在動力學基礎篇我們已經(jīng)介紹了關節(jié)速度與末端執(zhí)行器速度的關系，這一片將會帶大家探討加速度之間的關系，因為力的作用，總是離不開加速度。

一、公式回顧

對于旋轉(zhuǎn)關節(jié)，各連桿的線速度與角速度可以表示為如下：

$${}^{i+1}{\omega }_{i+1}{=}_i^{i+1}R{}^i{\omega }_i+{\dot{\theta }}_{i+1}{}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}\text{\hspace{1em}(1-1)}$$

$${}^{i+1}{v}_{i+1}{=}_i^{i+1}R({}^i{v}_i+{}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{i+1})\text{\hspace{1em}(1-2)}$$

對于滑動關節(jié)，上一章沒有給出，推導方法類似，這里直接給出公式：

$${}^{i+1}{\omega }_{i+1}={}_i^{i+1}R{}^i{\omega }_i\text{\hspace{1em}(1-3)}$$

$${}^{i+1}{v}_{i+1}{=}_i^{i+1}R({}^i{v}_i+{}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{i+1})+{\dot{d}}_{i+1}{}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}\text{\hspace{1em}(1-4)}$$

二、剛體加速度公式

1、線加速度

跟位置與速度關系同理，我們可以通過對速度進行微分得到加速度：

$${}^B{A}_Q=\frac{d^B{V}_Q}{dt}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{{}^B{V}_Q(t+\Delta t){?}^B{V}_Q(t)}{\Delta t}$$

不同參考系下的加速度變換如下：

2、角加速度

$${}^A{\dot{\Omega }}_B=\frac{d^A{\Omega }_B}{dt}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{{}^A{\Omega }_B(t+\Delta t){?}^A{\Omega }_B(t)}{\Delta t}$$

不同參考系下的加速度變換如下，假設參考系$\{B\}$以角速度${}^A{\Omega }_B$相對于參考系$\{A\}$轉(zhuǎn)動，同時參考系$\{C\}$以角速度${}^B{\Omega }_C$相對于參考系$\{B\}$轉(zhuǎn)動：

$${}^A{\Omega }_C={}^A{\Omega }_B+{}_B^A{R}^B{\Omega }_C$$

$${}^A{\dot{\Omega }}_C={}^A{\dot{\Omega }}_B+{}_B^{A}R{}^B{\dot{\Omega }}_C+{}^A{\Omega }_B\times {}_B^A{R}^B{\Omega }_C$$

三、平行移軸定理

平行移軸定理描述了一個以剛體質(zhì)心為原點的坐標系平移到另外一個坐標系時慣性裝量的變換關系。假設$\{C\}$是以剛體質(zhì)心為原點的坐標系，$\{A\}$為任意平移后的坐標系，則并行移軸定理可以表示為：

$${}^{A}I={}^{C}I+m(P_c^T{P}_c{I}_3?P_c{P}_c^T)$$

式中，$P_c=[x_c{y}_c{z}_c{]}^T$表示剛體質(zhì)心在坐標系$\{A\}$中的位置。

四、牛頓、歐拉方程

牛頓方程，式中，m為剛體質(zhì)量
$$F=m{\dot{v}}_c\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

歐拉方程，$\dot{\omega },\omega$分別為角加速度和角速度，${}^{C}I$表示剛體質(zhì)心坐標系中的慣性張量

$$N={}^{C}I\dot{\omega }+\omega \times {}^{C}I\omega \text{\hspace{1em}(4-2)}$$

五、牛頓-歐拉迭代動力學方程

1、加速度迭代

為了計算作用在連桿上的慣性力，需要計算每個連桿在某一時刻的角速度，線加速度，角加速度。

角加速度迭代公式

對1-1角速度公式求導，得到角加速度公式：

線加速度迭代

$${}^{i+1}{a}_{i+1}={}_i^{i+1}R({}^i{a}_i+{}^i{\dot{\omega }}_i\times {}^i{P}_{i+1}+{}^i{\omega }_i({}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{i+1}))$$

質(zhì)心加速度

$${}^i{a}_{c_i}={}^i{a}_i+{}^i{\dot{\omega }}_i\times {}^i{P}_{c_i}+{}^i{\omega }_i\times ({}^i{\omega }_i\times {}^i{P}_{c_i})$$

式中，$c_i$表示連桿$i$的質(zhì)心

2、力和力矩的迭代

利用牛頓、歐拉公式計算出作用在連桿上的力和力矩后，計算關節(jié)力矩，他們實際是施加在連桿上的力和力矩

將所有作用在
$${}^i{f}_i={}^i{F}_i+{}_{i+1}^{i}R{}^{i+1}{f}_{i+1}$$

$${}^i{n}_i={}_{i+1}^{i}R{}^{i+1}{n}_{i+1}+{}^i{N}_i+{}^i{P}_{c_i}\times {}^i{F}_i+{}^i{P}_{i+1}\times {}_{i+1}^{i}R{}^{i+1}{f}_{i+1}$$

在靜力學中，可通過計算一個連桿施加于相鄰連桿的力矩在$\hat{Z}$方向的分量求得關節(jié)力矩：

$$\tau ={}^i{n}_i^T{}^i{\hat{Z}}_i$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数学问题2】动力学建模的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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