問題：

Given an array of N integer, find the length of the longest increasing subsequence.

For example, given [1,-5,4,5,10,-1,-5,7], the longest increasing subsequence is length 4.(1,4,510)

思路：

1、枚舉

枚舉數組所有的子序列，然后判斷它們是否為遞增子序列（回溯法）。

2、轉化

將數組排序，然后找出新數組和舊數組的最長公共子序列LCS。

（關于最長公共子序列，參考：http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/4469196.html）

3、動態規劃

假設數組為A,len[i] 表示以第 i 個元素為結尾（即第i個元素為最大）的最長遞增子序列的長度；

求len[i]，可以先求以前面i-1個元素結尾的最長遞增子序列，如果A[i]比前面A[0...i-1]中某個元素k小，那么就可以在相應的len[k]上加1，當然是最大的len[k]；

詳見http://blog.csdn.net/kenby/article/details/6804720

4、優化

上述方法在求len[i]的時候， 要從a[1], ... a[i-1]中找出所有比 a[i] 小的元素，而a[1], ... a[i-1]是無序的，查找速度比較慢。

引出數組 f[k] 表示長度等于k的遞增子序列中最末尾的元素, 長度越長的序列，其末尾元素也越大，所以f[k]是遞增的。

實例 <1, 3, 4, 2, 7>

len[1] = 1, f[1] = a[1] = 1

len[2] = 2, f[2] = a[2] = 3

len[3] = 3, f[3] = a[3] = 4

len[4] = 2, f[2] = a[4] = 2 ( 更新了f[2] )

那么，如何求len[5] 呢？

f[1] = 1, f[2] = 2, f[3] = 4, a[5] = 7，

找出末尾元素比a[5]小，而且長度最長的遞增子序列，此例中，

f[3] = 4 表示長度等于3的子序列，其末尾元素為4，這個子序列的長度最長。

a[5]加上此序列形成的新序列長度為4, 然后更新f[4] = a[5] = 7，表示長度等于4的子序列，其末尾元素等于7

在上面的步驟中，找出末尾元素比a[i]小，而且長度最長的子序列，其實就是對于f[1], ...f[k]， 從后往前找，第一個比a[i]小的元素就是長度最長的子序列。查找的時候可以用二分查找方法，故更快。

代碼：

1、動態規劃

#include <iostream> #include <vector> using namespace std;unsigned int LISS(const int array[], size_t length, vector<int> &result) {unsigned int liss[length];unsigned int pre[length];for(int i=0;i<length;++i){liss[i]=1;pre[i]=i;}int k=0;int max=1;for(int i=1;i<length;++i){for(int j=0;j<i;++j){if(array[j]<array[i] && liss[j]+1>liss[i]){liss[i]=liss[j]+1;pre[i]=j;if(max<liss[i]){max=liss[i];k=i;}}}}// i = max - 1;while(pre[k]!=k){ // result[i--] = array[k];result.push_back(array[k]);k=pre[k];}//result[i] = array[k];result.push_back(array[k]);return max; }int main() {int A[]={1,-5,4,5,10,-1,-5,7};int len=sizeof(A)/sizeof(A[0]);vector<int> result;cout << LISS(A,len,result) << endl;for(int i=0;i<result.size();i++)cout<<result[i]<<' ';cout<<endl; }

2、優化

#include <iostream> #include <vector> using namespace std;unsigned int LISS(const int array[], size_t length, vector<int> &result) {unsigned int liss[length];unsigned int pre[length];unsigned int f[length];for(int i=0;i<length;++i){liss[i]=1;pre[i]=i;f[i]=0;}int k=0;int max=1;f[max]=0;for(int i=1;i<length;++i){for(int j=max;j>=1;--j){if(array[f[j]]<array[i]){liss[i]=j+1;pre[i]=f[j];if(f[liss[i]]!=0){int old=array[f[liss[i]]];if(array[i]<old)f[liss[i]]=i;}elsef[liss[i]]=i;if(max<liss[i]){max=liss[i];k=i;}break;}}}// i = max - 1;while(pre[k]!=k){ // result[i--] = array[k];result.push_back(array[k]);k=pre[k];}//result[i] = array[k];result.push_back(array[k]);return max; }int main() {int A[]={1,3,4,2,7};int len=sizeof(A)/sizeof(A[0]);vector<int> result;cout << LISS(A,len,result) << endl;for(int i=0;i<result.size();i++)cout<<result[i]<<' ';cout<<endl; }

在線測試OJ:

http://www.nowcoder.com/questionTerminal/585d46a1447b4064b749f08c2ab9ce66

AC代碼:

class AscentSequence { public:int findLongest(vector<int> A, int n) {vector<int> dp(n);vector<int> f(n);dp[0]=1;f[0]=A[0];int left,right,mid;int count=0;int lmax=1;for(int i=1;i<n;i++){left=0;right=count;while(left<=right){mid=left+((right-left)>>1);if(A[i]>=f[mid])left=mid+1;elseright=mid-1;}f[left]=A[i];if(left>count)count=left;dp[i]=left+1;if(lmax<dp[i])lmax=dp[i];}return lmax; } };

?

class AscentSequence { public:int findLongest(vector<int> A, int n) {int len=A.size();if(len<=1)return len;vector<int> mLen(n,1);int lMax=1;for(int i=1;i<n;i++){for(int j=0;j<i;j++){if(A[i]>A[j] && mLen[j]+1>mLen[i])mLen[i]=mLen[j]+1;if(mLen[i]>lMax)lMax=mLen[i];}}return lMax;} };

轉載于:https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/4703332.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（算法）最长递增子序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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