

I{2}=[0;0;0];

I{3}=[0;0;0];

% 連桿間角速度和角加速度

w = cell(1,3);dw = cell(1,3);

w{1}=[0;0;0];dw{1}=[0;0;0];% 機(jī)器人底座不旋轉(zhuǎn)

% 連桿坐標(biāo)原點(diǎn)和質(zhì)心加速度

dv = cell(1,3);dvc = cell(1,3);

dv{1}=[0;g;0];% 重力因素

% 關(guān)節(jié)速度和加速度

dq = cell(1,3); ddq = cell(1,3);

dq{2}=[0;0;dq1];dq{3}=[0;0;dq2];

ddq{2}=[0;0;ddq1];ddq{3}=[0;0;ddq2];

% 末端執(zhí)行器沒(méi)有力

f = cell(1,4);n = cell(1,4);

f{4}=[0;0;0];

n{4}=[0;0;0];

%% 建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

% 外推

for i=1:2 %matlab下標(biāo)從1開(kāi)始

w{i+1}=R{i}.'*w{i}+dq{i+1};

dw{i+1}=R{i}.'*dw{i}+cross(R{i}.'*w{i},dq{i+1})+ddq{i+1};

dv{i+1}=R{i}.'*(cross(dw{i},P{i})+cross(w{i},cross(w{i},P{i}))+dv{i});

dvc{i+1}=cross(dw{i+1},Pc{i+1})+cross(w{i+1},cross(w{i+1},Pc{i+1}))+dv{i+1};

F{i+1}=m{i+1}*dvc{i+1};

N{i+1}=[0;0;0];%假設(shè)質(zhì)量集中，每個(gè)連桿慣性張量為0

end

% 內(nèi)推

for i=3:-1:2

f{i}=R{i}*f{i+1}+F{i};

n{i}=N{i}+R{i}*n{i+1}+cross(Pc{i},F{i})+cross(P{i},R{i}*f{i+1});

end

% 力矩

tau = cell(1,2);

tau{1} = n{2}(3);

tau{2} = n{3}(3);

celldisp(tau)

三、拉格朗日法

拉格朗日法為基于能量的動(dòng)力學(xué)方法。

3.1 動(dòng)能

第i根連桿的動(dòng)能k i k_iki?為連桿質(zhì)心線速度產(chǎn)生動(dòng)能和連桿角速度產(chǎn)生動(dòng)能之和

3.3 構(gòu)建動(dòng)力學(xué)方程

拉格朗日函數(shù)定義為系統(tǒng)的動(dòng)能減去勢(shì)能

操作臂運(yùn)動(dòng)方程為

τ為n x 1力矩矢量，運(yùn)動(dòng)方程代入拉格朗日函數(shù)為

3.4 兩連桿動(dòng)力學(xué)方程

2R機(jī)械臂在處在xy平面內(nèi)，重力沿-y方向。

連桿質(zhì)心線速度

連桿1

連桿2

連桿角速度

因質(zhì)量集中，連桿質(zhì)心慣性張量為零矩陣

因此連桿角速度產(chǎn)生動(dòng)能為0，即

連桿動(dòng)能

連桿勢(shì)能

拉格朗日方程

使用運(yùn)動(dòng)方程求力矩

狀態(tài)空間方程

matlab建模

% 質(zhì)量集中，無(wú)慣性矩陣，連桿長(zhǎng)度與質(zhì)心位置重合

syms m1 m2 l1 l2 g

syms q1 q2 q1d q2d q1dd q2dd

syms x1(t) x1d x1dd x2(t) x2d x2dd

x1d=diff(x1,t); x2d=diff(x2,t);

x1dd=diff(x1,t,t); x2dd=diff(x2,t,t);

%質(zhì)量矩陣

M1=diag([m1,m1]);

M2=diag([m2,m2]);

% 速度

V1=[[l1*cos(x1(t)) 0];[l1*sin(x1(t)) 0]]*[x1d;x2d];

V2=[[-l1*sin(x1(t))-l2*sin(x1(t)+x2(t)) -l2*sin(x1(t)+x2(t))];

[l1*cos(x1(t))+l2*cos(x1(t)+x2(t)) l2*cos(x1(t)+x2(t))]]*[x1d;x2d];

% 動(dòng)能

K1=simplify((1/2)*V1.'*M1*V1);

K2=simplify((1/2)*V2.'*M2*V2);

K =K1+K2;

% 勢(shì)能

u1=m1*g*l1*sin(q1);

u2=m2*g*(l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2));

u =u1+u2;

% 拉格朗日方程

L=K-u;

L=subs(L,{x1,x2,x1d,x2d,x1dd,x2dd},{q1,q2,q1d,q2d,q1dd,q2dd});

% 利用運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算力矩方程

dLdqd=[diff(L,q1d); diff(L,q2d)];

dLdqd =subs(dLdqd, {q1,q2,q1d,q2d,q1dd,q2dd}, {x1,x2,x1d,x2d,x1dd,x2dd});

ddLdqddt=diff(dLdqd,t);

ddLdqddt= subs(ddLdqddt,{x1,x2,x1d,x2d,x1dd,x2dd},{q1,q2,q1d,q2d,q1dd,q2dd});

dLdq=[diff(L,q1); diff(L,q2)];

% 輸出結(jié)果

syms f

f=simplify(ddLdqddt-dLdq)

四、算法對(duì)比

通過(guò)牛頓歐拉方程導(dǎo)出的逆動(dòng)力算法較拉格朗日方程推導(dǎo)計(jì)算量要少，但實(shí)際上兩者差異在于表示連桿角速度的方式不一致，牛頓歐拉方程采用三維矢量，拉格朗日方程采用3 × 3 3 \times 33×3旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)，因此多余因素造成計(jì)算量增大，若在計(jì)算動(dòng)能時(shí)采用三維角速度矢量描述，則拉格朗日方程可推導(dǎo)處與牛頓歐拉方程相同的形式的逆動(dòng)力方程。

在實(shí)際應(yīng)用中，多軸機(jī)械臂連桿結(jié)合計(jì)算機(jī)建模更適合選用牛頓-歐拉法，手動(dòng)推算下拉格朗日法更加簡(jiǎn)單直觀，但推導(dǎo)多軸機(jī)械臂較為困難。

參考

MATLAB機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)

MATLAB 中的機(jī)械臂算法——?jiǎng)恿W(xué)

三關(guān)節(jié)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型問(wèn)題？

【機(jī)器人學(xué)】機(jī)器人開(kāi)源項(xiàng)目KDL源碼學(xué)習(xí)：(4)機(jī)械臂逆動(dòng)力學(xué)的牛頓歐拉算法

matlab遞推牛頓-歐拉法解機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程

《機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與控制》第九章——?jiǎng)恿W(xué) 9.1初探歐拉拉格朗日方程法

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)–拉格朗日公式

《機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與控制》

《機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)》

《機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論》

Kenvin M. Lynch , Frank C. Park, Modern Robotics Mechanics,Planning , and Control. May 3, 2017

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab计算机械臂素的,机械臂动力学——动力学建模的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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