高斯：“數學是科學的皇后，而數論是數學的皇后”

數學歸納法

例子證明：
數學公式: $$\frac{1}{1?2}+\frac{1}{2?3}+...+\frac{1}{n?(n+1)}=\frac{n}{n+1}$$
當n=1時，數學公式: $\frac{1}{1?2}=\frac{1}{1+1}$成立。
假設n=r時成立，則n=r+1時：
數學公式: $\frac{1}{1?2}+\frac{1}{2?3}+\frac{1}{(r+1)(r+2)}=\frac{r}{r+1}+\frac{1}{(r+1)(r+2)}=\frac{r(r+2)+1}{(r+1)(r+2)}=\frac{(r+1{)}^2}{(r+1)(r+2)}=\frac{r+1}{r+2}$
成立，所以該等式成立。
一個人通過許多例子觀察一個定理，他可能感知到一般情況下它是真的；隨后采用數學歸納法證明，如果成功，則該定理是正確的；如果失敗了，這個定理可能是正確的，也有可能是錯誤的，并有可能某一天其他人用其他方法把它證明或否定。

反證法

例子：證明素數有無窮多個
假設素數是有限的，素數的集合為數學公式: $p_1,p_2,......p_n$,其他任何一個數都能整除它，那我我們構造一個數：數學公式: $A=p_1?p_2......p_n+1$,則A比任何一個素數都大，則必須是合數，但是用p1，p2等去除A總是余1，因此這些素數都不是A的因子，此時A為素數，因此矛盾，這是由于我們的假設而導致的矛盾，因此這假設只能被當成荒謬的，從而它的反面必然是正確的，定理證完。

素數的產生

費馬猜想：數學公式: $F(n)=2^{2^n}+1$
高斯發現：數學公式: $F(5)=2^{2^5}+1=641?6700417$為非素數
求出一個僅產生素數的簡單表達式的努力一直徒勞無功，試圖求出所有素數的代數表達式更是希望渺茫。
素數定理：（素數平均分布定理）
數學公式: $\frac{A_n}{n}～\frac{1}{\ln n}$表示當n增加時$\frac{A_n/n}{1/\ln n}=1$,此處不可以用=，因為數學公式: $A_n$是整數，而數學公式: $\ln n$不是。左邊為有理數，右邊為無理數。

兩個尚未解決的數學問題

哥德巴赫猜想：任何一個偶數（除了2）都能表示成兩個素數的和。（弱哥德巴赫猜想已經解決：任何一個大于7的奇數都能被表示成三個奇素數的和）
素數經常以p和p+2成對出現，比如3和5，11和13，29和31等，人們相信存在無窮多個這樣的素數對的命題是正確的，但至今在解決這個問題的方向上，還根本談不上有什么辦法。

費馬定理：

如果p是任意一個不能整除整數a的素數，則：數學公式: $a^{p?1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

畢達哥拉斯數和費馬大定理

數學公式: $a^2+b^2=c^2$
整數解：數學公式: $a=u^2?v^2,b=2uv,c=u^2+v^2$
費馬大定理：數學公式: $a^n+b^n=c^n,n>2$時候不存在正整數解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论：数学的皇后的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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