什么是數論

數論是研究正整數集合
$$1,2,3,4,5,6,7,??$$
它也常被稱為自然數集合（不同于我們平時所講的自然數集合，我們平時所講的自然數一般是非負整數集合即包含0，這里特別注意一下）。
特別的，研究的是不同類型數之間的關系。像奇數、偶數、平方數、立方數、素數、合數、同余數、三角數、完全數、斐波那契數…我們在后邊會一一講到。

典型的數論問題

平方和1

兩個平方數秩和可能等于平方數嗎？答案顯示是肯定的，從初中學過的勾股定理
$$a^2+b^2=c^2$$
我們就可以得出答案。

高冪次和

受平方和1的啟發，會自然的發問：兩個立方數之和等于立方數嗎？兩個4次方之和是四次方嗎？一般的，兩個n次方之和是n次方嗎？答案是’否定的‘，這個著名問題稱為【費馬大定理】（由費馬提出，1994年由Andrew Wiles完全解決，證明過程使用了復雜的數學技巧，不再贅述，感興趣的小伙伴自行找度娘~）

素數無窮

素數是一個整數p>1，它僅有因數1和p。

存在無窮多個素數嗎？

存在無窮多個除4余1的素數嗎？

存在無窮多個除4余3的素數嗎？
這些問題的答案是’肯定的‘

平方和2

哪些數等于平方數之和呢？對這類問題，素數的情形往往容易回答，大家可以自己畫一些表格找一下規律，具體答案會在后邊揭曉~

數的形狀

平方數是可排列成正方形的數1，4，9，16，…。三角數是可排列成三角形的數1，3，6，10，…，前幾個三角數與平方數如圖所示：

自然要問是否存在除1之外的也是平方數的三角數？答案是’肯定的‘。最小的例子是36。那么是否有更多的例子，如果有，是有無窮多個還是有限個？要搜索更多的例子，可能用到公式
$$1+2+3+?+(n?1)+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
這個公式還有一個高斯的有趣的小故事呢~

孿生素數

在素數表中，有時會出現相鄰奇數都是素數的情形，再小于100的下列素數表中，已將孿生素數加框：

存在無窮多個素數嗎？也就是說，是否有無窮多個素數p式p+2也是素數？迄今為止，沒有人能回答這個問題~期待看到這篇文章的你們可以解決！奧里給！

形如$N^2+1$的素數

如果取N=1，2，3，…，列出形如$N^2+1$的數，其中一些是素數。當然，如果N是奇數，則$N^2+1$是偶數，所以他不是素數（除非N=1），實際上，人們感興趣的是N取偶數，下圖已經用粗體突出顯示了素數：

看起來素數還是挺多的，但隨著N的增大這種素數會越來越稀少。那么是否有無窮多個形如$N^2+1$的素數，迄今為止，沒有人知道這個問題的答案~又給看到這里的小伙伴一個歷史難題，hhh，歡迎交流討論。

總結

這篇文章主要簡單介紹了一下數論的研究內容和一些典型的數論問題，有時候感覺數論就像是以前做的找規律的題的一種生化，當然數論還包含很多有趣的內容，尤其對于密碼學的研究，非常重要，接下來就會真正的走進數論的世界。

如有錯誤，歡迎評論留言一起交流討論。
本篇文章基本來源我在自學的參考書，如有抄襲，說明咱倆可能看的同一本參考書，關于參考書參看【數論】專欄下的第一篇！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的什么是数论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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