在傳統(tǒng)的素數(shù)篩法中，我們使用了對于每一個數(shù)n，在 1~(√n) 范圍內進行取模檢查，這樣逐一判斷的復雜度為n(√n)。

但如果我們需要更快的篩法時怎么辦？

于是著名的歐拉篩誕生了。它能將復雜度降為**O(n)**級別。

1.關鍵理解：

歐拉篩的原理是保證在 2~n 范圍中的每一個合數(shù)都能被唯一分解成它的最小質因數(shù)與除自己外最大的因數(shù)相乘的形式。因此我們枚舉2~n中的每一個數(shù)作為篩法中的“除自己外的最大因數(shù)”，如果它未被標記為合數(shù)，就先將它放入素數(shù)表內，再將這個最大因數(shù)與素數(shù)表中已經找到的素數(shù)作為最小質因數(shù)相乘，將得到的這些數(shù)標記為合數(shù)。最后輸出得到的素數(shù)表即可。

但是我們如何保證每個合數(shù)都被唯一分解？

解決方法如下：

當此時取出的素數(shù)表中的素數(shù)(即枚舉的最小質因子)整除于當前枚舉的合數(shù)時，我們就停止循環(huán)素數(shù)表，開始枚舉下一個合數(shù)。

證明如下：

設當前枚舉的最小質因子prime[i]整除于合數(shù)n時，即我們要篩掉合數(shù) n*prime[i] ；如果我們此時不退出，繼續(xù)枚舉下一個素數(shù)prime[i+1]，對于將要篩掉的合數(shù) n*prime[i+1] 由于插入順序從小到大，則 prime[i+1]>prime[i]。由于prime[i]整除于合數(shù)n，所以必然合數(shù) n*prime[i+1] 還可以被分解為

$$(\frac{n}{prime[i]}*prime[i+1])*prime[i]$$

顯然，在上面的分解方式中，我們將要篩掉的合數(shù)分解為更小的質因子 prime[i] ，這不符合我們對于每一個數(shù)被唯一分解的要求，所以我們可在代碼中加入一行判斷整除關系的代碼進行優(yōu)化。

2.代碼實現(xiàn)：

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

inline void read(int &x){

x=0;int f=1;

char ch=getchar();

while(ch'9'){

if(ch=='-')

f=-1;

ch=getchar();

}

while(ch>='0'&&ch<='9'){

x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);

ch=getchar();

}

x*=f;

}

bool IsPrime[100005];

int prime[50005];

int main(int argc, char const *argv[])

{

int n,top=1;

memset(IsPrime,1,sizeof(IsPrime));

read(n);

for(int i=2;i<=n;i++)

{

if(IsPrime[i])

prime[top]=i,top++;

for(int j=1;j

{

if(i*prime[j]>n)

break;

IsPrime[i*prime[j]]=0;

if(i%prime[j]==0)

break;

}

}

cout<

for(int i=1;i

cout<

return 0;

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的java 素数欧拉筛选_[C++]欧拉素数筛的理解与实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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